Este blog contém vários artigos em que se demonstra que a Matemática não é uma ciência isolada, pois permite a conexão a múltiplas atividades do nosso quotidiano. Muitas são as vezes em que à Matemática também se pode chegar por outras vias do nosso dia-a-dia, como seja o mundo do Desporto, da Magia, da Cultura, etc.

Ora, o exemplo que escolhi para esta nova reflexão é-nos proposto por Eric Emmet, publicado em 2000 pela Gedisa Editorial*, numa reimpressão de uma primeira publicação em Castelhano de 1990.

O enunciado, adaptado para língua portuguesa, é o seguinte:

"Quatro equipas de futebol - A, B, C e D - vão jogar entre si uma vez. Após se terem realizado alguns - ou talvez todos - os jogos, pode-se conceber uma tabela como a seguinte, onde aparecem alguns aspetos dos jogos jogados, ganhos, perdidos, empatados, golos marcados, golos sofridos e pontuação" (Emmet, 2000. p. 33):

Complete a tabela na íntegra, sabendo que uma vitória vale dois pontos e um empate vale um ponto.

* - Emmet, E. (2000). Juegos de acertijos enigmaticos. Barcelona: gedisa Editorial.

Do ponto de vista matemático, este problema apela bastante ao raciocínio lógico, pois exige por parte do resolvedor o estabelecer de muitas relações entre as diversas variáveis em causa (número de jogos, resultados dos jogos, vitórias, empates, derrotas e pontuação). Além disto, permite o desenvolvimento da comunicação matemática na justificação das opções a tomar.

Seria interessante que em contexto de sala de aula os alunos sentissem a força motivacional que a tarefa transporta consigo. Trata-se de algo enigmático, bastante motivador e com importantes pistas para que se possa iniciar o seu processo de resolução. Assim, vejamos que a equipa C ao ter dois pontos e não tendo qualquer vitória, só poderá ter empatado dois jogos. Por sua vez, a equipa D, ao não ter qualquer ponto, não terá conseguido vencer qualquer dos jogos em que esteve envolvida. Logo a tabela poderá começar a ser preenchida tendo em conta estes dois aspetos:

Em continuação o facto de a equipa ter empatado dois jogos, pelos dados da tabela só pode ter sido com as equipas A e B. Resta saber a razão pela qual a equipa B tem 5 pontos. Ora isto só pode ocorrer se esta tiver ganho à equipa D e à equipa A (2 + 2 pontos). Se à pontuação correspondente a estas duas vitórias (4 pontos) adicionarmos um ponto pelo empate com a equipa C, fica justificada a pontuação desta equipa B. Logo, a tabela fica assim:

Tendo em conta a tabela anterior, concluímos, pois, que a equipa A tem, pelo menos, um empate com a equipa C e uma derrota com a equipa B. Por sua, vez, a equipa D tem, pelo menos, uma derrota - resultante do jogo com a equipa B. Por último, se a equipa C empatou com as equipas A e B, e a equipa D não tem vitórias, então aquela não tem qualquer derrota. Logo, a tabela fica assim:

Neste momento nada sabemos sobre o que se passou entre as equipas A e D, pois elas podem ainda não ter jogado entre si (ficando a equipa A só com 1 ponto), ou a equipa A ter já derrotado a equipa D (ficando com 3 pontos). Logo, a partir deste ponto da resolução seria interessante fazer-se um estudo paralelo para estas duas opções acabadas de descrever. Vejamos ambos os cenários:

Cenário 1 - As equipas A e D ainda não terem jogado entre si:

Cenário 2 - A equipa A ter derrotado a equipa D:

Contudo, se com os dados que já temos formos preencher a coluna respeitante aos jogos, constatamos que o cenário 1 não faz sentido:

De facto, nunca a equipa B poderia já ter realizado três jogos e a equipa D só ter realizado um, pois, se assim fosse, não seria possível ocorrer o que se acabou de registar entre a equipa D e a equipa A. Logo, o cenário 1 terá de ser abandonado.

Vejamos como ficaria a tabela preenchendo-se a coluna dos jogos, no caso do cenário 2:

Ora, neste caso, concluímos que as equipas A e B já jogaram com todas as restantes e que ainda faltam defrontar-se as equipas C e D.

Neste momento já só falta descobrir os golos marcados pela equipa C e os golos sofridos pela equipa B. Contudo, uma vez que a equipa C só obteve empates, o número de golos marcados terá de coincidir com o número de golos sofridos:

Por sua vez, o total de golos marcados terá de ser igual ao total de golos sofridos, pelo que a equipa B terá sofrido 2 golos:

De facto, o somatório da coluna dos golos marcados coincide com o somatório da coluna dos golos sofridos: 13 golos. Logo, a tabela final fica com o seguinte aspeto:

Façamos uma extensão ao problema: Será possível prever o resultado de cada jogo realizado?

Em primeiro lugar convirá elencar tudo o que se sabe relativamente a cada equipa:

1 - A equipa D só obteve derrotas e sem qualquer golo marcado. Logo, nenhum dos seus dois adversários com quem já jogou  sofreu qualquer golo desta equipa. Por seu turno, quanto aos 3 golos sofridos, o que se sabe é que não foi a equipa C a marcá-los, porque estas duas equipas ainda não jogaram entre si.

2 - Os quatro golos sofridos pela equipa C foram marcados pelas equipas A e B. Por sua vez, os 4 golos que marcou também terão sido a estas duas equipas.

3 - Além dos golos marcados no empate da equipa B com a equipa C, aquela também terá marcado golos nas vitórias com as equipas A e D.

Sendo assim, um cenário possível para esta equipa B seria empatar a 2 golos com a equipa C, ganhar 1 a zero à equipa D e ganhar 2 a zero à equipa A. Se assim for, o outro empate da equipa C, desta vez com a equipa A, também terá de ser 2 a 2. Logo resta-nos a vitória da equipa A sobre a equipa D por 2 a zero:

Tendo em conta o mesmo autor, tente resolver um problema semelhante que ele coloca na página 36, cujos dados conhecidos são apenas os da tabela seguinte:

Acredito que há cerca de trinta ou quarenta anos atrás não fosse muito importante desenvolver nos alunos a capacidade de comunicar em Matemática, pois o que era exigido era saber resolver, sobretudo por escrito, os múltiplos exercícios rotineiros com que se confrontavam. Hoje ainda bem que não é assim! Comunicar em Matemática e comunicar Matemática é uma capacidade que a Escola visa desenvolver nos estudantes.

Quando me refiro ao termo comunicar entendo-o sempre na dupla perspectiva da oralidade e da escrita. Explicar por palavras suas, ditas, ou escritas, aquilo que se pensou, aquilo que se executou ou os procedimentos que foram levados a cabo para se ultrapassarem eventuais obstáculos com que se depararam durante a resolução de uma tarefa matemática, é algo que a Escola e os professores de Matemática não podem jamais descurar. 

Desenvolvendo nos estudantes essa capacidade é contribuir para que eles se tornem pessoas reflexivas, com sentido crítico, capazes de esgrimir argumentos que fundamentem as suas tomadas de decisão. E não é de pessoas assim, que a Sociedade espera que a Escola forme?

Pois bem, no âmbito da Recreação Matemática deparei-me com mais um delicioso livro, do autor Miquel Capó Dolz, intitulado "Juega con los Números"*, que na página 33 apresenta uma tarefa que pode servir precisamente para o desenvolvimento da comunicação matemática dos respectivos resolvedores.

* - Capó Dolz, M. (2010). Juega con los Números. Barcelona: Ediciones CEAC.

Eis o enunciado (resumido) da tarefa:

Colocar nas quadrículas vazias os números de 1 a 7, todos e apenas uma vez, de modo que as somas em linha e em coluna coincidam com os valores aí presentes na última coluna e na última linha:

A solução apresentada pelo autor é a seguinte:

Esta interessante tarefa suscita, de imediato, o questionamento acerca da solução encontrada como sendo única ou não. De facto, depois de alguma reflexão sobre a disposição das somas propostas, conclui-se facilmente que não há outra solução possível para esta tarefa. Mas, mais interessante do que isso seria solicitar aos alunos, em contexto de sala de aula que explicassem oralmente ou por escrito a estratégia seguida até se chegar à solução.

O desejável seria haver uma explicação semelhante à que apresento a seguir:

1 - Face à disposição das somas 1 em linha e em coluna, no cruzamento desta linha com esta coluna só pode ficar o 1:

Logo, nessa linha e nessa coluna já não poderá haver mais nenhum número, pelo que a vou trancar com "x":

2 - Face à existência da soma 13 numa linha, o valor 7 terá de obrigatoriamente fazer parte desta linha. Ora, tendo em conta as somas das colunas, o 7 só poderá assumir duas posíções possíveis:

Contudo, devido à soma 3 em linha e à soma 10 em coluna, se o 7 ficasse posicionado na coluna da soma 10 obrigava o valor 3 a ficar nessa coluna:

Note-se que se assim fosse, com os valores que faltam colocar (2, 4, 5 e 6) já não seria possível satisfazer simultaneamente as duas somas de valor 5 em coluna e a soma de valor 7 em linha. Logo, opta-se pela outra possibilidade de colocar o número 7 na linha relativa à soma 13, trancando-se logo a coluna da esquerda:

3 - Olhando-se, agora, para a linha da soma 13, falta colocar o valor 6. Ora, tendo em conta as somas das colunas (5, 10 e 5), este só poderá ficar associado à coluna de soma 10:

4 - Pensando-se, agora, simultaneamente nas duas somas de valor 5 em coluna e na soma de valor 7 em linha, podem-se dispor os valores 2, 3 e 5 da seguinte forma:

Esta disposição já permite trancar as duas colunas de soma 5, a linha de soma 7 e a linha de soma 3: 

5 - Note-se que apenas há uma célula por preencher e um valor para colocar na tabela, que é o 4. Colocando-o nessa célula vazia, a tabela fica completa:

6 - A tarefa não pode ser dada por terminada sem se proceder à verificação. Assim, constata-se que os valores, do 1 ao 7, todos foram introduzidos na tabela e apenas uma vez. Além disso, todas as somas em linha e todas as somas em coluna estão certas.

Seria, pois, um raciocínio deste género que os alunos deveriam tentar produzir perante este tipo de tarefa. Claro está que os alunos poderão não ter o hábito de escrever ou justificar oralmente todo o seu processo de raciocínio. Contudo, a investigação tem provado que quanto mais tarde se iniciarem os alunos nessa tarefa, mais tarde e mais difícil será incutir este tipo de atitude de forma quase que natural.

Esta foi, pois, a extrapolação didáctica que esta magnífica tarefa de Capó Dolz me suscitou!

Explicite a resolução da tarefa seguinte, usando agora apenas os números de 1 a 6, todos e apenas uma vez, tendo em conta as seguintes novas somas em linha e em coluna:

Desenvolver a capacidade de comunicar ideias e raciocínios matemáticos é um dos principais objectivos que a Escola visa atingir com os seus alunos. Levá-los a explicar oralmente e/ou por escrito as suas tomadas de posição é uma ajuda preciosa para que o professor possa perceber "por onde o aluno andou". Percebendo isso, mais facilmente o poderá orientar no caso de haver necessidade de refazer algum procedimento de cálculo ou de outra natureza.

Em termos de metodologia de trabalho, está sobejamente investigado que o aluno fica especialmente motivado para a Matemática quando está envolvido em contexto de jogo. Ora, o jogo do Sudoku, recentemente explorado nos mais variados meios de recreação matemática, pode ser entendido como sendo um potencial dínamo para o desenvolvimento da comunicação matemática dos seus resolvedores. Digo isto, porque a colocação de um novo número nas lacunas que há que preencher obedece a raciocínios logicamente encadeados, por forma a que não haja repetição de números onde isso não é possível ocorrer.

Nestas merecidas férias cruzei-me com um interessante livro de Gareth Moore, intitulado "Entrena Mentes en cualquier Momento del Dia"*, em que a primeira actividade solicitava que se preenchesse o seguinte "mini" Soduku:

* - Moore, G. (2009). Entrena Mentes en cualquier Momento del Día. Madrid: Ediciones SM.

Note-se que este Sudoku é diferente dos que usualmente costumamos encontrar em livros da especialidade ou nas usuais propostas de actividade de recreação matemática em revistas ou jornais, uma vez que só utiliza os seis primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Contudo, o seu preenchimento obedece à tradicionais regras do Sudoku dos nove números, pois em cada linha horizontal ou vertical têm que constar todos e apenas uma vez esses seis números e em cada um dos seis rectângulos formados por seis quadrículas também têm de constar esses seis números e apenas uma vez.

O principal objectivo de eu escrever este primeiro artigo deste novo ano lectivo de 2010/2011 prede-se não somente com o desafio de se preencherem os espaços em branco, mas, principalmente, em explicitar por escrito todo o raciocínio empregue na sua resolução.

Assim, uma primeira dificuldade é explicar o começo da resolução. Uma possibilidade é evidenciada na imagem seguinte:

Note-se que o conjunto de números formado pelos elementos 1, 2, 5 e 6 do cimo e meio da figura ainda carecia dos números 3 e 4. Contudo, o 3 não poderia ser colocado ao lado do 6, uma vez que essa linha horizontal da contemplava o 3. Logo, o 3 só poderia ser colocado à esquerda do 1 e por baixo do 5. Sendo assim, ao lado do 6 teria de ficar o 4:

Pela mesma ordem de ideias, o mesmo conjunto de números (1, 2, 5 e 6) do meio da figura me baixo só pode ter o 4 junto do 6, porque o 3 já consta dessa última linha horizontal:

A colocação deste 4 obriga a que o 3 fique à direita do 1 e por cima do 5:

Estão, pois, preenchidas as duas primeiras colunas. Note-se agora que na célula que resulta do cruzamento entre a segunda linha e segunda coluna já não poderá ser colocado o 2, o 3, o 4, o 5 ou o 6. Logo só poderá ser colocado aí o número 1:

O raciocínio anterior é válido para a célula que resulta do cruzamento entre a penúltima linha e a penúltima coluna. Logo, aí também já só poderá ser colocado o número 1:

Note-se que no conjunto das seis quadrículas do canto superior direito da figura ainda falta o número 1. Veja-se que ele já não pode ficar nem na 2ª nem na 3ª linha, pelo que lhe fica reservado o espaço correspondente à última quadrícula da 1ª linha:

Centremos agora a atenção no primeiro rectângulo das seis quadrículas. Aí já constam os números 1 e 3, faltando, pois, os números 2, 4, 5 e 6. Relativamente ao número 2 ele já existe na 1ª e na 2ª linha, o que implica que será na terceira linha que ele deverá ser colocado. Ora, como estas seis quadrículas já impedem que o 2 seja colocado por baixo do 1, logo só resta a possibilidade de ele ser colocado no início da terceira linha horizontal:

Veja-se, agora, que o número 6 já existe na primeira linha e na segunda. Logo, relativamente ao conjunto dos seis números do canto superior esquerdo da figura o 6 terá de ficar à direita do 2 e por baixo do 1:

 Veja-se que à segunda coluna só falta o número 5:

Preencheu-se, pois, mais uma coluna. Centremo-nos agora novamente nos números do canto superior direito da figura, isto é, no 1, 2 e 6. Pelo facto de o 3 já existir na coluna do 6, na 1ª linha e na 3ª linha, implica que neste ponto da figura terá de ficar posicionado à direita do 6, por baixo do 1:

É fácil de constatar que na segunda linha horizontal da figura já só falta o número 4:

Fica, pois, preenchida a segunda linha horizontal! Repare-se, agora que a célula do canto inferior direito já só pode ser ocupada pelo valor 5, pois este número já consta na antepenúltima e penúltima linhas:

Ficou então completada a última linha horizontal. Por sua vez, no início da penúltima linha horizontal só pode usado o valor 3, porque na respectiva linha superior e linha inferior esse número já existe:

Como consequência, à 1ª coluna só falta o valor 6:

Fica, pois, completa a 1ª coluna. Note-se, agora que nas seis quadrículas do canto inferior direito da figura existem os seguintes números: 1, 3, 5. Faltando o 2, este já não pode ser colocado por cimo do 5 porque essa linha já tem o 2, nem por cima do 1, porque essa coluna também já tem o 2. Logo, resta a posição seguinte:

Logo, nessa linha falta apenas o 4:

Completada que está mais esta linha horizontal, falta à penúltima coluna apenas o valor 5:

Faltam apenas dois números para que o Sudoku fique completo! Entre o 2 e 5 só pode ficar o valor 6:

Por fim, falta colocar o valor 4:

Fazendo-se a verificação constata-se que em nenhuma linha horizontal ou vertical se repete qualquer dos seis números. Além disto, por cada conjunto de seis números, formando uma figura rectangular, também não há repetição de qualquer um deles.

Utilize o mesmo tipo de procedimento comunicativo para preencher correctamente o seguinte Sudoku, extraído do livro "O jogo mágico dos números Sudoku", da autoria de Michael Mepham.**:

** - Mepham, M. (2005). O jogo mágico dos números - Sudoku. Lisboa: Sábado.

Como se sabe, para cada linha, cada coluna e para cada conjunto de 3 x 3 quadrículas devem constar todos, e apenas uma vez, os primeiros nove números naturais. Explique o raciocínio utilizado.