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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dos pares ordenados ao pensamento algébrico

Setembro 01, 2012

Paulo Afonso

No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.

 

Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.

 

Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?

 

- O 1º termo de cada par ordenado é um múltiplo de dois, resultante da fórmula "2n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 0 e terminando no 5.

 

- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.

 

-  A soma de cada par ordenado obedece a uma regularidade: 15, 14, 13, 12, 11, 10.

 

- A diferença de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 15, 10, 5, 0, -5, -10.

 

- O produto de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 0, 24, 36, 36, 24, 0.

 

- A sua disposição num referencial cartesiano coloca-os segundo uma regularidade posicional:

 

 

- E essa regularidade pode ser definida por uma reta:

 

 

Qual será a função que descreve essa reta?

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula de Matemática os alunos pudessem investigar e propor uma explicação matemática para justificar que estes cinco pares ordenados de números se relacionam entre si, como atesta a reta que os une. De entre várias tentativas seria desejável que alguém propusesse adicionar o triplo do 1º termo do par ordenado ao dobro do respetivo 2º termo.

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 3 x 0 + 2 x 15 = 30

(2, 12) ----- 3 x 2 + 2 x 12 = 30

(4, 9) ----- 3 x 4 + 2 x 9 = 30

(6, 6) ----- 3 x 6 + 2 x 6 = 30

(8, 3) ----- 3 x 8 + 2 x 3 = 30

(10, 0) ----- 3 x 10 + 2 x 0 = 30

 

Logo, poder-se-ia concluir que os pares ordenados analisados obedecem à seguinte função matemática 3x + 2y = 30.

 

E se algum aluno sugerisse, por exemplo, adicionar o dobro do 1º termo de cada par ordenado com o triplo do respetivo 2º membro do par? Descobriria algo de matematicamente interessante?

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 2 x 0 + 3 x 15 = 45

(2, 12) ----- 2 X 2 + 3 X 12 = 40

(4, 9) ----- 2 X 4 + 3 X 9 = 35

(6, 6) ---- 2 X 6 + 3 X 6 = 30

(8, 3) ----- 2 X 8 + 3 X 3 = 25

(10, 0) ----- 2 x 10 + 3 x 0 = 20

 

Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.

 

Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?

Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Conexões matemáticas envolvendo os números de fibonacci

Maio 12, 2012

Paulo Afonso

Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.

 

Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.

 

Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:

 

"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".

 

 

* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.

 

Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b) 1 + 1 + 1 + 2 = 5

c) 1 + 1 + 2 + 1 = 5

d) 1 + 2 + 1 + 1 = 5

e) 2 + 1 + 1 + 1 = 5

f) 1 + 2 + 2 = 5

g) 2 + 1 + 2 = 5

h) 2 + 2 + 1 = 5

 

Contudo, quando eu estava a tentar resolver a tarefa questionei-me acerca de quantas seriam as possibilidades de o gato subir a escada se a mesma só tivesse quatro degraus, ou três, ou dois, ou um degrau? Será que descobriria alguma regularidade? - pensei eu para mim mesmo.

 

Eis o resultado da minha investigação:

 

4 degraus - 5 casos possíveis3 degraus - 3 casos possíveis2 degraus - 2 casos possíveis1 degrau - 1 caso possível

a) 1 + 1 + 1 + 1 = 4

b) 1 + 1 + 2 = 4

c) 1 + 2 + 1 = 4

d) 2 + 1 + 1 = 4

e) 2 + 2 = 4

a) 1 + 1 + 1 = 3

b) 1 + 2 = 3

c) 2 + 1 = 3

a) 1 + 1 = 2

b) 2 = 2

a) 1 = 1

 

Ora, analisando o número de casos possíveis que fui conseguindo obter, depressa constatei que estava perante alguns números de  fibonacci: 1, 2, 3, 5 e 8. Em bom rigor estimei logo que seriam 13 casos possíveis se a escada tivesse seis degraus. Fiquei profundamente feliz por ver confirmada a minha conjetura:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

c) 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6

d) 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6

e) 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6

f) 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

g) 1 + 1 + 2 + 2 = 6

h) 1 + 2 + 1 + 2 = 6

i) 1 + 2 + 2 + 1 = 6

j) 2 + 2 + 1 + 1 = 6

k) 2 + 1 + 2 + 1 = 6

l) 2 + 1 + 1 + 2 = 6

m) 2 + 2 + 2 = 6

 

Claro está que esta situação poderia ser levada à sala de aula de matemática (porventura a partir de um 2º ano de escolaridade) como sendo uma potencial tarefa de investigação e seria desejável que os alunos pudessem analisar em conjunto o número de casos resultante para cada situação, de modo a poderem continuar a fazer previsões. Uma previsão seguinte seria o associar o próximo termo da sequência numérica de fibonacci a uma escada com mais um degrau do que o que acabei de descrever. Estaríamos, pois, a falar de 21 casos possíveis (8 + 13) para uma escada formada por 7 degraus.

 

Após a confirmação desta previsão seria interessante desafiar os alunos a responderem rapidamente a questões do tipo:

 

a) quantos degraus terá uma escada para que permita 55 formas diferentes de se poder subir?;

b) uma escada com dez degraus quantas formas diferentes existem de a poder subir?

 

Mas esta sequência numérica encerra outras surpresas, nomeadamente uma forte conexão a outra sequência numérica: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Qual poderá ser essa ligação forte?

 

Ora, esta tarefa carece de uma investigação cuidada, porque a única coisa que sabemos é que esta sequência deve resultar de operações matemáticas a exercer sobre os números de fibonacci.

 

Dependendo do tipo de resolvedor que se sinta desafiado por esta tarefa, espera-se que possa experimentar usar não a adição de dois números de fibonacci consecutivos mas, sim, o seu produto. Vejamos:

 

a) 1 x 1 = 1

b) 1 x 2 = 2

c) 2 x 3 = 6

d) 3 x 5 = 15

e) 5 x 8 = 40

f) 8 x 13 = 104

g)13 x 21 = 273

...

 

Confirma-se, pois, que cada termo da sequência numérica proposta para estudo resulta do produto de dois números de fibonacci consecutivos.

 

Sendo assim, qual será o décimo termo dessa sequência?

 

Esta tarefa torna-se, agora, fácil de resolver porque só teremos de identificar os 10º e o 11º números de fibonacci, porque a sua soma será a resposta à tarefa.

 

Vejamos:

 

Números fibonacci consecutivos

1 x 11 x 22 x 33 x 55 x 88 x 1313 x 2121 x 34 34 x 5555 x 89 
Produto126154010427371418704895 

 

Confirma-se, pois, que o produto do 10º número de fibonacci (55) com o 11º número de fibonacci (89) origina o 10º número (4895) da sequência em estudo.

 

Contudo, um outro resolvedor qualquer, num outro momento de resolução, pode propor adicionar os quadrados dos números de fibonacci de forma consecutiva, iniciando sempre no primeiro termo e acrescentando em cada adição o termo seguinte. Vejamos:

 

1 = 12

2 = 12 + 12

6 = 12 + 12 + 22

15 = 12 + 12 + 22 + 32

40 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52

104 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82

 

Logo, será legítimo testar se o próximo termo (273) será ou não a soma de 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132?

 

De facto, 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273.

 

Qual será a adição cuja soma é o valor 4895?

Do Futebol à Matemática

Abril 01, 2012

Paulo Afonso

Este blog contém vários artigos em que se demonstra que a Matemática não é uma ciência isolada, pois permite a conexão a múltiplas atividades do nosso quotidiano. Muitas são as vezes em que à Matemática também se pode chegar por outras vias do nosso dia-a-dia, como seja o mundo do Desporto, da Magia, da Cultura, etc.

 

Ora, o exemplo que escolhi para esta nova reflexão é-nos proposto por Eric Emmet, publicado em 2000 pela Gedisa Editorial*, numa reimpressão de uma primeira publicação em Castelhano de 1990.

 

O enunciado, adaptado para língua portuguesa, é o seguinte:

 

"Quatro equipas de futebol - A, B, C e D - vão jogar entre si uma vez. Após se terem realizado alguns - ou talvez todos - os jogos, pode-se conceber uma tabela como a seguinte, onde aparecem alguns aspetos dos jogos jogados, ganhos, perdidos, empatados, golos marcados, golos sofridos e pontuação" (Emmet, 2000. p. 33):

 

 

Complete a tabela na íntegra, sabendo que uma vitória vale dois pontos e um empate vale um ponto.

 

* - Emmet, E. (2000). Juegos de acertijos enigmaticos. Barcelona: gedisa Editorial.

 

Do ponto de vista matemático, este problema apela bastante ao raciocínio lógico, pois exige por parte do resolvedor o estabelecer de muitas relações entre as diversas variáveis em causa (número de jogos, resultados dos jogos, vitórias, empates, derrotas e pontuação). Além disto, permite o desenvolvimento da comunicação matemática na justificação das opções a tomar.

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula os alunos sentissem a força motivacional que a tarefa transporta consigo. Trata-se de algo enigmático, bastante motivador e com importantes pistas para que se possa iniciar o seu processo de resolução. Assim, vejamos que a equipa C ao ter dois pontos e não tendo qualquer vitória, só poderá ter empatado dois jogos. Por sua vez, a equipa D, ao não ter qualquer ponto, não terá conseguido vencer qualquer dos jogos em que esteve envolvida. Logo a tabela poderá começar a ser preenchida tendo em conta estes dois aspetos:

 

 

Em continuação o facto de a equipa ter empatado dois jogos, pelos dados da tabela só pode ter sido com as equipas A e B. Resta saber a razão pela qual a equipa B tem 5 pontos. Ora isto só pode ocorrer se esta tiver ganho à equipa D e à equipa A (2 + 2 pontos). Se à pontuação correspondente a estas duas vitórias (4 pontos) adicionarmos um ponto pelo empate com a equipa C, fica justificada a pontuação desta equipa B. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Tendo em conta a tabela anterior, concluímos, pois, que a equipa A tem, pelo menos, um empate com a equipa C e uma derrota com a equipa B. Por sua, vez, a equipa D tem, pelo menos, uma derrota - resultante do jogo com a equipa B. Por último, se a equipa C empatou com as equipas A e B, e a equipa D não tem vitórias, então aquela não tem qualquer derrota. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Neste momento nada sabemos sobre o que se passou entre as equipas A e D, pois elas podem ainda não ter jogado entre si (ficando a equipa A só com 1 ponto), ou a equipa A ter já derrotado a equipa D (ficando com 3 pontos). Logo, a partir deste ponto da resolução seria interessante fazer-se um estudo paralelo para estas duas opções acabadas de descrever. Vejamos ambos os cenários:

 

Cenário 1 - As equipas A e D ainda não terem jogado entre si:

 

 

 

Cenário 2 - A equipa A ter derrotado a equipa D:

 

 

 

Contudo, se com os dados que já temos formos preencher a coluna respeitante aos jogos, constatamos que o cenário 1 não faz sentido:

 

 

 

De facto, nunca a equipa B poderia já ter realizado três jogos e a equipa D só ter realizado um, pois, se assim fosse, não seria possível ocorrer o que se acabou de registar entre a equipa D e a equipa A. Logo, o cenário 1 terá de ser abandonado.

 

Vejamos como ficaria a tabela preenchendo-se a coluna dos jogos, no caso do cenário 2:

 

 

 

 

Ora, neste caso, concluímos que as equipas A e B já jogaram com todas as restantes e que ainda faltam defrontar-se as equipas C e D.

 

Neste momento já só falta descobrir os golos marcados pela equipa C e os golos sofridos pela equipa B. Contudo, uma vez que a equipa C só obteve empates, o número de golos marcados terá de coincidir com o número de golos sofridos:

 

 

 

Por sua vez, o total de golos marcados terá de ser igual ao total de golos sofridos, pelo que a equipa B terá sofrido 2 golos:

 

 

De facto, o somatório da coluna dos golos marcados coincide com o somatório da coluna dos golos sofridos: 13 golos. Logo, a tabela final fica com o seguinte aspeto:

 

 

Façamos uma extensão ao problema: Será possível prever o resultado de cada jogo realizado?

 

Em primeiro lugar convirá elencar tudo o que se sabe relativamente a cada equipa:

 

1 - A equipa D só obteve derrotas e sem qualquer golo marcado. Logo, nenhum dos seus dois adversários com quem já jogou  sofreu qualquer golo desta equipa. Por seu turno, quanto aos 3 golos sofridos, o que se sabe é que não foi a equipa C a marcá-los, porque estas duas equipas ainda não jogaram entre si.

 

2 - Os quatro golos sofridos pela equipa C foram marcados pelas equipas A e B. Por sua vez, os 4 golos que marcou também terão sido a estas duas equipas.

 

3 - Além dos golos marcados no empate da equipa B com a equipa C, aquela também terá marcado golos nas vitórias com as equipas A e D.

 

Sendo assim, um cenário possível para esta equipa B seria empatar a 2 golos com a equipa C, ganhar 1 a zero à equipa D e ganhar 2 a zero à equipa A. Se assim for, o outro empate da equipa C, desta vez com a equipa A, também terá de ser 2 a 2. Logo resta-nos a vitória da equipa A sobre a equipa D por 2 a zero:

 

 

Tendo em conta o mesmo autor, tente resolver um problema semelhante que ele coloca na página 36, cujos dados conhecidos são apenas os da tabela seguinte:

 

Calendários escritos em diferentes bases numéricas

Fevereiro 18, 2012

Paulo Afonso

o é a primeira vez que dedico atenção às bases e sistemas de numeração neste blog. Apesar de o nosso sistema de numeração ser de base decimal, torna-se importante que percebamos como funcionam outros sistemas de numeração suportados por outras bases que não sejam a decimal.

 

O exemplo mais vezes referenciado no nosso quotidiano será, porventura, o sistema de numeração de base dois ou binário. Como sabemos, trata-se de um sistema de numeração baseado apenas em dois tipos de símbolos escritos, o zero (0) e o um (1), muito utilizado no âmbito da informática.

 

Com estes dois únicos símbolos numéricos podem-se representar, por escrito, quaisquer quantidades numéricas. A título de exemplo, se se pretender representar a quantidade dois neste sistema de numeração, ter-se-á que utilizar o seguinte numeral: 10. O mesmo deverá ler-se: um grupo de dois e zero unidades. Já o numeral 11 representará o número cardinal três. A sua leitura deverá ser esta: um grupo de dois e uma unidade. Por sua vez, a quantidade quatro deverá ser apresentada da seguinte forma: 100. A sua leitura será: um grupo de quatro, zero grupos de dois e zero unidades. Assim sendo, a quantidade cinco será formada por um grupo de quatro, zero grupos de dois e uma unidade, isto é: 101.

 

Tendo em conta este sistema de numeração, dê continuidade ao preenchimento de um hipotético calendário relativo ao mês de Janeiro:

 

A imagem seguinte visa dar resposta ao desafio colocado:

 

 

Avaliemos alguns exemplos desse calendário... Como sabemos, o mês de janeiro tem trinta e um dias, pelo que a última célula preenchida deverá representar essa quantidade. E como é que o numeral 11111 constitui a representação escrita, na base dois ou binário, do cardinal trinta e um?

 

Como sabemos, se a mesma representação numérica 11111 fosse referente ao nosso sistema de numeração decimal, o mesmo queria dizer o seguinte:

 

Dezenas de MilharUnidades de MilharCentenasDezenasUnidades
104103102101100
%$&«*
11111

 

Teríamos:

- 1 dezena de milhar, isto é 1 x 104;

- 1 unidade de milhar, isto é 1 x 103;

- 1 centena, isto é 1 x 102;

- 1 dezena, isto é 1 x 101;

- 1 unidade, isto é 1 x 100.

 

Logo, concluímos que 11111 = 1 x 104 + 1 x 103 + 1 x 102 + 1 x 101 + 1 x 100.

 

Esta leitura não escapa ao nosso entendimento racional, porque estamos habituados a lidar com este sistema de numeração decimal ou de base dez. O critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dez.

 

Retomemos, então, o numeral 11111 escrito no binário ou base dois e façamos um estudo semelhante ao acabado de fazer para a base dez:

 

Grupos de dezasseisGrupos de oitoGrupos de quatroGrupos de doisUnidades
2423222120
%$&«*
11111

 

Neste caso os valores da tabela deverão ser interpretados da segunte forma:

- 1 grupo de dezasseis, isto é 1 x 24;

- 1 grupo de oito, isto é 1 x 23;

- 1 grupo de quatro, isto é 1 x 22;

- 1 grupo de dois, isto é 1 x 21;

- 1 unidade, isto é 1 x 20.

 

Logo, concluímos que 11111 (escrito na base dois) = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.

Neste caso, o critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dois.

 

Vejamos outro exemplo do calendário, como seja 10110. Está colocado na célula referente ao dia 22 de janeiro. Estará correto?

 

Façamos a respetiva conversão para a base decimal: 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22. Confirma-se, pois, que o valor 22 escrito em numeração binária ou de base dois é a seguinte 10110(base dois).

 

E se o nosso sistema de numeração não fosse o decimal nem o de base dois, mas, sim, o de base três? Como estariam representados os dias do mês de fevereiro de um ano bissexto?

 

Comecemos por perceber que o critério de mudança deste sistema de numeração será o "de três em três", isto é, só se avança para a ordem seguinte quando se atingir na ordem anterior a quantidade três. Logo, os símbolos disponíveis são apenas três (0, 1 e 2).

 

Comecemos por representar os primeiros cinco números de acordo com este critério de mudança:

 

 

Repare-se que:

1 = 1;

2 = 2;

3 = 10, isto é um grupo de três e zero unidades;

4 = 11, isto é um grupo de três e uma unidade;

5 = 12, isto é um grupo de três e duas unidades.

 

Como ficará o resto do calendário?

 

Espera-se que a quantidade seis seja vista como sendo dois grupos de três e zeros unidades, isto é 30. Já a quantidade sete será dois grupos de três e uma unidade e assim sucessivamente:

 

 

A título de certificação, vejamos, também agora, o último número deste mês, o que é relativo ao dia 29 de fevereiro.

1002(base três) = 1 x 33 + 0 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 =  27 + 0 + 0 + 2 = 29. Confirma-se, pois, o valor esperado.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante desafiar os alunos a investigar a feitura dos restantes meses do ano, atribuindo a cada um uma base diferente, isto é: (a) ao mês de março atribuir a base quatro; (b) ao mês de abril atribuir a base cinco; (c) ao mês de maio atribuir a base seis; (d) ao mês de junho atribuir a base sete; (e) ao mês de julho atribuir a base oito; (f) ao mês de agosto atribuir a base nove; (g) ao mês de setembro atribuir a base dez; (h) ao mês de outubro atribuir a base onze; (i) ao mês de novembro atribuir a base doze e (j) ao mês de dezembro atribuir a base treze.

 

Como ficariam os calendários?

 

Vejamos até ao mês de Agosto, inclusivé:

 

 

 

 

 

 

Já o mês de setembro, por usar a base decimal, suscitará uma leitura mais imediata e linear:

 

 

 

O mês de outubro, associado à base onze, implica uma dificuldade acrescida por não haver um símbolo numérico que represente a quantidade dez, pois os que conhecemos coincidem com os dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Sendo assim, sempre que se pretender representar a quantidade dez usar-se-á a letra A. Logo, a quantidade vinte e um, escrita nesta base onze será 1A, isto é, um grupo de onze mais dez unidades. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

O mesmo se passa com o mês de novembro, escrito na base doze, pois ter-se-á que associar o símbolo A à quantidade dez e um novo sómbolo B à quantidade onze. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

Como será o último mês do ano, se for preenchido com base no critério de "treze em treze"?

 

Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Dezembro 11, 2011

Paulo Afonso

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 121 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 222 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 323 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 424 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 525 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 626 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 727 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 828 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 929 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 23 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 37 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 531 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6Fatorização do 28Fatorização do 496
  

 

6 = 2 x 328 = 22 x 7496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

Conexão matemática entre o Crivo de Eratóstenes e os números de Fibonacci

Dezembro 03, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a detetar eventuais regularidades ou padrões, sejam eles de natureza numérica ou de natureza geométrica. O desafio com que inicio esta nova reflexão visa a identificação de algo que seja comum a todos os números que estão em destaque.

 

Qual será a característica que os une a todos?

 

 

 

Obviamente que quem não conhecer o conceito de número primo terá dificuldade em responder ao desafio colocado, pois a resposta é exatamente dizer-se que se tratam de todos os números primos inferiores ao valor 100. De facto, qualquer deles só admite dois divisores: ele próprio e a unidade, isto é, no conjunto dos números inteiros, somente a divisão por eles próprios ou por 1 dará resto zero.

 

Ora, se se fizer uma pesquisa rápida na Internet sobre o tema "números primos", facilmente daremos conta de que não existe uma fórmula ou algoritmo que nos permita encontrar todos os números primos. Talvez por este motivo os números primos sejam tão usados em códigos secretos, pois a sua decifração não é tarefa fácil.

 

Contudo, o quadro anterior pode servir de modelo matemático muito útil para se encontrarem todos os números primos inferiores ao 100. Denominado de Crivo de Eratóstenes, o mesmo pode ser explorado em contexto de sala de aula de Matemática ou junto de familiares e amigos da seguinte forma: esquecendo o 1, por não fazer parte deste tema, vamos isolar o 2 e eliminar (com uma outra cor) todos os números do quadro que sejam múltiplos do 2. Eis como fica inicialmente o quadro depois desta crivagem:

 

 

Eliminaram-se, pois, todos os números pares, à exceção do 2, por este ter sido selecionado.

 

De seguida vamos continuar a utilizar este crivo a partir do próximo número que não foi eliminado agora, isto é, o 3. Seleciona-se este número e dever-se-ão eliminar todos os múltiplos do 3. Claro está que há múltiplos do 3 que já aparecerão eliminados devido ao facto de também serem múltiplos do 2, como sejam, a título de exemplo, o 6, o 12, o 30, etc. Eis como fica agora o quadro:

 

 

Note-se que ainda há muito números que não foram eliminados, sendo que o menor deles é o 5. Assim sendo, seleciona-se este número e eliminam-se, agora, todos os múltiplos do 5 que ainda não foram eliminados. A título de exemplo, note-se que o 15 já foi eliminado por ser também múltiplo do 3. Por sua vez, o 20 já foi eliminado por também ser múltiplo do 2. Eis como fica agora o quadro:

 

 

De seguida faltam eliminar todos os múltiplos do 7 que ainda constem da tabela. Terão de eliminar-se o 49, o 77 e o 91:

 

 

Se nos fixarmos nos restantes números que ainda não foram eliminados, cada um deles já não tem qualquer múltiplo que não tenha sido já eliminado, pelo que se pode concluir que através deste Crivo de Eratóstenes estão identificados todos os números primos inferiores ao valor 100:

 

 

 

São eles:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19

23, 29

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

 

Escolhamos, agora, alguns destes números primos, como sejam: 11, 13, 17, 23, 29, 43, 53 e 73 e investiguemos que tipo de relação poderão ter com a sequência de números de Fibonacci, designadamente com os seguintes elementos: 2, 3, 5, 8 e 13. Haverá alguma conexão matemática entre estes dois tipos de números: os primos e os de Fibonacci?

 

De entre várias estimativas que qualquer resolver pode colocar a si próprio, seria desejável que em contexto de sala de aula os alunos assumissem a postura de Equipa de Detetives da Matemática, de modo a que alguém pudesse testar, de entre várias outras conjeturas, a soma do produto de dois destes números de Fibonacci com um terceiro número desta sequência.

 

Vejamos o seguinte exemplo, tendo em conta os valores 2, 3 e 5:

 

a) 2 x 3 + 5 = 11

b) 2 x 5 + 3 = 13

c) 3 x 5 + 2 = 17

 

Quer o 11, como o 13 ou o 17 pertencem aos números identificados pelo Crivo de Eratóstenes, logo são números primos.

 

Vejamos um novo exemplo, envolvendo, agora, os valores 3, 5 e 8:

 

a) 3 x 5 + 8 = 23

b) 3 x 8 + 5 = 29

c) 5 x 8 + 3 = 43

 

Uma vez mais, os valores 23, 29 e 43 também estão no Crivo de Eratóstenes como sendo números primos.

 

Será que o mesmo se passa se os números selecionados para testagem forem o 5 o 8 e o 13? E se forem os números 8, 13 e 21, alguma coisa surgirá diferente?

Conexões matemáticas envolvendo o conceito de metade, o conceito de combinações, o conceito de decomposição de números através de adições e o conceito de número triangular

Novembro 19, 2011

Paulo Afonso

Num dos artigos deste blog (http://recreamat.blogs.sapo.pt/16342.html) refleti há tempos acerca de como se poderiam arrumar três ovos numa caixa de ovos com a capacidade para meia dúzia de ovos. Na altura pude associar este desafio ao conceito de números triangulares que, como sabemos, resultam da lei geral (n2 + n) : 2. Recordando alguns destes números, destaco os primeiros quatro por voltarem a estar envolvidos na reflexão que vou apresentar neste meu novo artigo. Aqui estão: 1, 3, 6 e 10.

 

Desta vez, o desafio é encontrar todas as de pintar metade de um painel retangular, formado por seis quadriculas geometricamente iguais, como ilustra a figura seguinte:

 

 

Esta tarefa pode permitir várias sugestões, como sejam as seguintes:

 

 
  
  

 

Como podemos observar nas figuras acima, poder-se-á (a) pintar um linha inteira, (b) pintar os extremos de uma linha e o quadrado central da outra linha, (c) pintar a coluna do meio e a quadrícula da esquerda da linha de cima, (d) pintar a coluna da direita e a quadrícula do meio da linha de baixo, (e) pintar a coluna da esquerda e a quadrícula da direita da linha de baixo ou (f) pintar na linha de cima a quadrícula da esquerda e pintar na linha de baixo a quadrícula do meio e a da direita. 

 

Claro está que em sala de aula esta tarefa poderia constituir-se como sendo uma tarefa de investigação, por forma a que os alunos, em trabalho de pequenos grupos, pudessem investigar todas as possibilidades de resposta.

 

Ora, uma aproximação por tentativa e erro poderia ser uma abordagem que levasse os alunos ao sucesso da tarefa, descobrindo as 20 possibilidades de realizar este desafio. Contudo seria interessante incutir nos alunos uma forma organizada de apresentar os resultados do seu trabalho. Por isso, vou sugerir uma possível apresentação dos mesmos, com base em algum critério, que explicarei a seguir.

 

Assim, um primeiro conjunto de figuras será o que levar em linha de conta a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio, da linha de cima. Já a terceira quadrícula deste primeiro conjunto de imagens não será fixa, pois será uma das restantes. Teremos, pois, 4 figuras com base neste critério:

 

   

 

De seguida apresento mais três figuras em que as quadrículas fixas são a do canto superior esquerdo e a do canto superior direito:

 

  

 

Por sua vez, as duas próximas figuras mantêm fixas as quadrículas do canto superior esquerdo e do canto inferior direito:

 

 

 

Por último falta uma figura que mantém fixas a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio da linha de baixo:

 

 

Ora, usando-se sempre a quadrícula do canto superior direito resultam, pois, 10 figuras diferentes.

 

Passemos, agora, a fazer um estudo semelhante para todas as figuras que mantêm fixa a quadrícula do meio da linha de cima. Se além desta se fixar a do canto superior direito, eis que resultam mais três novas figuras:

 

  

 

Fixemos, agora, além da quadrícula do meio da linha de cima, a quadrícula do canto inferior direito. Originar-se-ão duas novas imagens:

 

 

 

Por último, fixando-se ainda a quadrícula do meio da linha de cima e, agora, a quadrícula do meio da linha de baixo, eis que surge uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se sempre a quadrícula do meio da linha de cima originaram-se mais 6 figuras.

 

Passemos, agora, a fixar a quadrícula do canto superior direito. Eis que se também se fixar a do canto inferior direito surgem duas novas figuras:

 

 

 

Por último, fixando-se novamente a quadrícula do canto superior direito e, agora, a do meio da linha de baixo, eis que temos uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se a quadrícula do canto superior direito obtiveram-se mais 3 figuras.

 

Para finalizar esta apresentação de resultados, falta apenas fixar a coluna do canto inferior esquerdo. Eis a figura que resulta:

 

 

Em síntese, obtivemos mais 1 figura. Sendo assim, no total temos 10 + 6 + 3 + 1 = 20 figuras diferentes.

 

Note-se, pois, que cada parcela desta adição é um número triangular, como foi referido ao início desta reflexão.

 

Claro que dependendo do tipo de alunos, este valor 20 poderia ser obtido pelo cálculo das combinações de seis quadrículas, três a três:

 

 

Mas esta mesma tarefa poderia conectar-se a outros conteúdos matemáticos, como seja a decomposição de números através de adições. Para tal vamos investigar quantas somas diferentes conseguimos obter a partir de três parcelas diferentes, tendo por base a figura seguinte:

 

 

Obviamente que será fácil percebermos que a menor soma é 6, que resulta da seguinte adição: 1 + 2 + 3:

 

 

De seguida, surge a soma 7 através de uma nova adição 1 + 2 + 4:

 

 

para a soma 8, temos duas adições diferentes:

 

 1 + 2 + 5 1 + 3 + 4
 

 

Vejamos agora a soma 9. Podemos obtê-la através de três adições diferentes:

 

 1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 2 + 3 + 4
  

 

A soma 10 também pode ser obtida através de três diferentes adições:

 

 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5 2 + 3 + 5
  

 

O mesmo se passa com a soma 11:

 

 1 + 4 + 6 2 + 3 + 6 2 + 4 + 5
  

 

Para a soma 12 voltamos a ter só duas adições:

 

 1 + 5 + 6 3 + 4 + 5
 

 

O mesmo se passa para a soma 13:

 

 2 + 5 + 6 3 + 4 + 6
 

 

Para a soma 14 só existe uma adição possível: 3 + 5 + 6:

 

 

Por último, a soma 15 também só admite uma adição: 4 + 5 + 6:

 

 

Em síntese, tratou-se de outra forma o encontrar das 20 formas diferentes de obter metade da figura, neste caso conectada à operação adição, associando-a à decomposição de todas as somas possíveis de serem obtidas nas condições enunciadas nesta tarefa.

 

Note-se, também, que estas 20 formas diferentes de se obterem as dez somas possíveis obedecem a uma regularidade de natureza geométrica, que a figura seguinte permite evidenciar:

 

 

Fazer um estudo semelhante para todos os produtos que se poderão obter a partir da mesma figura, utilizando-se sempre três fatores diferentes:

 

Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas

Outubro 15, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.

 

Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:

 

5;     6,(6);     10;     16;     26,(6);     ______;

 

Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.

 

Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:

 

x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)

 

10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=>

<=> 9x = 60 <=>

<=> x = 60/9 <=>

<=> x = 20/3

 x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)

 

10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=>

<=> 9x = 240 <=>

<=> x = 240/9 <=>

<=> x = 80/3

 

Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:

 

5;     20/3;     10;     16;     80/3;     ______;

 

Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.

 

No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:

   

5;     20/3;     10;     16;     160/6;     ______;

 

Ajuda?

 

Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     ______;

 

Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).

 

Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     320/7;

 

Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).

 

Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:

 

 

Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?

 

Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural,  a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:

 

 

Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.

 

Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.

 

Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?

 

Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!

 

Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?

Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

Setembro 17, 2011

Paulo Afonso

Quando somos confrontados com situações de Matemática Recreativa, nem sempre conseguimos dar resposta imediata aos desafios colocados. Apostar na nossa capacidade de persistência acaba, muitas vezes, por ser uma boa tomada de decisão. O exemplo com que inicio mais um ano letivo, refletindo sobre esta importante área da recreação matemática, pretende debater este aspeto. Eis o desafio que coloco aos meus leitores:

 

Analise o conjunto de dados numéricos que compõem a figura seguinte e proponha os valores da próxima linha. Qual o critério para a essa sua seleção?

 

 

Provavelmente terá dificuldade, no imediato, de avançar com uma resposta válida, pois aparentemente os números da figura poderão parecer não ter relação entre si. Contudo, muitas poderão ser as abordagens a realizar e, o importante é que, enquanto resolvedores motivados para este tipo de desafios, não desistamos face a esta eventual dificuldade inicial.

 

Uma possível estratégia de resolução poderá passar por se calcular a soma em cada linha, no sentido de se averiguar se existe algum tipo de padrão ou regularidade numérica. Façamo-lo, então:

 

 

Curiosamente poderemos constatar que existe uma regularidade numérica entre as somas obtidas. De fato, de uma soma para a seguinte incrementa-se um valor que é sempre um número quadrado (22, 32, 42 e 52). Ora, continuando com este critério, saber-se-á a soma da linha seguinte, pois basta acrescentar à soma da última linha o valor 36, que é o quadrado de 6. Essa soma será, pois, o valor 91.

 

Significa isto, que os valores da figura inicial poderão ser substituídos exclusivamente por números quadrados:

 

 

Face a esta importante descoberta, ficará fácil avançar com uma proposta de valores para a linha que é solicitada na tarefa. A figura seguinte elucida a continuidade do padrão descoberto, confirmando a soma inferida acima:

 

 

Fica, pois, resolvida uma tarefa que inicialmente parecia ter um grau de dificuldade elevado. Desenvolver em cada um de nós a capacidade de persistência é, pois, um dos objetivos deste tipo de tarefas que proponho para reflexão conjunta.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos, além de descobrirem este tipo de estratégia de resolução, não ficassem satisfeitos com ela e tentassem outras abordagens que a tarefa suscita.

 

Uma possível abordagem, diferente da sugerida acima, passa por se estabelecer uma relação aritmética a partir dos valores iniciais da tarefa:

 

Note-se que a relação estabelecida na figura acima possibilita o evidenciar de uma importante conexão matemática aos números triangulares. De fato, todos os fatores que multiplicam o valor 2, e o último valor de cada linha (1, 3, 6, 10, 15, ...), fazem parte deste conjunto de números figurados, tema ao qual já dedicámos muitos artigos neste blog.

 

Há, pois, uma lógica numérica que pode ser aplicada em todos os casos. De uma linha para a seguinte dobra-se o último número (triangular) da linha anterior e adiciona-se o próximo número triangular. Ora, tendo em conta este raciocínio, será fácil propor a próxima linha, que contempla já o próximo número triangular - 21:

 

 

Seria, pois, interessante, em sala de aula, que os alunos percebessem o "comportamento matemático" dos números envolvidos na figura inicial, assim trabalhada:

 

Saliente-se, então, que os valores a, c, d, e e f pertencem todos ao conjunto dos números triangulares, pelo que a próxima linha terá de ser a seguinte:

 

Sendo assim, substituindo as letras pelos respetivos valores numéricos, eis a confirmação dos números da última linha, bem como  da soma 91:

 

 

Em jeito de síntese, poder-se-á concluir que esta tarefa, aparentemente difícil, suscitou estes dois tipos de abordagem interessantes e complementares, permitido uma visão da Matemática como sendo a ciência dos padrões e em que os conceitos se conetam entre si!

 

Como sugestão, analise qual o conjunto de números a acrescentar na próxima linha da figura seguinte. Explique o critério de seleção:

 

 

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