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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Balanças matemáticas

Abril 06, 2009

Paulo Afonso

Num destes dias estava eu a ler um interessante livro do autor Michael Holt*, intitulado Matemáticas recreativas 2, quando me deparei com uma actividade relacionada com um jogo tradicional com que brincava no meu tempo de recreio, na escola - o puxar de uma corda por parte de duas equipas, para se identificar a mais forte.

 

* - Holt, M. (1988). Matemáticas recreativas 2. Barcelona: Martínez Roca.

 

Muito resumidamente, a actividade divulgava que quatro rapazes puxavam a corda com uma força equivalente a cinco raparigas. Por outro lado, duas dessas raparigas e um desses rapazes puxavam a corda com tanta força como a força que um cão exercia sobre a outra extremidade da corda.

Perguntava-se, no final, quem ganhava a puxar a corda, se de um lado estivessem três raparigas e o cão, e do outro estivessem quatro rapazes:

Esta actividade pode ser resolvida da seguinte forma: se o cão tem uma força equivalente a duas raparigas e um rapaz, então, no desafio final, ter três raparigas e um cão de um lado da corda equivale à força conjunta de cinco raparigas e um rapaz. Como se sabe que cinco raparigas têm uma força equivalente aos quatro rapazes que se encontram na outra extremidade da corda, então, o rapaz que se encontra junto a estas cinco raparigas vai provocar o desequilíbrio, isto é, cinco raparigas e um rapaz (de um lado da cord) terão mais força do que os quatro rapazes (do outro lado da corda).

Em contexto de sala de aula esta actividade de recreação matemática poderia servir como motivação para o estudo das equações lineares a mais de uma incógnita, senão vejamos:

Sendo "r" as raparigas, "rz" os rapazes e "c" o cão, sabe-se que:

(a) 5r = 4rp;

(b) 2r + 1rp = 1c

Logo, perante a pergunta de qual a equipa com mais força: 4rp ou 3r + 1c, facilmente se conclui que será esta última equipa, porque fica 3r + 2r + 1rp, isto é, 5r + 1rp (5 raparigas e 1 rapaz) contra 4rp (4 rapazes).

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como esta que apresento a seguir, associada a uma balança de dois pratos:

Se:

(a) 2 cubos equilibram 1 paralelipípedo rectângulo:

(b) 3 paralelipípedos rectângulos equilibram duas pirâmides:

 

(c) 3 pirâmides equilibram 1 cilindro:

 

 Quantos cubos são necessários para equilibrar um cilindro?

Relação algébrica envolvendo o tema das idades

Outubro 01, 2008

Paulo Afonso

Um dos temas comuns em actividades de recreação matemática é a idade das pessoas. Em muitos casos os resolvedores são solicitados a identificar a idade de alguém, tendo que saber tirar partido dos dados ou das pistas fornecidas pelo enunciado. O exemplo que escolhi para abordar este tema é o seguinte:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem quatro vezes a idade da pessoa B?"

Por tentativas, este desafio de recreação matemática pode ser resolvido de forma afirmativa, pois, se a pessoa B tiver agora 10 anos e a pessoa A tiver 40, quando a pessoa B tiver 30 anos, a pessoa A terá 60. Ora, 40 = 4 x 10 e 60 = 2 x 30.

Outro caso de sucesso é, por exemplo, o seguinte: se a pessoa B tiver agora 12 anos e a pessoa A tiver 48, quando a pessoa B tiver 36 anos, a pessoa A terá 72. Uma vez mais, 48 = 4 x 12 e 72 = 2 x 36.

Se se transportar esta situação para contexto de sala de aula, será desejável que os alunos analisem algebricamente este tipo de relações matemáticas. Inicialmente, se a pessoa B tiver b anos, a pessoa A terá 4b anos. No final, se a pessoa B passar a ter b + 2b anos, isto é, 3b anos, a pessoa A terá 4b + 2b anos, isto é, 6b anos. Logo, terá o dobro da idade da pessoa B. Esta constatação pode ser obtida através da resolução de um simples sistema de duas equações lineares, a duas incógnitas, que me dispenso de apresentar aqui.

O quadro seguinte evidencia esta constatação algébrica, com a respectiva generalização: 

  Pessoa B Pessoa A Conclusão

Agora

Depois

1

1 + 2 x 1 = 3

4

4 + 2 = 6

4 = 4 x 1

6 = 2 x 3

Agora

Depois

2

2 + 2 x 2 = 6

8

8 + 4 = 12

8 = 4 x 2

12 = 2 x 6

Agora

Depois

b

b + 2b = 3b

4b

4b + 2b = 6b

4b = 4 x b

6b = 3 x 2b

Face à relação algébrica evidenciada no quadro anterior, poder-se-ão desafiar os alunos a resolver a seguinte situação:

Se uma pessoa B tiver agora 9 anos, com que idade é que uma pessoa A, que tem agora o quadruplo da idade da pessoa B, poderá dizer que passou a ter o dobro da idade dessa pessoa B?

Esta situação permite, necessariamente, múltiplas extensões, como a que apresento a seguir:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem o triplo da idade da pessoa B?"

Faça a investigação respectiva e verá que vai ficar, porventura, surpreendido!

 

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