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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Conexões matemáticas envolvendo o conceito de metade, o conceito de combinações, o conceito de decomposição de números através de adições e o conceito de número triangular

Novembro 19, 2011

Paulo Afonso

Num dos artigos deste blog (http://recreamat.blogs.sapo.pt/16342.html) refleti há tempos acerca de como se poderiam arrumar três ovos numa caixa de ovos com a capacidade para meia dúzia de ovos. Na altura pude associar este desafio ao conceito de números triangulares que, como sabemos, resultam da lei geral (n2 + n) : 2. Recordando alguns destes números, destaco os primeiros quatro por voltarem a estar envolvidos na reflexão que vou apresentar neste meu novo artigo. Aqui estão: 1, 3, 6 e 10.

 

Desta vez, o desafio é encontrar todas as de pintar metade de um painel retangular, formado por seis quadriculas geometricamente iguais, como ilustra a figura seguinte:

 

 

Esta tarefa pode permitir várias sugestões, como sejam as seguintes:

 

 
  
  

 

Como podemos observar nas figuras acima, poder-se-á (a) pintar um linha inteira, (b) pintar os extremos de uma linha e o quadrado central da outra linha, (c) pintar a coluna do meio e a quadrícula da esquerda da linha de cima, (d) pintar a coluna da direita e a quadrícula do meio da linha de baixo, (e) pintar a coluna da esquerda e a quadrícula da direita da linha de baixo ou (f) pintar na linha de cima a quadrícula da esquerda e pintar na linha de baixo a quadrícula do meio e a da direita. 

 

Claro está que em sala de aula esta tarefa poderia constituir-se como sendo uma tarefa de investigação, por forma a que os alunos, em trabalho de pequenos grupos, pudessem investigar todas as possibilidades de resposta.

 

Ora, uma aproximação por tentativa e erro poderia ser uma abordagem que levasse os alunos ao sucesso da tarefa, descobrindo as 20 possibilidades de realizar este desafio. Contudo seria interessante incutir nos alunos uma forma organizada de apresentar os resultados do seu trabalho. Por isso, vou sugerir uma possível apresentação dos mesmos, com base em algum critério, que explicarei a seguir.

 

Assim, um primeiro conjunto de figuras será o que levar em linha de conta a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio, da linha de cima. Já a terceira quadrícula deste primeiro conjunto de imagens não será fixa, pois será uma das restantes. Teremos, pois, 4 figuras com base neste critério:

 

   

 

De seguida apresento mais três figuras em que as quadrículas fixas são a do canto superior esquerdo e a do canto superior direito:

 

  

 

Por sua vez, as duas próximas figuras mantêm fixas as quadrículas do canto superior esquerdo e do canto inferior direito:

 

 

 

Por último falta uma figura que mantém fixas a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio da linha de baixo:

 

 

Ora, usando-se sempre a quadrícula do canto superior direito resultam, pois, 10 figuras diferentes.

 

Passemos, agora, a fazer um estudo semelhante para todas as figuras que mantêm fixa a quadrícula do meio da linha de cima. Se além desta se fixar a do canto superior direito, eis que resultam mais três novas figuras:

 

  

 

Fixemos, agora, além da quadrícula do meio da linha de cima, a quadrícula do canto inferior direito. Originar-se-ão duas novas imagens:

 

 

 

Por último, fixando-se ainda a quadrícula do meio da linha de cima e, agora, a quadrícula do meio da linha de baixo, eis que surge uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se sempre a quadrícula do meio da linha de cima originaram-se mais 6 figuras.

 

Passemos, agora, a fixar a quadrícula do canto superior direito. Eis que se também se fixar a do canto inferior direito surgem duas novas figuras:

 

 

 

Por último, fixando-se novamente a quadrícula do canto superior direito e, agora, a do meio da linha de baixo, eis que temos uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se a quadrícula do canto superior direito obtiveram-se mais 3 figuras.

 

Para finalizar esta apresentação de resultados, falta apenas fixar a coluna do canto inferior esquerdo. Eis a figura que resulta:

 

 

Em síntese, obtivemos mais 1 figura. Sendo assim, no total temos 10 + 6 + 3 + 1 = 20 figuras diferentes.

 

Note-se, pois, que cada parcela desta adição é um número triangular, como foi referido ao início desta reflexão.

 

Claro que dependendo do tipo de alunos, este valor 20 poderia ser obtido pelo cálculo das combinações de seis quadrículas, três a três:

 

 

Mas esta mesma tarefa poderia conectar-se a outros conteúdos matemáticos, como seja a decomposição de números através de adições. Para tal vamos investigar quantas somas diferentes conseguimos obter a partir de três parcelas diferentes, tendo por base a figura seguinte:

 

 

Obviamente que será fácil percebermos que a menor soma é 6, que resulta da seguinte adição: 1 + 2 + 3:

 

 

De seguida, surge a soma 7 através de uma nova adição 1 + 2 + 4:

 

 

para a soma 8, temos duas adições diferentes:

 

 1 + 2 + 5 1 + 3 + 4
 

 

Vejamos agora a soma 9. Podemos obtê-la através de três adições diferentes:

 

 1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 2 + 3 + 4
  

 

A soma 10 também pode ser obtida através de três diferentes adições:

 

 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5 2 + 3 + 5
  

 

O mesmo se passa com a soma 11:

 

 1 + 4 + 6 2 + 3 + 6 2 + 4 + 5
  

 

Para a soma 12 voltamos a ter só duas adições:

 

 1 + 5 + 6 3 + 4 + 5
 

 

O mesmo se passa para a soma 13:

 

 2 + 5 + 6 3 + 4 + 6
 

 

Para a soma 14 só existe uma adição possível: 3 + 5 + 6:

 

 

Por último, a soma 15 também só admite uma adição: 4 + 5 + 6:

 

 

Em síntese, tratou-se de outra forma o encontrar das 20 formas diferentes de obter metade da figura, neste caso conectada à operação adição, associando-a à decomposição de todas as somas possíveis de serem obtidas nas condições enunciadas nesta tarefa.

 

Note-se, também, que estas 20 formas diferentes de se obterem as dez somas possíveis obedecem a uma regularidade de natureza geométrica, que a figura seguinte permite evidenciar:

 

 

Fazer um estudo semelhante para todos os produtos que se poderão obter a partir da mesma figura, utilizando-se sempre três fatores diferentes:

 

De Mataix ao jogo do Trinca-Espinhas - Um caso de divisores

Setembro 08, 2009

Paulo Afonso

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado "A Maçã da Discórdia"*. Constituído por 149 situações de recreação matemática, a nº 2, com o título "Uma partida do dom Félix e Arquimedes Garcia" fez-me lembrar um jogo didáctico com que trabalhei os divisores de um número aquando da minha formação inicial. O jogo chamava-se o Trinca-Espinhas.

 

* - Mataix, M. (2008). A Maçã da Discórdia. RBA Editores.

 

Mas vamos por partes. Começo por tomar a liberdade de transcrever o texto dessa actividade nº 2:

"Começa-se com os números naturais de 1 até N, escritos em fila. Primeiro joga Arquimedes e as regras a seguir são estas:

a) Arquimedes tira o número que quer da fila e apaga-o, sujeito a cumprir a condição de nunca tirar um número do qual não fique nenhum factor na fila.

b) Dom Félix joga depois, apagando dos restantes números todos aqueles que são factores do que Arquimedes escolheu.

c) O jogo termina quando Arquimedes não pode escolher mais números. neste momento Arquimedes tem de fazer com que a soma dos números que tirou seja a menor possível" (p. 9).

O exemplo que Mataix disponibilizou para os seus leitores é o caso em que N = 7. Se Arquimedes escolher o 6, dom Félix ficará com o 1, o 2 e o 3. Logo, a soma mínima é 6.

Como será para o caso de N = 20?

Porque é que eu digo que este desafio me fêz recordar do jogo do Trinca-Espinhas? Precisamente, porque este jogo baseia-se, na essência, nas regras acima enunciadas. A única alteração é que cada jogador joga contra o computador, personalizado na figura do Trinca-Espinhas e em que os números sobrantes ficam para o Trinca-Espinhas, sendo o objectivo do jogo obter uma soma maior do que a soma dos números com que o Trinca-Espinhas fica.

Eis o exemplo de se ganhar ao Trinca-Espinhas, quando N = 10:

Jogador X Trinca-Espinhas
7 1
9 3
6 2
8 4
10 5

Note-se que, neste caso, não sobrou mais nenhum número para o Trinca-Espinhas, pois todos foram envolvidos na selecção feita pelo Jogador X.

Fazendo-se as respectivas somas, o Jogador X obteve 40 pontos e o Trinca-Espinhas apenas 15 pontos.

Qual a estratégia ganhadora par N = 20?

Estes exemplos permitem, como sempre, múltiplas extensões. Uma delas passa por se conectar a decomposição do número ao conceito de número primo e aos critérios de divisibilidade.

Imaginem-se os dez primeiros números naturais:

1    2     3     4     5     6     7     8     9     10

O jogo consiste em retirar-se um número desse conjunto, de cada vez, de modo a que os respectivos números que o originam, por decomposição em parcelas, também sejam eliminados do conjuto. Quando já não se puder retirar mais nenhum número, por não haver possibilidade de se obter esse número com os números ainda restantes, estes têm que originar um soma que seja um número primo.

Exemplifiquemos:

Números retirados Sua obtenção pelo processo aditivo
3 1 + 2
9 4 + 5

Neste caso já não há mais números que possam ser esclhidos, porque os mesmos não se conseguirão obter com os restantes que ainda estão em jogo. Logo, sobram os seguintes números: 6, 7, 8 e 10. A sua soma é 31, logo é uma caso de sucesso, pois o 31 é um número primo.

Haverá mais casos de sucesso? Quais?

Caminhos numéricos

Março 30, 2009

Paulo Afonso

Aparentemente desligada de qualquer conceito matemático, a figura seguinte visa obter um resultado final a partir de um número dado e de dois critérios operativos numéricos, um na horizontal e outro na vertical:

Este desafio, pela sua simplicidade, permite que rapidamente seja encontrado o valor 11 para a célula final:

Em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que cada valor colocado numa linha oblíqua resulta da combinação das duas operações a realizar, respectivamente, em linha e em coluna. Neste caso, trata-se da adição de 5 unidades. Como isto ocorre duas vezes na linha diagonal máxima desta figura, significa que o resultado final (F) será a soma do valor de partida (P) com duas vezes a adição de 5 unidades: F = P + 5 + 5. Simplificando, F = P + 2 x 5:

Esta tarefa permite que os alunos sejam desafiados a identificar todos os percursos desde o valor 1 inicial até ao valor 11 final. Com esta questão estar-se-á a trabalhar o conceito matemático da decomposição do número, pois identificar-se-ão algumas decomposições do valor 11:

1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11 1 + 2 + 5 + 3 = 11 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 11
1 + 2 + 3 + 5 = 11 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 11 1 + 5 + 2 + 3 = 11
1 + 5 + 5 = 11 1 + 5 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 2 + 2 + 3 = 11
1 + 3 + 2 + 5 = 11 1 + 3 + 2 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 5 + 2 = 11
1 + 3 + 3 + 2 + 2 = 11    

Estas são, pois, 13 possibilidades de decompor o valor 11.

Voltando à situação inicial, constata-se que a fórmula identificada (F = P + 2 x 5) funciona para outros casos, como os seguintes:

No 1º caso: 2 + 2 x 5 = 12. No 2º caso: 10 + 2 x 5 = 20.

Se se mudarem os critérios aditivos, quer em linha, quer em coluna, será que a regularidade, agora identificada, também se mantém?

Vejamos os seguintes casos: 

No 1º caso: 1 + 2 x 7 = 15. No 2º caso: 10 + 2 x 11 = 32. Confirma-se, pois, que o valor final resulta sempre da adição do valor inicial com o dobro da soma dos operadores aditivos envolvidos em em linha e em coluna.

Será que a operação multiplicação também permite uma analise semelhante a este caso da adição?

Iniciemos o estudo através da figura seguinte:

Note-se que, neste caso, também poderemos avançar com um algoritmo que servirá para vários casos envolvendo estes valores operativos: F = P + 6 x 6, isto é, F = P x 62:

Concluimos, pois, que esta operação envolve o conceito de potenciação, pois o valor final resulta do produto do valor inicial com o quadrado do valor envolvido no produto dos operadores em linha e em coluna.

Esta nova lei geral também se aplica no caso se se substituir o valor inicial 1 pelo valor 2:

 

Confirma-se que 2 x 62 = 72.

Tendo em conta estas análises, recorra ao esquema seguinte para confirmar a sua identificação do valor final para um novo caso como estes, em que os critérios multiplicativos  passam a ser "x 5" na horizontal e "x 6" na vertical e cujo valor inicial é 100:

Se este mesmo quadro de 3 por 3 passasse à forma 5 x 5, qual seria o valor final? Como se deve obter esse valor sem se recorrer à elaboração do esquema?

Explorando matemática a partir do quotidiano

Dezembro 15, 2008

Paulo Afonso

A Matemática Recreativa pode recorrer a múltiplos aspectos do quotidiano das pessoas para a criação de actividades. Desde logo, as idades dos sujeitos, os mostradores de relógios, os calendários, a actividade de se fazerem compras, são apenas alguns exemplos, dos muitos que podem ser utilizados para esse fim. O exemplo que escolhi para ilustrar o tema deste artigo aborda os números colocados nas portas das casas das pessoas.

Imagine uma pequena rua, de uma determinada aldeia, cujo nome pode ser a rua da figueira, formada apenas por oito casas, cujos números das portas vão desde o número 1 ao número 8. Sabe-se que em cada casa existe uma criança, de idades compreendidas entre os nove e os treze anos, cujos nomes estão na figura seguinte:

Note-se a curiosidade de as raparigas morarem num dos lados da rua e os rapazes morarem no outro. Entretanto o Henrique, o mais velho das oito crianças fez o seguinte comentário: - Já repararam que quando eu adiciono o número da minha porta aos números de outras três casas, o resultado dá exactamente igual à soma dos números das outras quatro portas? O fascinante é que isso ocorre em quatro possibilidades diferentes. Quais são?

Como situação de recreação matemática, permite as seguintes soluções:

Caso A 8 + 7 + 2 + 1 = 18 3 + 4 + 5 + 6 = 18
Caso B 8 + 6 + 3 + 1 = 18 2 + 4 + 5 + 7 = 18
Caso C 8 + 5 + 4 + 1 = 18 2 + 3 + 6 + 7 = 18
Caso D 8 + 5 + 3 + 2 = 18 1 + 4 + 6 + 7 = 18

Esta situação, quando transportada para a sala de aula, deveria ser objecto da seguinte análise:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 e (a) 1 + 8 = 9; (b) 2 + 7 = 9; (c) 3 + 6 = 9; (d) 4 + 5 = 9, pelo que permite as seguintes associações:

(a) + (b) e (c) + (d) (1 + 8) + (2 + 7) (3 + 6) + (4 + 5)
(a) + (c) e (b) + (d) (1 + 8) + (3 + 6) (2 + 7) + (4 + 5)
(a) + (d) e (b) + (c) (1 + 8) + (4 + 5) (2 + 7) + (3 + 6)

 Além disto, decompondo o número 18 em quatro parcelas diferentes, em que uma é o 8, origina os seguintes quatro casos:

(a) 8 + 7 + 2 + 1; (b) 8 + 6 + 3 + 1; (c) 8 + 5 + 4 + 1; (d) 8 + 5 + 3 + 2, pelo que se confirmam as quatro soluções já anteriormente expostas:

Caso A

8 + 7 + 2 + 1 = 18

3 + 4 + 5 + 6 = 18

Caso B

8 + 6 + 3 + 1 = 18

2 + 4 + 5 + 7 = 18

Caso C

8 + 5 + 4 + 1 = 18

2 + 3 + 6 + 7 = 18

Caso D

8 + 5 + 3 + 2 = 18

1 + 4 + 6 + 7 = 18

Como extensão desta tarefa, poder-se-ia imaginar a intervenção da Ana dizendo que quando adicionava o número da sua casa ao de três outras, o resultado obtido era metade da soma dos números das outras quatro casas. A que casas se referia?

Este desafio implica que o valor total (36) seja dividido em três parte iguais (12). Juntando duas delas obtêm-se dois valores em que um é o dobro do outro (24 e 12, respectivamente). Ora, isto acontece nos seguintes dois casos:

Caso A 1 + 2 + 3 + 6 = 12 4 + 5 + 7 + 8 = 24
Caso B 1 + 2 + 4 + 5 = 12 3 + 6 + 7 + 8 = 24

Faça o estudo para o caso de um grupo de quatro casas originar uma soma que seja quatro quintos da soma do outro grupo de quatro casas. Quantas soluções consegue obter?

Da decomposição dos números aos quadrados mágicos

Outubro 16, 2008

Paulo Afonso

A decomposição de números pode servir de motivação para se abordarem múltiplos aspectos da Matemática, como seja a distinção entre número e numeral, bem como a operação adição e a sua inversa - operação subtracção - ou até mesmo algumas propriedades da adição, como seja a comutativa ou a associativa.

Pegando neste tema da decomposição dos números, imagine que é solicitado a descobrir quais os números que são possíveis decompor, tendo em conta as seguintes regras:

a) a decomposição será feita através de adições envolvendo apenas três parcelas;

b) como parcelas da dição pode utilizar apenas os nove primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

c) numa mesma adição não pode haver repetição de números. 

Quais os números susceptíveis de serem decompostos e quais as decomposições possíveis para cada um desses números?

Esta situação pode ser resolvida por tentativas ou, então, através de um processo mais sistematizado, isto é, envolvendo um critério específico como o que apresento a seguir:

Soma máxima: 24 e só permite uma decomposição: 9 + 8 + 7

Soma mínima: 6 e só permite uma decomposição: 3 + 2 + 1

As restantes dezassete somas e as respectivas decomposições encontram-se nas tabelas seguintes:

Soma 23 Soma 22 Soma 21 Soma 20

9 + 8 + 7

 

 

 

9 + 8 + 5

9 + 7 + 6

 

 

9 + 8 + 4

9 + 7 + 5

8 + 7 + 6

 

9 + 8 + 3

9 + 7 + 4

9 + 6 + 5

8 + 7 + 5

 

Soma 19 Soma 18 Soma 17 Soma 16

9 + 8 + 2

9 + 7 + 3

9 + 6 + 4

8 + 7 + 4

8 + 6 + 5

 

 

 

9 + 8 + 1

9 + 7 + 2

9 + 6 + 3

9 + 5 + 4

8 + 7 + 3

8 + 6 + 4

7 + 6 + 5

 

9 + 7 + 1

9 + 6 + 2

9 + 5 + 3

8 + 7 + 2

8 + 6 + 3

8 + 5 + 4

7 + 6 + 4

 

9 + 6 + 1

9 + 5 + 2

9 + 4 + 3

8 + 7 + 1

8 + 6 + 2

8 + 5 + 3

7 + 6 + 3

7 + 5 + 4

 

Soma 15 Soma 14 Soma 13 Soma 12

9 + 5 + 1

9 + 4 + 2

8 + 6 + 1

8 + 5 + 2

8 + 4 + 3

7 + 6 + 2

7 + 5 + 3

6 + 5 + 4

9 + 4 + 1

9 + 3 + 2

8 + 5 + 1

8 + 4 + 2

7 + 6 + 1

7 + 5 + 2

7 + 4 + 3

6 + 5 + 3

9 + 3 + 1

8 + 4 + 1

8 + 3 + 2

7 + 5 + 1

7 + 4 + 2

6 + 5 + 2

6 + 4 + 3

 

9 + 2 + 1

8 + 3 + 1

7 + 4 + 1

7 + 3 + 2

6 + 5 + 1

6 + 4 + 2

5 + 4 + 3

 

  

Soma 11 Soma 10 Soma 9 Soma 8 Soma 7

8 + 2 + 1

7 + 3 + 1

6 + 4 + 1

6 + 3 + 2

5 + 4 + 2

7 + 2 + 1

6 + 3 + 1

5 + 4 + 1

5 + 3 + 2

 

6 + 2 + 1

5 + 3 + 1

4 + 3 + 2

 

 

5 + 2 + 1

4 + 3 + 1

 

 

 

4 + 2 + 1

 

 

 

 

Analizando-se as dezanove somas possíveis de ser decompostas de acordo com as regras do enunciado desta tarefa, constata-se a curiosidade de o número de decomposições para cada caso originar uma distribuição de tendência normal, como evidencia o gráfico seguinte:

 

Trata-se, pois, de um distribuição simétrica, em que a frequência absoluta mais elevada é 8, correpondendo às decomposições dos valores 14, 15 e 16.

Ora, tendo em conta as oito decomposições do número 15:

9 + 5 + 1

9 + 4 + 2

8 + 6 + 1

8 + 5 + 2

8 + 4 + 3

7 + 6 + 2

7 + 5 + 3

6 + 5 + 4

poderse-á analisar o número de vezes que cada um dos valores surge nessas adições. Assim, o valor mais utilizado é o 5, pois aparece em quatro decomposições. De seguida há quatro números que aparecem três vezes. São eles o 2, o 4, o 6 e o 8. Por último, os números 1, 3, 7 e 9 apenas surgem duas vezes. 

Com base nesta análise, seria interessante poder colocar estes mesmos números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nas nove células seguintes, de modo que o quadrado seguinte assumisse o atributo de quadrado mágico de soma 15, isto é, as somas em quaisquer linha, coluna ou diagonal ser sempre 15. Nota: como há nove células para nove números, todos deverão ser usados e apenas uma vez:

Espera-se que a solução encontrada possa confirmar o número de vezes em que cada número é utilizado na decomposição do número 15, segundo as regras impostas por esta tarefa:

Ora, o tema dos quadrados mágicos é dos temas mais fascinantes ao nível da recreação matemática, por permitir múltiplas explorações e conexões a outros temas.

Repare que se a sequência numérica for outra, como por exemplo esta: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, a soma mágica já terá outro valor:

Note-se que quando a sequência numérica se iniciou no 1, a soma mágica foi 15; iniciando-se no 6 passou a ser 30.

Qual será a próxima sequência de nove números, designadamente o seu valor inicial, para que a soma mágica passe a ser 45? Consegue explicar o seu raciocínio?

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