Sábado, 18 de Fevereiro de 2012

Calendários escritos em diferentes bases numéricas

o é a primeira vez que dedico atenção às bases e sistemas de numeração neste blog. Apesar de o nosso sistema de numeração ser de base decimal, torna-se importante que percebamos como funcionam outros sistemas de numeração suportados por outras bases que não sejam a decimal.

 

O exemplo mais vezes referenciado no nosso quotidiano será, porventura, o sistema de numeração de base dois ou binário. Como sabemos, trata-se de um sistema de numeração baseado apenas em dois tipos de símbolos escritos, o zero (0) e o um (1), muito utilizado no âmbito da informática.

 

Com estes dois únicos símbolos numéricos podem-se representar, por escrito, quaisquer quantidades numéricas. A título de exemplo, se se pretender representar a quantidade dois neste sistema de numeração, ter-se-á que utilizar o seguinte numeral: 10. O mesmo deverá ler-se: um grupo de dois e zero unidades. Já o numeral 11 representará o número cardinal três. A sua leitura deverá ser esta: um grupo de dois e uma unidade. Por sua vez, a quantidade quatro deverá ser apresentada da seguinte forma: 100. A sua leitura será: um grupo de quatro, zero grupos de dois e zero unidades. Assim sendo, a quantidade cinco será formada por um grupo de quatro, zero grupos de dois e uma unidade, isto é: 101.

 

Tendo em conta este sistema de numeração, dê continuidade ao preenchimento de um hipotético calendário relativo ao mês de Janeiro:

 

A imagem seguinte visa dar resposta ao desafio colocado:

 

 

Avaliemos alguns exemplos desse calendário... Como sabemos, o mês de janeiro tem trinta e um dias, pelo que a última célula preenchida deverá representar essa quantidade. E como é que o numeral 11111 constitui a representação escrita, na base dois ou binário, do cardinal trinta e um?

 

Como sabemos, se a mesma representação numérica 11111 fosse referente ao nosso sistema de numeração decimal, o mesmo queria dizer o seguinte:

 

Dezenas de Milhar Unidades de Milhar Centenas Dezenas Unidades
104 103 102 101 100
% $ & « *
1 1 1 1 1

 

Teríamos:

- 1 dezena de milhar, isto é 1 x 104;

- 1 unidade de milhar, isto é 1 x 103;

- 1 centena, isto é 1 x 102;

- 1 dezena, isto é 1 x 101;

- 1 unidade, isto é 1 x 100.

 

Logo, concluímos que 11111 = 1 x 104 + 1 x 103 + 1 x 102 + 1 x 101 + 1 x 100.

 

Esta leitura não escapa ao nosso entendimento racional, porque estamos habituados a lidar com este sistema de numeração decimal ou de base dez. O critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dez.

 

Retomemos, então, o numeral 11111 escrito no binário ou base dois e façamos um estudo semelhante ao acabado de fazer para a base dez:

 

Grupos de dezasseis Grupos de oito Grupos de quatro Grupos de dois Unidades
24 23 22 21 20
% $ & « *
1 1 1 1 1

 

Neste caso os valores da tabela deverão ser interpretados da segunte forma:

- 1 grupo de dezasseis, isto é 1 x 24;

- 1 grupo de oito, isto é 1 x 23;

- 1 grupo de quatro, isto é 1 x 22;

- 1 grupo de dois, isto é 1 x 21;

- 1 unidade, isto é 1 x 20.

 

Logo, concluímos que 11111 (escrito na base dois) = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.

Neste caso, o critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dois.

 

Vejamos outro exemplo do calendário, como seja 10110. Está colocado na célula referente ao dia 22 de janeiro. Estará correto?

 

Façamos a respetiva conversão para a base decimal: 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22. Confirma-se, pois, que o valor 22 escrito em numeração binária ou de base dois é a seguinte 10110(base dois).

 

E se o nosso sistema de numeração não fosse o decimal nem o de base dois, mas, sim, o de base três? Como estariam representados os dias do mês de fevereiro de um ano bissexto?

 

Comecemos por perceber que o critério de mudança deste sistema de numeração será o "de três em três", isto é, só se avança para a ordem seguinte quando se atingir na ordem anterior a quantidade três. Logo, os símbolos disponíveis são apenas três (0, 1 e 2).

 

Comecemos por representar os primeiros cinco números de acordo com este critério de mudança:

 

 

Repare-se que:

1 = 1;

2 = 2;

3 = 10, isto é um grupo de três e zero unidades;

4 = 11, isto é um grupo de três e uma unidade;

5 = 12, isto é um grupo de três e duas unidades.

 

Como ficará o resto do calendário?

 

Espera-se que a quantidade seis seja vista como sendo dois grupos de três e zeros unidades, isto é 30. Já a quantidade sete será dois grupos de três e uma unidade e assim sucessivamente:

 

 

A título de certificação, vejamos, também agora, o último número deste mês, o que é relativo ao dia 29 de fevereiro.

1002(base três) = 1 x 33 + 0 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 =  27 + 0 + 0 + 2 = 29. Confirma-se, pois, o valor esperado.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante desafiar os alunos a investigar a feitura dos restantes meses do ano, atribuindo a cada um uma base diferente, isto é: (a) ao mês de março atribuir a base quatro; (b) ao mês de abril atribuir a base cinco; (c) ao mês de maio atribuir a base seis; (d) ao mês de junho atribuir a base sete; (e) ao mês de julho atribuir a base oito; (f) ao mês de agosto atribuir a base nove; (g) ao mês de setembro atribuir a base dez; (h) ao mês de outubro atribuir a base onze; (i) ao mês de novembro atribuir a base doze e (j) ao mês de dezembro atribuir a base treze.

 

Como ficariam os calendários?

 

Vejamos até ao mês de Agosto, inclusivé:

 

 

 

 

 

 

Já o mês de setembro, por usar a base decimal, suscitará uma leitura mais imediata e linear:

 

 

 

O mês de outubro, associado à base onze, implica uma dificuldade acrescida por não haver um símbolo numérico que represente a quantidade dez, pois os que conhecemos coincidem com os dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Sendo assim, sempre que se pretender representar a quantidade dez usar-se-á a letra A. Logo, a quantidade vinte e um, escrita nesta base onze será 1A, isto é, um grupo de onze mais dez unidades. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

O mesmo se passa com o mês de novembro, escrito na base doze, pois ter-se-á que associar o símbolo A à quantidade dez e um novo sómbolo B à quantidade onze. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

Como será o último mês do ano, se for preenchido com base no critério de "treze em treze"?

 

publicado por Paulo Afonso às 00:32
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