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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Pontes geométricas - conexão aos números triangulares

Outubro 07, 2010

Paulo Afonso

Atravessar um rio dispondo apenas de uma pequena barcaça costuma estar associado a vários desafios de recreação matemática. De facto, uma rápida pesquisa na Internet, sobre (a) o pastor, o lobo, a ovelha e a couve, (b) o pastor, o gato, o canário e o saco de alpista, ou (c) os canibais e os missionários, entre outros, permite constar que são apenas alguns dos desafios de travessia de um rio que existem. Por norma exigem uma apurado raciocínio e a escolha de uma boa estratégia de resloução, como seja o esquema ou figura.

 

Contudo, a minha reflexão não irá incidir nesse tipo de modo de atravessar um rio, pois em vez de uma barcaça pretende-se atravessá-lo a pé através de pontes flutuantes, formadas exclusivamente por objectos geométricos.

 

Veja-se a ponte seguinte e tente atravessar para a margem direita do rio seguindo a seguinte regra: só se pode deslocar para baixo, sempre no sentido esquerda, direita. Quantas são as possibilidades que existem?

 

Numa perspectiva de resolução sistematizada, seria interessante atribuir a cada círculo uma referência, como seja um número ou uma letra:

 

De seguida poder-se-á fazer uma lista organizada, evidenciando todas as possibilidades que existem:

 

A-E-I

B-F-J

C-G-K

 

A-E-F-J

B-F-G-K

 

A-E-F-G-K

 

Existem, pois, 3 + 2 + 1 possibilidades, isto é, 6 possibilidades diferentes de atravessar esta ponte, de acordo com as regras estipuladas.

  

Imaginemos, agora, que se aumentava um novo objecto em cada uma das margens, bem como na coluna central, como ilustra a figura seguinte:

  

 

Mantendo as condições ou regras do enunciado anterior, quantas serão, agora, as possibilidades da travessia do rio?

  

Eis novamente a figura referenciada em cada um dos objectos geométricos:

  

  

Vejamos as possibilidades:

  

A-F-K

B-G-L

C-H-M

D-I-N

  

A-F-G-L

B-G-H-M

C-H-I-N

  

A-F-G-H-M

B-G-H-I-N

  

A-F-G-H-I-N

  

Note-se que as possibilidades passaram a ser 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

  

Continuando a aumentar um objecto geométrico em cada margem e na coluna central, eis como fica a figura:

 

Atribuindo as respectivas marcas:

 

Vejamos a análise:

 

A-G-M

B-H-N

C-I-O

D-J-P

E-K-Q

 

A-G-H-N

B-H-I-O

C-I-J-P

D-J-K-Q

 

A-G-H-I-O

B-H-I-J-P

C-I-J-K-Q

 

A-G-H-I-J-P

B-H-I-J-K-P

 

A-G-H-I-J-K-Q

 

Verificam-se, pois, 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 possibilidades.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos fossem solicitados a identificar ou descobrir a regularidade numérica que suporta este conjunto de tarefas. Seria desejável que estabelecessem a seguinte relação: 6 + 4 = 10 e 10 + 5 = 15, no sentido de proporem a seguinte solução que seria 15 + 6 = 21 possibilidades de atravessar o rio na condição de se aumentar mais um objecto geométrico em cada margem e na coluna do meio.

 

Além disto, também seria desejável conectar esta regularidade ou padrão numérico ao tema dos números figurados, designadamente os números triangulares. De facto, como já tive oportunidade de reflectir em artigos anteriores, a sequência de números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...) é gerada pelo seguinte algoritmo (n2 + n) : 2, sendo "n" um número natural.

 

Sendo assim, poder-se-á reflectir acerca de como será a disposição dos objectos geométricos nas margens e na coluna centraldo rio, de modo a que o número de possibilidades de o atravessar coincida com o 10º número triangular. Qual a sua sugestão?

Regularidades geométricas e numéricas envolvendo a utilização de fósforos

Março 02, 2009

Paulo Afonso

Como material não estruturado, os fósforos adaptam-se bastante à exploração de múltiplos conceitos matemáticos. Desde a iniciação ao conceito de dezena, com o recurso a um vulgar elástico para a criação de um grupo de dez unidades, até ao estudo de propriedades de várias figuras geométricas, muitas explorações matemáticas podem ser feitas.

De entre alguns autores que têm dedicado alguma atenção a este recurso, destaco Baifang (1995)* e Berloquin (1991)**, por proporem actividades muito interessantes, que apelam ao prazer de se fazer matemática pela via do raciocínio e da ludicidade.

 

* - Baifang, L. (1995). Puzzles com fósforos. LIsboa: Gradiva.

** - Berloquin, P. (1991). 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva.

 

Para reflexão desta semana decidi associar os fósforos ao tema das regularidades geométricas, com o estabelecimento de conexões às respectivas regularidades de natureza numérica. 

Como actividade de recreação matemática analise a seguinte sequência geométrica e tente estimar o número de fósforos necessários para se obterem 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às seguintes figuras rectangulares: 

Este desafio não representará, certamente, uma grande dificuldade, pois poder-se-á estabelecer facilmente o seguinte raciocínio:

1 quadrado - 4 fósforos

2 quadrados - 7 fósforos

3 quadrados - 10 fósforos

4 quadrados - 13 fósforos, isto é, mais três fósforos do que na construção geométrica anterior. Seguindo este padrão ou regularidade, descobrir-se-á a quantidade de fósforos necessária para a obtenção de 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às figuras rectangulares propostas inicialmente. Esse valor será de 91 fósforos.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem descobrir  a lei geral que suporta esta regularidade numérica de fósforos, associada ao respectivo número de quadrados que formam.

Observe-se, novamente, a quantidade de fósforos envolvida em cada uma das três construções iniciais, e estabeleçamos a respectiva interpretação numérica:

1 quadrado - 4 fósforos (4)

2 quadrados - 7 fósforos (4 + 3)

3 quadrados - 10 fósforos (4 + 3 + 3)

...

n quadrados - [4 + (n - 1 x 3)] = 4 + 3n - 3 = 3n +1

Conclui-se, pois, que para a construção de um determinado número de quadrados (n), e nas mesmas condições enunciadas nesta tarefa, o número de fósforos (f) será igual ao triplo desse número de quadrados mais uma unidade.

Logo, confirma-se que para o caso de 30 quadrados, o número de fósforos envolvidos seria 3 x 30 + 1 = 91.

Uma extensão deste desafio poderia passar pela construção de figuras quadradas, como ilustram os exemplos seguintes:

As três figuras quadradas da tabela permitem a seguinte contagem:

1 quadrado - 4 fósforos

4 quadrados - 12 fósforos

9 quadrados - 24 fósforos

Note-se a seguinte regularidade:

1 quadrado - 1 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura);

4 quadrados - 2 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 1 x 2 fósforos (linha vertical do interior) + 1 x 2 fósforos (linha horizontal do interior);

9 quadrados - 3 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 2 x 3 fósforos (linhas verticais do interior) + 2 x 3 fósforos (linhas horizontais do interior).

Em síntese, temos:

1 quadrado - 1 x 4

4 quadrados - 2 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados - 3 x 4 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n quadrados (sempre figura quadrada):

 

Logo, a próxima figura quadrada, formada por 16 quadrados, seria formada por 2 x (4 + 16) = 40 fósforos. Eis a respectiva figura:

 

Outra análise que pode ser feita para estas figuras quadradas pode passar por nos concentrarmos no número de fósforos empregues no lado de cada uma delas. Assim:

1 quadrado (1ª figura) - 4 x 1

4 quadrados (2ª figura) - 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados (3ª figura) - 4 x 3 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n-ésima figura - 4 x n + (n -1) x n + (n - 1) x n = 4n + 2(n2 - n) = 4n + 2n2 - 2n = 2n2 + 2n = 2n (n + 1).

A título de exemplo, a próxima figura quadrada, com quatro fósforos de lado, necessitará de 2 x 4 (4 + 1) = 40 fósforos. 

Tendo em conta a seguinte nova sequência de figuras triangulares, descubra a lei geral de formação e teste-a para o caso de querer saber o número de fósforos necessários para se construir uma nova figura semelhante a elas, contendo 36 triângulos:

 

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