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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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A Matemática nos truques de cartas

Março 27, 2010

Paulo Afonso

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

 

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretender saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

 

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

 

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

 

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

 

 

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

 

 

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

 

 

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

 

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

 

 

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

 

InícioApós voltar as distribuir as cartas   Após voltar a distribuir as cartas

 

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

 

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

 

InícioApós voltar a distribuir as cartasApós voltar a distribuir as cartas
  
   

 

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11  e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

 

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

 

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

 

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

 

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

 

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita,  estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

 

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

 

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Investigações matemáticas envolvendo cartas

Março 08, 2010

Paulo Afonso

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.

 

Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?

 

 

A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:

 

 

Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18.  

 

De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18. 

 

Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.

 

Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:

 

Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:

 

a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)

b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)

c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)

d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)

e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)

f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)

g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)

h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)

i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)

j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)

k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)

l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)

 

De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso?  

 

 

Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.

 

Eis outras 12 possibilidades:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1

b) 10 + 5 + 3 + 1

c) 10 + 4 + 3 + 2

d) 9 + 7 + 2 + 1

e) 9 + 6 + 3 + 1

f) 9 + 5 + 4 + 1

g) 9 + 5 + 3 + 2

h) 8 + 7 + 3 + 1

i) 8 + 6 + 4 + 1

j) 8 + 6 + 3 + 2

k) 8 + 5 + 4 + 2

l) 7 + 6 + 5 + 1

m) 7 + 6 + 4 + 2

 

Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1 A = 9 + 5 + 4 C = 8 + 7 + 3
b) 10 + 5 + 3 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 8 + 6 + 4
c) 10 + 4 + 3 + 2 A = 9 + 8 + 1 C = 7 + 6 + 5
d) 9 + 7 + 2 + 1 A = 10 + 5 + 3 C = 8 + 6 + 4
e) 9 + 6 + 3 + 1 X X
f) 9 + 5 + 4 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 8 + 7 + 3
g) 9 + 5 + 3 + 2 A = 10 + 7 + 1 C = 8 + 6 + 4
h) 8 + 7 + 3 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 9 + 5 + 4
i) 8 + 6 + 4 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 10 + 5 + 3
 j) 8 + 6 + 3 + 2  X  X
 k) 8 + 5 + 4 + 2 A = 10 + 7 + 1  C = 9 + 6 + 3 
 l) 7 + 6 + 5 + 1  X
 m) 7 + 6 + 4 + 2 A = 10 + 5 + 3  C =  9 + 8 + 1

 

Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:

 

 

O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?

 

Apresento duas possíveis soluções:

 

Solução A:

 

Solução B:

 

Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação? 

O poder matemático das cartas

Agosto 19, 2008

Paulo Afonso

Muitos são os casos de recreação matemática que envolvem a utilização de um normal baralho de cartas. De facto, as cartas são um recurso muito interessante para o desenvolvimento do raciocínio lógico, bem como para ocupação lúdica de alguns momentos de lazer.

Veja-se o seguinte exemplo onde se pede para se encontrar uma explicação para esta enigmática magia (adaptada de Muñoz, 2006)*:

 

Divida um baralho de cartas (52 cartas) mais ou menos ao meio. De seguida, escolha apenas um dos dois montes obtidos, deixando o outro de parte. Conte as cartas do monte escolhido e adicione os algarismos desse número de cartas. Retire para cima da mesa tantas cartas quantas a soma agora obtida, observando apenas a última carta que sair. Junte agora todo o baralho, tendo em conta as seguintes regras: (a) a última carta saída vai ser colocada por baixo do restante monte de onde ela saiu, sempre viradas para baixo; (b) as cartas que saíram antes dela vão ficar por baixo dela, também viradas para baixo, bem como as restantes cartas que compõem o baralho.

À medida que for lendo a frase: ESTA É A CARTA QUE EU VI, vá retirando uma carta do baralho (uma por cada letra que ler), começando de cima para baixo, continuando as cartas voltadas para baixo. Após ter retirado todas as cartas afectas à leitura da frase, retire a próxima carta do baralho e certifique-se que é a que efectivamente tinha visto antes.

 

Transportando esta situação para a sala de aula, permite abordar o conceito de múltiplo de 9 ou o critério de divisibilidade de um número por 9. De facto, esta magia ocorre porque ao retirar-se de um número formado por dois dígitos (10a + b, correspondendo a cerca de metade das cartas), em que o das dezenas é 2 (a = 2), a soma desses dígitos (a + b), obtém-se um valor que é múltiplo de 9. De facto: 10a + b – (a + b) = 9a. Como no caso vertente, o a é 2, significa que o múltiplo de 9 que está em jogo é o 18. Ora, isto ocorre sempre que um número seja formado por dois dígitos, sendo 2 o dígito das dezenas.

Tendo presente este conhecimento matemático, facilmente se percebe o porquê da magia anterior ocorrer. Se se reparar, o número de letras envolvido na frase desta tarefa é 18. Como ficam por cima da carta seleccionada precisamente 18 cartas, ao retirar-se a próxima carta (19ª), fica identificada a carta que foi vista inicialmente. Como será o estudo para o caso do número de cartas de um dos montes oscilar entre os valores 30 e 39?

 

- Muñoz, José (2006). Ernesto, el aprendiz de matemago. Tres cantos: Nívola, 2ª Ed.

 

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