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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Estratégias de cálculo mental em multiplicações e divisões

Janeiro 04, 2010

Paulo Afonso

Dando continuidade ao artigo anterior, esta semana vou sugerir algumas estratégias de cálculo mental para o caso de os cálculos envolverem multiplicações e divisões. Uma vez mais, reitero a ideia de que o cálculo mental tem de ser um acto compreensivo. Prever ou antecipar resultados operatórios contribui substancialmente para o desenvolvimento do sentido crítico de apreciação da razoabilidade dos resultados obtidos por via do cálculo mental.

 

Iniciemos pela multiplicação. Como obter rapidamente o produto da seguinte operação: 5 x 86? Ora, recorrendo à estratégia de se obter uma dezena, podemos multiplicar o 86 por 10 e dividir o produto por 2. Vejamos 5 x 86 = 86 x 5 = 86 x (10 : 2) = 860 : 2 = 430. Já no caso seguinte, a estatégia passa por se obter uma centena: 86 x 50. Vejamos: 86 x 50 = 86 x (100 : 2) = 8600 : 2 = 4300.

 

Decompor um dos factores envolvidos na multiplicação é também uma poderosa estratégia de cálculo mental. Vejamo-la aplicada no seguinte caso: 8 x 33. Decompondo o 33 em 30 + 3, vem: 8 x 33 = 8 x 30 + 8 x 3 = 240 + 24 = 264. Veja-se uo seguinte caso semelhante: 4 x 59. A sua resolução pode ser a seguinte: 4 x (60 - 1) = 240 - 4 = 236.

 

Como proceder para o seguinte caso: 132 x 5?

 

Vejamos agora o caso da operação divisão. Como efectuar a divisão de 180 por 12? Veja-se que estes dois números permitem ser simplicados sucessivamente. Logo a estratégia de se fazerem simplificações sucessivas pode ser muito útil para casos como este. Vejamos:  180 : 12 = 90 : 6 = 45 : 3 = 15.

 

Casos há em que multiplicar pelo inverso de um dos factores é uma estratégia muito adequada. Eis dois exemplos:

(a) 37 : 0,5 = 37 x 2 = (35 + 2) x 2 = 70 + 4 = 74.

(b) 45: 0,2 = 45 x 2 = 90.

 

Como será para o seguinte caso: 184 : 5? 

Utilizar o minicomputador papy para fazer divisões

Dezembro 21, 2009

Paulo Afonso

Encerro a minha reflexão acerca do minicomputador papy, apresentando a sua utilidade para o cálculo de divisões exactas.

Este material pode ser utilizado para este efeito, pois parte-se do pressuposto que conseguir-se-á obter tantas marcas nas células quanto o valor do divisor. Analisemos o exemplo da divisão de 62 por 2:

Comecemos por representar a quantidade 62:

 

De seguida teremos que ir convertendo cada marca em duas, pois é esse o valor do divisor. Iniciemos a conversão do grupo de 40 em dois grupos de 20:

Por sua vez, um dos grupos de 20 deve ser convertido em duas marcas de 10:

Assim, na ordem das dezenas já só temos células com duas marcas, como é desejável. Passemos agora à ordem das unidades. A marca de valor 2 deve converter-se em duas marcas de valor 1 cada:

Terminada a conversão das marcas, no calculador papy apenas já só existem marcas aos pares, como era pretendido: 

Pode-se agora identificar o quociente desta divisão, que é o valor 31:

Qual será o quociente de 78 por 3?

Comecemos por representar a quantidade 78:

De seguida, a marca que vale 40 deve ser convertida em duas de 20:

Por sua vez, a marca que vale 10 deve ser convertida em 8 + 2:

Uma das marcas de valor 8 deve converter-se em duas de valor 4:

O mesmo deverá ocorrer com a outra marca de valor 8:

Uma dessas marcas de valor 4 deve converter-se em duas de valor 2 cada:

Eis que o resultado final já só contempla três marcas nas células:

Logo, o resultado final será 26:

Como utilizar este computador para a divisão de 75 por 2?

Quadrados mágicos e a operação divisão

Junho 01, 2009

Paulo Afonso

Tal como no artigo anterior, vou dedicar esta nova reflexão ao tema dos quadrados mágicos devido ao excelente livro que me tem ocupado ultimamente o meu tempo dedicado à Matemática Recreativa. Refiro-me à tradução para Castelhano do livro de Henry Dudeney, intitulado - Acertijos, Desafíos e Tableros Matemáticos. Este livro foi publicado em 2007 pela editora RBA e o tema dos quadrados mágicos aparece com alguma frequência. Desta vez associá-lo-ei à operação divisão. Vejamos o seguinte exemplo:

Qual a razão pela qual o quadrado anterior pode ser rotulado de quadrado mágico?

Repare-se que:

a) 6 x 4 : 2 = 12

b) 18 x 8 : 12 = 12

c) 36 x 24 : 72 = 12

d) 6 x 36 : 18 = 12

e) 2 x 72 : 12 = 12

f) 4 x 24 : 8 = 12

g) 6 x 24 : 12 = 12

h) 36 x 4 : 12 = 12

A magia existe ao multiplicarem-se os dois valores extremos de uma qualquer linha horizontal, vertical ou oblíqua e dividir o produto obtido pelo respectivo valor central dessa linha. Neste caso, o valor mágico é 12.

O que acontecerá se se duplicar cada valor das nove células desta figura? Será que o quadrado resultante também será mágico? A sê-lo, qual será o valor mágico?

Vejamos a figura resultante:

Eis a operações a fazer e os respectivos resultados:

a) 12 x 8 : 4 = 24

b) 36 x 26 : 24

c) 72 x 48 : 144 = 24

d) 12 x 72 : 36 = 24

e) 4 x 144 : 24 = 24

f) 8 x 48 : 16 = 24

g) 12 x 48 : 24 = 24

h) 72 x 8 : 24 = 24

O valor mágico ao ser 24 permite que se conclua que a duplicação de cada valor da figura inicial implica obter um valor mágico que é o dobro do valor mágico inicial.

Sendo assim, quais serão os nove valores do quadrado mágico destas características quando o valor mágico for 120? 

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