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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dos problemas aos conceitos matemáticos - um caso de múltiplos e de divisibilidade

Fevereiro 01, 2010

Paulo Afonso

Muitos são os documentos de orientação metodológica para o ensino-aprendizagem da Matemática da actualidade que preconizam a ideia de que a resolução de problemas deve ser um dos mais importantes cenários metodológicos para que os alunos sejam capazes de construir o seu edifício matemático. A máxima "dos problemas aos conceitos" tem vindo, pois, a ser bastante veiculada no seio dos educadores matemáticos, pois através de situações desafiantes os alunos poderão aprender novos conceitos matemáticos ou revisitar, consolidando, os conceitos que já conhece.

 

O exemplo que escolhi para ilustar esta ideia retirei-o de um interessante livro de Margaret Edminston*, intitulado "Quebra-cabeças sobre Matemática". Eis o enunciado:

 

"Todas as manhãs, uma fazendeira recolhe os ovos que as suas galinhas puseram. Um dia, tropeçou à saída da capoeira e todos os ovos se partiram.

- Quantos ovos trazias? - perguntou-lhe a filha.

- Não sei - disse a mulher -, mas lembro-me de que quando dividi o número de ovos por 2, sobrou um ovo, quando dividi o número por 3 não sobrou nenhum, e quando dividi por 5 sobraram três ovos.

A mulher trazia mais de quatro ovos e menos de quarenta. Quantos ovos se partiram?" (Edminston, 2001, p. 40).

 

* - Edminston, M. (2001). Quebra-cabeças sobre Matemática. Lisboa: Replicação.

 

Este problema pode ser solucionado sem que o respectivo resolvedor possua elevados conhecimentos matemáticos. Contudo, ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos o associassem ao tema dos múltiplos de um número, bem como aos critérios de divisibilidade por 2, por 3 e por 5.

 

Interessante também seria se os alunos tecessem um raciocínio mais ou menos semelhante ao que apresento a seguir. Por um lado deduz-se que a fazendeira tinha obrigatoriamente de trazer um número ímpar de ovos, porque só assim poderia ter ficado com um ao dividir o número de ovos que tinha por 2. Por outro lado, o número de ovos que tinha era um múltiplo de 3, porque ao dividir esse número de ovos por este valor, não lhe restava qualquer ovo. Por fim, o número de ovos tem de ser um valor que ao dividir por 5 dê resto três.

 

Destas constatações infere-se uma regra que matematiza a situação em causa. A regra é esta: 5n + 3, pois evidencia um valor múltiplo de 5, mais 3 unidades, colocando-se a condição de "n" ser um número par, para que o valor final seja ímpar.

 

Como é referido no enunciado que o número de ovos está compreendido entre 4 e 40, o "n" nunca pode assumir o valor 8 ou superior, pois no caso de ser 8, já se excediam os 40 ovos.

 

Sendo assim, o "n" só poderá assumir os valores 2, 4 ou 6. Logo, o total de ovos poderá ser:

 

5 x 2 + 3 = 13 ou 5 x 4 + 3 = 23 ou 5 x 6 + 3 = 33. Contudo, como é dito no enunciado que o número de ovos tem de ser um múltiplo de 3, o valor a seleccionar é o 33.

 

Confirmando, 33 a divir por 2 dá resto 1; é múltiplo de 3, logo a divisão por 3 dá resto zero; e ao dividir por 5 dá resto 3.

 

Faça um raciocínio análogo para o seguinte enunciado:

 

"Tenho na minha posse três números inteiros, sendo cada um deles inferior a 10 unidades. Além disto, multiplicando os de menor valor, o produto obtido coincide com o número de maior valor. Sabe-se também que a soma dos três números é um número primo. Quais os três números em causa?"

Que outros enunciados semelhantes a estes conhece?

Múltiplos conceitos matemáticos resultantes de uma observação apaixonada

Novembro 16, 2009

Paulo Afonso

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 12; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n2), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n3):

a) 1 = 13

b) 8 = 23

c) 27 = 33

d) 64 = 43

e) 125 = 53

f) ... 

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

De Mataix ao jogo do Trinca-Espinhas - Um caso de divisores

Setembro 08, 2009

Paulo Afonso

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado "A Maçã da Discórdia"*. Constituído por 149 situações de recreação matemática, a nº 2, com o título "Uma partida do dom Félix e Arquimedes Garcia" fez-me lembrar um jogo didáctico com que trabalhei os divisores de um número aquando da minha formação inicial. O jogo chamava-se o Trinca-Espinhas.

 

* - Mataix, M. (2008). A Maçã da Discórdia. RBA Editores.

 

Mas vamos por partes. Começo por tomar a liberdade de transcrever o texto dessa actividade nº 2:

"Começa-se com os números naturais de 1 até N, escritos em fila. Primeiro joga Arquimedes e as regras a seguir são estas:

a) Arquimedes tira o número que quer da fila e apaga-o, sujeito a cumprir a condição de nunca tirar um número do qual não fique nenhum factor na fila.

b) Dom Félix joga depois, apagando dos restantes números todos aqueles que são factores do que Arquimedes escolheu.

c) O jogo termina quando Arquimedes não pode escolher mais números. neste momento Arquimedes tem de fazer com que a soma dos números que tirou seja a menor possível" (p. 9).

O exemplo que Mataix disponibilizou para os seus leitores é o caso em que N = 7. Se Arquimedes escolher o 6, dom Félix ficará com o 1, o 2 e o 3. Logo, a soma mínima é 6.

Como será para o caso de N = 20?

Porque é que eu digo que este desafio me fêz recordar do jogo do Trinca-Espinhas? Precisamente, porque este jogo baseia-se, na essência, nas regras acima enunciadas. A única alteração é que cada jogador joga contra o computador, personalizado na figura do Trinca-Espinhas e em que os números sobrantes ficam para o Trinca-Espinhas, sendo o objectivo do jogo obter uma soma maior do que a soma dos números com que o Trinca-Espinhas fica.

Eis o exemplo de se ganhar ao Trinca-Espinhas, quando N = 10:

Jogador X Trinca-Espinhas
7 1
9 3
6 2
8 4
10 5

Note-se que, neste caso, não sobrou mais nenhum número para o Trinca-Espinhas, pois todos foram envolvidos na selecção feita pelo Jogador X.

Fazendo-se as respectivas somas, o Jogador X obteve 40 pontos e o Trinca-Espinhas apenas 15 pontos.

Qual a estratégia ganhadora par N = 20?

Estes exemplos permitem, como sempre, múltiplas extensões. Uma delas passa por se conectar a decomposição do número ao conceito de número primo e aos critérios de divisibilidade.

Imaginem-se os dez primeiros números naturais:

1    2     3     4     5     6     7     8     9     10

O jogo consiste em retirar-se um número desse conjunto, de cada vez, de modo a que os respectivos números que o originam, por decomposição em parcelas, também sejam eliminados do conjuto. Quando já não se puder retirar mais nenhum número, por não haver possibilidade de se obter esse número com os números ainda restantes, estes têm que originar um soma que seja um número primo.

Exemplifiquemos:

Números retirados Sua obtenção pelo processo aditivo
3 1 + 2
9 4 + 5

Neste caso já não há mais números que possam ser esclhidos, porque os mesmos não se conseguirão obter com os restantes que ainda estão em jogo. Logo, sobram os seguintes números: 6, 7, 8 e 10. A sua soma é 31, logo é uma caso de sucesso, pois o 31 é um número primo.

Haverá mais casos de sucesso? Quais?

Problemas com mais do que uma solução - um caso de divisibilidade

Fevereiro 02, 2009

Paulo Afonso

Resolver problemas tem sido uma actividade humana que tem contribuído imenso para o desenvolvimento de muitas áreas do saber, de onde a Matemática não é excepção. Desde logo, há problemas que nos despertam mais a vontade de os resolver do que outros. Até há quem diga que um problema só é verdadeiramente problema a partir do momento em que o resolvedor o tentar resolver.

De entre várias definições que poderia apresentar para o conceito de problema, recorro à que tem sido, porventura, mais vezes referenciada na literatura da especialidade, da autoria de Kantowski* (1974). Esta investigadora americana entende que "um indivíduo está perante um problema quando encontra uma questão à qual não consegue responder ou uma situação que não é capaz de resolver usando o conhecimento imediatamente disponível. Tem que pensar num caminho de combinação da informação de que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do problema" (p.1).

 

* - Kantowski, E. (1974). Process Involved in Mathematical Problem Solving. University of Geogia. Tese de Doutoramento.

 

Como sabemos, a Matemática é fértil em problemas; existem os problemas de um passo, de dois ou mais passos, de processo, de aplicação, de tipo puzzle, de aparato experimental, de conteúdo e também existem os problemas sem solução, com dados a menos, com dados a mais, com uma única solução e com várias soluções.

Ora, o tema que eu escolhi para objecto de reflexão neste artigo é o tema dos problemas que permitem mais do que uma solução. A minha opção por este tipo de problemas reside no facto de, perante múltiplos resolvedores, poder haver, não só confronto de estratégias de resolução, mas, também, confronto em termos das soluções obtidas. Por outro lado, são um tipo de problemas fundamentais para se porem em prática as nossas capacidades de resolução, que passam por não ficarmos satisfeitos com uma primeira solução encontrada.

Como situação de recreação matemática imagine-se desafiado a resolver um primeiro desafio, extraído do livro de Costa** (1986):

"No mercado havia seis cestas com ovos, umas com ovos de galinha, outras com ovos de pata. Cada cesta tinha uma etiqueta com o número de ovos que continha:

5          6          12          14          23          29

«Se vendo esta cesta», pensava a vendedeira, «ficarei com duas vezes mais ovos de galinha que de pata».

A que cesta se referia a vendedeira?" (p. 29).

 

** - Costa, M. (1986). O problema da semana. LIsboa: APM.

 

Uma possível estratégia de resolução poderia ser a tentativa e erro, pelo que, testando todas as hipóteses, constatar-se-ia que só a venda dos ovos de uma cesta satisfazia o pensamento da vendedeira - seria a venda da cesta com 29 ovos.

De facto, se do total de ovos, que é 89, forem vendidos os 29 de uma das cestas, os 60 ovos restantes permitem que se encontrem dois valores numéricos, em que um é o dobro do outro (40 e 20), e que se adequam exactamente à quantidade de ovos restantes nas outras cinco cestas, pois: 40 = 23 + 12 + 5 e 20 = 14 + 6.

Segundo o meu ponto de vista, este problema, por permitir apenas uma solução válida, é, matematicamente, menos rico do que um outro em que apenas se trocava o valor 29 pelo valor 2 e se mantinha todo o enunciado anterior.

Note-se que já permitia duas soluções:

Total de ovos: 2 + 5 + 6 + 12 + 14 + 23 = 62
Cesta Vendida Ovos sobrantes: 60 Cesta Vendida Ovos sobrantes: 39
2

60 = 40 + 20

40 = 23 + 12 + 5

20 = 14 + 6

23

39 = 26 + 13

26 = 14 + 12

13 = 6 + 5 + 2

Constata-se, pois, que este novo enunciado permite duas conclusões:

(a) se se vender a cesta contendo 2 ovos, restam 40 (23 + 12 + 5) ovos de galinha e 20 (14 + 6) ovos de pata;

(b) se se vender a cesta contendo os 23 ovos, restam 26 (14 + 12) ovos de galinha e 13 (6 + 5 + 2) ovos de pata.

Em contexto de sala de aula, o processo de descoberta destes dois casos de sucesso poderia estar associado ao conceito matemático de divisibilidade de um número inteiro por três. Obter-se-iam três valores iguais (x + x + x) e a junção de duas das três partes (2x) que dividem esse número originaria um valor que seria o dobro da outra terça parte (x) que divide o número.

Façamos, pois, o estudo para cada uma das cestas.

- Vender a cesta dos 2 ovos:

O total de ovos passaria a ser 60. Como 6 + 0 = 6, isto é, múltiplo de 3, permite a obtenção de três quantidades iguais de ovos (20 + 20 + 20). Adicionando duas dessas quantidades (20 + 20), obtém-se um valor duplo da outra quantidade (20). Resta saber se existem ovos para perfazer exactamente estes valores. Como vimos acima, o valor 20 obtém-se pelos ovos das cestas que contêm 14 e 6 ovos, respectivamente. Por sua vez, as três cestas restantes contêm exactamente os outros 40 ovos (23 + 12 + 5).

- Vender a cesta dos 5 ovos:

O total de ovos passaria a ser 57. Como 5 + 7 = 12, estamos perante um novo múltiplo do 3. Logo, o 57 permite a obtenção de três quantidades iguais: 19 + 19 + 19. Resta saber se os ovos sobrantes permitem a obtenção dos valores 19 e 38 (19 + 19). Ora, verifica-se que isso não é possível, pois têm que se usar sempre as quantidades totais de cada cesta.

- Vender a cesta dos 6 ovos:

A vender-se esta cesta restariam 56 ovos. Como 5 + 6 = 11, conclui-se que o valor 56 não é divisível por 3. Logo, esta cesta não satisfaz o enunciado da tarefa.

- Vender a cesta dos 12 ovos:

O total de ovos restante seria 50. Uma vez mais, não estamos perante um múltiplo de 3, pois 5 + 0 = 5. Logo, esta cesta não está no pensamento da vendedeira como sendo a que deve vender naquelas condições descritas.

- Vender a cesta dos 14 ovos:

Ficariam 48 ovos para vender. 4 + 8 = 12. Como 12 é múltiplo de 3, o 48 também, pelo que permite a obtenção de três conjuntos de igual valor numérico (16 + 16 + 16). Contudo, vendendo-se os ovos desta cesta, os restantes não possibilitam a obtenção dos valores 16 e 32. Logo, esta não seria a cesta a vender.

- Vender a cesta dos 23 ovos:

Como o quadro acima evidencia, a venda desta cesta é favorável às pretensões da vendedeira. Assim, confirma-se que este desafio permite mais do que uma solução.

Tendo em conta esta reflexão, tente resolver este novo desafio: 

O Sr. Artur é vendedor de pintainhos de cor branca e pintainhos de cor amarela. Neste momento tem os pintainhos em seis caixas, contendo, respectivamente, as seguintes quantidades: 2, 4, 7, 11, 12 e 14 pintainhos.

«se vender os pintainhos desta caixa ficarei com o dobro de pintainhos amarelos relativamente ao número de pintainhos brancos».

A que caixa de pintainhos se referia o Sr. Artur? 

Voltando ao número 120 - um caso de divisibilidade

Janeiro 05, 2009

Paulo Afonso

Num dos artigos anteriores tive oportunidade de fazer uma reflexão acerca de algumas conexões matemáticas envolvendo o número 120. Na altura associei-o a questões do quotidiano, aos números triangulares, aos números de Fibonacci, à conjectura de Goldbach, aos quadrados mágicos, às potências de base dois e às potências de base três. Desta vez vou associar o número 120 às operações aritméticas, aos divisores de um número, bem como às regularidades algébricas.

Inicio esta nova reflexão a partir de uma actividade proposta por Pierrre Berloquim (1991), no fantástico livro intitulado "100 Jogos Numéricos", publicado em Portugal pela Editora Gradiva.

O enunciado original remetia para o valor 100, mas vou adaptá-lo para o número 120.

Assim, tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da sua soma com a sua diferença e com o seu produto.

Ora, por via da experimentação ou da tentativa e erro, uma possível solução seria a que envolve os valores 30 e 2, pois a sua soma é 32, a sua diferença é 28 e o seu produto é 60; logo, 32 + 28 + 60 = 120.

Transportando este desafio para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos tentassem investigar se ainda seria possível obter-se outras soluções.

O desejável era estruturar a resolução em termos algébricos, pois poder-se-ia pensar em dois números inteiros "x" e "y", sendo "x > y". O enunciado da tarefa permite a seguinte escrita matemática: x + y + (x - y) + xy = 120. Resolvendo esta equação, resulta que x = 120 / (2 + y). Ora, este resultado implica que se tenha que pensar num valor inteiro para o "y" de modo que ao adicionar-se ao valor 2, o resultado divida exactamente o valor 120. Assim, obter-se-á um valor inteiro para o "x".

Tendo em conta esta análise, seria interessante que os alunos encontrassem todos os divisores do 120, podendo fazê-lo pelo processo de decomposição em factores primos (factorização): 120 = 23 x 3 x 5. O conjunto dos divisores de 120 seria formado pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Voltando novamente à fórmula: x = 120 / (2 + y), obter-se-ão sete respostas:

y

x

x + y

x - y

xy

x + y + (x - y) + xy

0

60

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

40

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

30

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

24

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

20

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

6

15

21

9

90

21 + 9 + 90 = 120

8

12

20

4

96

20 + 4 + 96 = 120

Logo, as sete respostas possíveis envolvem os seguintes pares ordenados (60, 0); (40, 1); (30, 2); (24, 3); (20, 4); (15, 6) e (12, 8).

Note-se que ao adicionar-se o valor de "y" ao valor 2, obtém-se um divisor de 120, que ao multiplicar pelo respectivo valor de "x", outro divisor de 120, obtém exactamente o produto 120, isto é: (2, 60); (3, 40); (4, 30); (5, 24); (6, 20); (8, 15); (10, 12).

Pensemos agora no seguinte enunciado: tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da soma do dobro do maior dos dois valores com o outro e com a diferença do dobro do maior com o outro e com o produto do dobro do maior com o outro.

Neste caso estamos perante a seguinte equação: 2x + y + (2x - y) + 2xy = 120. A sua resolução permite chegar-se à seguinte igualdade: x = 120 / (4 + 2y).

Fazendo-se uma tabela semelhante à anterior:

y

x

2x + y

2x - y

2xy

2x + y + (2x - y) + 2xy

0

30

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

20

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

15

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

12

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

10

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

resultam cinco possíveis soluções: (30, 0); (20, 1); (15, 2); (12, 3) e (10, 4).

Fazendo-se um paralelismo entre as duas tarefas acabadas de analisar, qual será o enunciado que permite, para o resultado 120, as seguintes soluções: (15, 0); (10, 1); (6, 3) e (5, 4)? Justifique o raciocínio utilizado.

Brincar com os números

Setembro 02, 2008

Paulo Afonso

Os números são de vários tipos e permitem o estabelecimento de múltiplas relações matemáticas.

Num cenário de recreação matemática imagine-se desafiado a utilizar apenas os seis primeiros números naturais, de modo a colocá-los nas seguintes seis células, segundo determinado tipo de regras, envolvendo cinco tarefas diferentes:

           

1 - A soma dos números colocados nas duas primeiras células tem que ser igual à soma dos números colocados nas duas células seguintes e igual à soma dos números colocados nas duas células da direita.

2 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que ser números consecutivos.

3 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 2.

4 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 3.

5 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 4.

Como possíveis resoluções podíamos ter os seguintes cinco casos:

1:

1 6 3 4 5 2

2:

2 4 1 6 3 5

3:

1 4 2 5 6 3

4:

1 3 5 2 6 4

5:

1 2 3 4 5 6

Em contexto de sala de aula de matemática, estes desafios poderiam ser interessantes para o estudo do conceito de progressão aritmética. Contudo, muitas outras extensões poderiam ser feitas a partir do posicionamento destes seis números naturais:

A título de exemplo, tente colocá-los nestas seis células tendo em conta, em simultâneo, todas as condições seguintes:

a) os dois primeiros números formam um número que é múltiplo de 6;

b) o 2º e o 3º números formam um número que é múltiplo de 5;

c) o 3º e o 4º números formam um número que é múltiplo de 4;

d) o 4º e o 5º números formam um número que é múltiplo de 3;

e) o 5º e o 6º números formam um número que é múltiplo de 2.

Mostre a solução e evidencie o raciocínio utilizado.

 

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