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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Somas cruzadas

Abril 20, 2011

Paulo Afonso

Efectuar actividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

 

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

 

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

 

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

 

Testemos cada caso na respectiva figura:

 

1º caso:

 

 

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

 

 

2º caso:

 

 

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

 

 

3º caso:

 

 

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1= 11.

 

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

 

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

 

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

 

Múltiplos do 5:  Múltiplos do 10:
 

 

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

 

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

 

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

 

 

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

 

Cubos mágicos

Dezembro 01, 2010

Paulo Afonso

Sendo o tema das figuras mágicas muito apropriado para o desenvolvimento de actividades de recreação matemática, desta vez vou incidir a minha reflexão não em figuras planas mas, sim, numa tridimensional - o cubo. Sobre este sólido geométrico muitas considerações de natureza matemática e histórica poderiam ser feitas. Desde logo por ser um importante sólido platónico, mas também por possibilitar um estudo de natureza investigativa muito interessante acerca das suas possíveis planificações. De facto, investigar quantos são os hexaminós susceptíveis de originar um cubo é uma tarefa que deve ser implementada não só em termos de recreação matemática, mas também num contexto de matemática mais formal e em sala de aula.

  

Centremo-nos, então, no cubo como podendo ser uma figura sólida mágica. O desafio a desenvolver é o seguinte. Colocar, todos e apenas uma vez, os oito primeiros números naturais nos vértices do cubo, por forma a que a soma dos quatro números existentes em cada face seja sempre a mesma.

  

Uma possível solução é a seguinte:

 

 

 

Note-se que em cada uma das seis faces do cubo, a soma dos números aí existentes é sempre 18:

 

a - 6 + 3 + 8 + 1 = 18

b - 1 + 8 + 2 + 7 = 18

c - 2 + 7 + 4 + 5 = 18

d - 4 + 5 + 3 + 6 = 18

 

Esta tarefa, podendo ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro, deveria ser utilizada em contexto de sala de aula para o desenvolvimento do sentido do número e como exemplo ilustrativo de como a matemática permite muitas conexões entre a componente geométrica e a a numérica.

 

Seria muito interessante que os resolvedores se apercebessem que o total dos oito números envolvidos nesta tarefa originam uma soma 36:

 

 

Logo, trata-se de um valor que deve ser dividido em duas partes iguais, uma vez que as duas faces opostas terão de originar a mesma soma numérica. Estamos a falar do valor 18. Por sua vez, este valor terá de ser obtido pela adição de quatro parcelas diferentes. Contudo, como cada par de números assentes em dois vértices adjacentes faz parte, ao mesmo tempo, de duas faces adjacentes, implica que a sua soma seja 9. Ora este conjunto de oito números permite que isso aconteça:

 

 

Assim, sendo, a estratégia de tentativa e erro deverá ser substituída por este tipo de raciocínio mais estruturado. Note-se que duas das quatro arestas de cada face do cubo anterior contêm um par de números cuja soma é sempre 9.

 

O desafio seguinte é fazer-se um estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos na tarefa serem do dois ao nove, inclusive. Como fazer?

 

Uma estimativa interessante será a de substituir de forma directa e imediata cada valor do cubo anterior pelo seu consecutivo. Vejamos como fica a imagem do cubo:

 

 

Note-se que se passou a obter uma nova soma mágica, de valor 22 e cada par de números afecto a duas das quatro arestas de face do cubo passou a somar 11.

 

Qual será a nova soma mágica que os oitos números consecutivos iniciarem agora no valor 3?

 

Utilizando o procediemento heurístico anterior, a nova soma tem o valor 26, havendo em duas das quatro arestas de cada face do cubo dois números cuja soma é 13:

 

 

Note-se que da 1ª para a 2ª figura, a soma passou de 18 para 22 e da 2ª para a 3ª passou de 22 para 26. Isto significa que por cada figura que se inicie terá sempre uma soma mágica que será igual à soma mágica anterior acrescida de quatro unidades. Ora se tivermos em linha de conta os oito números envolvidos em cada figura, como os poderemos relacionar com a respectiva soma mágica obtida?

 

Esta questão permite algumas explorações matemáticas interessantes. Uma delas pode ser a seguinte: a soma mágica que se obtém resulta sempre do dobro da soma dos dois valores extremos:

 

1ª -  18 = 2 x (1 + 8)

2ª - 22 = 2 x (2 + 9)

3ª - 26 = 2 x (3 + 10)

 

Por outro lado poderemos associar a soma obtida ao menor dos oito números utilizados. Vejamos:

 

Menor ValorSoma Mágica Obtida:

1

2

3

18

22 = 18 + 1 x 4

26 = 18 + 2 x 4

 

Logo, para qualquer valor inicial "n", a soma mágica "s" obtida será sempre originada pelo seguinte algoritmo:

 

s = 18 + (n - 1) x 4

 

Tendo em conta esta lei geral, qual será a soma mágica de um cubo mágico que contemple oito números naturais consecutivos, iniciados pelo valor 15?

 

Conexões matemáticas entre os quadrados mágicos e as potências de expoente inteiro

Outubro 14, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas. No presente artigo pretendo conectar um desse tipo de figuras (os quadrados de ordem 3) ao tema das potências de expoente inteiro.

 

Comecemos por analisar as seguintes figuras:

  

 

Analisando-se cada uma delas constata-se que são formadas por nove números inteiros consecutivos, iniciando a da esquerda no 1, a do meio no 2 e a da direita no 3. Adicionando-se os três valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal, a soma é sempre a mesma em cada figura: na da esquerda há uma soma mágica de 15, na do meio a soma mágica é 18 e na da direita a soma mágica é 21.

 

Existe, pois, um padrão numérico que relaciona as várias somas mágicas que se vão obtendo, a partir do menor número de cada sequência numérica utilizada. De facto, para o início em 1, a soma é 15; para o início em 2, a soma é 15 + 1 x 3; para o início em 3, a soma mágica é 15 + 2 x 3 e assim sucessivamente. 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula de matemática, que os alunos fossem incentivados a investigar esta e outras regularidades existentes nestas mágicas figuras, chegando mesmo à lei geral que permite identificar ou prever uma qualquer soma mágica (s) a partir de um qualquer número inteiro (n) que inicie uma sequência de nove números inteiros consecutivos. Essa lei seria a seguinte s = 15 + (n - 1) x 3.

 

Observando com atenção as três figuras acima, facilmente se constata que a disposição do valor ordinal de cada um dos nove números obedece a uma mesma distribuição geométrica que é a seguinte:

 

 

Ora, tendo em conta esta mesma disposição geométrica, analisemos agora a seguinte figura. será um quadrado mágico?:

 

 

Obviamente que salta à vista não tratar-se de uma quadrado de soma mágica, pois os valores são muito díspares; não são consecutivos. Contudo se em vez de os adicionarmos em linha, em coluna ou em diagonal, os multiplicarmos, teremos uma bela surpresa.

 

De facto:

 

2 x 256 x 8 = 4096

64 x 16 x 4 = 4096

32 + 1 x 128 = 4096

  

2 x 64 x 32 = 4096

256 x 16 x 1 = 4096

8 x 4 x 128 = 4096

 

2 x 16 x 128 = 4096

8 x 16 x 32 = 4096

 

O produto mágico é, pois, 4096. Analisando os nove números em causa verifica-se serem as primeiras nove potências de base 2. Vejamos:

 

 

Em sala de aula, e dependendo do tipo de alunos, poder-se-ia introduzir a regra da multiplicação de potências com a mesma base e expoentes diferentes (mantém-se a base e adicionam-se os expoentes). De facto:

 

21 x 28 x 23 = 212

26 x 24 x 22 = 212

25 x 20 x 27 = 212

  

21 x 26 x 25 = 212

28 x 24 x 20 = 212

23 x 22 x 27 = 212

  

21 x 24 x 27 = 212

23 x 24 x 25 = 212

 

Passemos agora às potências de base 3. Eis a figura com as nove primeiras potências de base 3:

  

 

Note-se que esta figura obedece ao mesmo padrão multiplicativo anterior:

 

31 x38 x 33 = 312

36 x 34 x 32 = 312

35 x 30 x 37 = 312

   

31 x 36 x 35 = 312

38 x 34 x 30 = 312

33 x 32 x 37 = 312

 

31 x 34 x 37 = 312

33 x 34 x 35 = 312

  

Com os respectivos valores das potências, o aspecto da figura será o seguinte:

 

 

Calculemos, pois, o respectivo produto mágico:

 

3 x 6561 x 27 =531441

729 x 81 x 9 = 531441

243 x 1 x 2187 = 531441

 

3 x 729 x 243 = 531441

6561 x 81 x 1 = 531441

27 x 9 x 2187 = 531441

 

3 x 81 x 2187 = 531441

27 x 81 x 243 = 531441

 

Analisemos, ainda as nove primeiras potências de base 4:

 

 

Neste caso volta a haver um produto mágico, de valor 412, isto é 16777216.

 

Como exploração extra poder-se-ia substituir a base destas potências pelo quadrado de dois, o que daria a seguinte nova figura:

 

 

Tirando partido desta substituição, poder-se-ia introduzir ou rever o conceito de potência de uma potência, destacando a regra operativa de manter a base e multiplicar os expoentes. Eis como figura a figura mágica:

 

 

Logo, o produto mágico 412 será equivalente ao valor da potência 224.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais são os nove números que originam um quadrado mágico com produto mágico 912? 

Hexágonos mágicos

Setembro 24, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog por variadíssimas ocasiões. Desta feita vou socorrer-me de uma figura geométrica muito apreciada no seio da Matemática, que é o hexágono regular. Muito se poderia dizer acerca deste tipo de figura, desde logo a sua associação ao importante labor das abelhas é algo que surpreende cada um de nós.

  

Do ponto de vista geométrico, a sua capacidade de gerar planificações perfeitas é um dos aspectos de maior relevo no seu estudo. Contudo, não será sobre estes aspectos que irei incidir a minha reflexão. Vou, antes, utilizar os hexágonos regulares para se fazer uma exploração ao nível das figuras e das somas mágicas.

  

O objectivo é colocar alguns dos números de 1 a 9 nos seis triângulos equiláteros que formam a figura seguinte, não se podendo repetir qualquer destes números, por forma a obter-se a soma mágica 25:

  

 Duas soluções possíveis são as seguintes:

  

     

Numa tentativa de decomposição do 25 em seis parcelas todas diferentes, seria desejável que em contexto de sala de aula de Matemática surgissem mais dois casos de sucesso:

 

   

Com estes quatro exemplares poder-se-iam explorar diversas situações de recreação matemática. Contudo, o desafio é o de se usarem estes quatro módulos para se proceder à pavimentação ilustrada na figura seguinte (um novo hexágono regular), tendo, para tal, que redistribuir os valores em cada um destes quatro módulos para que a soma em cada hexágono se mantenha no valor 25:
 

 

Eis uma solução possível:

 

 

 

 

Como se pode verificar cada hexágono mantém a soma 25.

 

Proceder de igual modo para o preenchimento de um novo hexágono mágico (desta vez é um irregular), de soma 25 em cada módulo hexagonal:

 

 

 

 

 

 

Dependência numérica - um caso de regularidades

Setembro 17, 2010

Paulo Afonso

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, puzzles ou tarefas de investigação que impliquem uma avaliação permanente durante o próprio processo de resolução e não apenas ao fim, após a obtenção de uma eventual solução.

 

Ora no final do meu período de férias de Verão tive a oportunidade de visitar a sede da Associação de Professores de Matemática em Lisboa (APM) e deparei-me com uma caixinha cúbica colorida que me despertou, de imediato, a atenção. Associada à sugestiva caixa estava um título que também contribuiu decisivamente para a sua aquisição: "Génio da Matemática - descubra o prazer da Matemática" do autor Charles Phillips.

 

Num breve resumo acerca do conteúdo da caixa podia ler-se "A matemática é divertida - e os quebra-cabeças são óptimos para aprender os seus fundamentos [...]". Claro está que não hesitei em adquirir esta enigmática caixa. Ao sair da sede, a primeira coisa que fiz no carro foi abrir a caixa para saber qual era o seu conteúdo. Eis que encontrei um exemplar das Torres de Hanói e um mini-livro com cerca de 100 problemas, todos eles muito ricos em termos desta área do saber, que é a Matemática Recreativa.

  

De vários problemas que despertaram a minha curiosidade, escolho para reflexão o problema 35, existente na página 78 desse precioso livrinho. Vejamos a imagem seguinte:

 

 

O objectivo do problema é o de se colocarem nas células vazias os números inteiros de 4 a 9, inclusive, mas tendo em conta as seguintes condições:

1- Não pode haver números repetidos;

2 - Ter-se-ão que adicionar cada par de números adjacentes na vertical e na horizontal e não pode haver somas repetidas.

 

Ora, como o leitor terá a oportunidade de experimentar, trata-se de um desafio muito interessante, pois possibilita mais do que uma solução. Além disto incute no resolvedor a necessidade permanente de fazer verificações durante todo o processo de resolução, pois as duas condições prévias a isso obrigam.

 

Eis uma solução possível:

 

 

Verificando cada soma, temos os seguintes resultados:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 5 + 6 = 11

d) 6 + 7 = 13

e) 4 + 8 = 12

f) 8 + 9 = 17

a) 1 + 5 = 6

b) 5 + 4 = 9

c) 2 + 6 = 8

d) 6 + 8 = 14

e) 3 + 7 = 10

f) 7 + 9 = 16

 

Constata-se, pois, que não há somas repetidas e, além disto, todos os números inteiros do 1 ao 9 constam na figura.

 

Como referi anteriormente, trata-se de uma situação que não pode ser resolvida sem que haja verificações permanentes durante o processo de resolução. De facto, a estratégia da tentativa e erro, só por si, não será uma estratégia muito válida, pois carece de várias tomadas de decisão por parte do resolvedor, uma vez que tem de ter em linha de conta as dezasseis somas em simultâneo.

 

Porque sou muito curioso e tenho por hábito extrapolar as situações de que gosto de resolver a outros contextos, pensei para mim próprio se o desafio fosse colocado tendo em conta exclusivamente os nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17). Desafiei-me, então, com a seguinte figura:

 

 

 

Depois de algum tempo dedicado à resolução, com muitos avanços e recuos, lá descobri uma possível solução:

 

 

Realizando a confirmação final, eis as dezasseis somas obtidas:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 3 = 5

b) 3 + 5 = 8

c) 9 + 11 = 20

d) 11 + 13 = 24

e) 7 + 15 = 22

f) 15 + 17 = 32

a) 1 + 9 = 10

b) 9 + 7 = 16

c) 3 + 11 = 14

d) 11 + 15 = 26

e) 5 + 13 = 18

f) 13 + 17 = 30

 

Continuando a apelar ao meu sentido indagador procurei investigar se haveria algum aspecto comum às duas resoluções e, de imediato, apercebi-me que a colocação dos valores nas células dependia de um padrão, que é o seguinte:

 

 

De facto, o menor dos valores estava sempre colocado na célula superior esquerda e o maior deles ocupava sempre a célula inferior direita. Além disto, a linha de cima continha sempre os três menores valores de cada sequência numérica, aumentando da esquerda para a direita. o mesmo se passava na segunda linha, com interrupção do 4º elemento cuja posição era sempre a da quadrícula inferior esquerda. Por fim, entre este valor e o mais elevado ficava sempre o 8º valor.

 

Como consequência imediata desta constatação, quis testar esta regularidade com os nove primeiros números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18). Foi então que sem qualquer tipo de esforço mental me limitei a distribuir estes nove valores nas respectivas posições da nova figura. Eis o resultado:

 

 

Uma vez mais, confirma-se a regularidade ou padrão numérico identificado, pois as dezasseis somas foram todas diferentes:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 2 + 4 = 6

b) 4 + 6 = 10

c) 10 + 12 = 22

d) 12 + 14 = 26

e) 8 + 16 = 24

f) 16 + 18 = 34

a) 2 + 10 = 12

b) 10 + 8 = 18

c) 4 + 12 = 16

d) 12 + 16 = 28

e) 6 + 14 = 20

f) 14 + 18 = 32

 

Por fim fui consultar a solução que o autor apresentava para o desafio colocado e constatei que era diferente do que eu tinha obtido:

 

 

Note-se que a disposição dos números já não obedece ao mesmo padrão anterior. Por isso desafio cada leitor a descobrir o novo padrão e a testá-lo também com os primeiros nove números ímpares e, depois, com os primeiros nove números pares.

Triângulos mágicos de 9 números

Maio 10, 2010

Paulo Afonso

O tema das figuras mágicas tem vindo a merecer alguma reflexão no seio deste blog. Por sugestão de um dos meus leitores, de nome Neuber, vou dedicar as próximas palavras a um tipo de figuras mágicas: os triângulos envolvendo 9 números.

 

A figura seguinte, formada por nove espaços, deverá ser preenchida pelos números se 1 a 9, inclusive, sem se repetir qualquer desses números e estando todos presentes, de modo a que a soma de cada um dos três lados do triangulo seja sempre a mesma:

 

 

Em contexto de recreação matemática, por via da tentativa e erro, poderão surgir algumas respostas correctas, como a que a seguir evidencio, de soma mágica 21:

 

Contudo, em contexto de sala de aula, a tarefa colocada acima deveria constituir uma verdadeira tarefa de investigação matemática. De facto, seria interessante que os alunos pudessem analisar o que se lhes está a pedir e concluíssem que estão sempre envolvidas três somas com quatro parcelas cada uma. Além disto, entre cada duas destas três somas só poderá haver um número comum, que será o vértice comum a ambas.

 

Curiosamente, a figura acima tem como vértices os três múltiplos do 3, o que implica conjecturar que a duplicação de todos os números envolvidos nessa figura originaria uma soma que seria o dobro desta, isto é, 42. Vamos testar:

 

Seria muito interessante que os alunos concluíssem que estamos na presença de uma figura mágica em que apenas estiveram envolvidos os nove primeiros números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, voltando a estar nos vértices, três múltiplos do 3.

 

Contudo, voltemos ao desafio inicial. Seria de grande pertinência se os alunos, em contexto de sala de aula, concluíssem que há uma soma mínima, envolvendo quatro dos números propostos. Essa soma é 15, pois 9 + 1 + 2 + 3 = 15.

 

Vamos, então, decompor o 15 em quatro parcelas diferentes, para vermos quantos casos existem:

 

A - 9 + 1 + 2 + 3 = 15

B - 8 + 1 + 2 + 4 = 15

C - 7 + 1 + 2 + 5 = 15

D - 7 + 1 + 3 + 4 = 15

E - 6 + 1 + 3 + 5 = 15

F - 6 + 2 + 3 + 4 = 15

 

Estes seis casos deverão ser combinados três a três, o que origina 20 combinações:

 

A - B - CA - B - DA - B - EA - B - FA - C - D
A - C - EA - C - FA - D - EA - D - FA - E - F
B - C - DB - C - EB - C - FB - D - EB - D - F
B - E - FC - D - EC - D - FC - E - FD - E - F

 

Os alunos deveriam investigar cada uma destas 20 possibilidades, mas é fácil concluir que nenhuma delas origina a soma mágica 15. A razão prende-se no facto de não haver qualquer caso em que entre cada duas adições apenas exista um número comum. Note-se que nas seis primeiras existe sempre o valor 1, o que condiciona a escolha de duas dessas adições, pois já não poderá haver mais nenhum número comum às duas que se escolherem.

 

Poder-se-ia, por exemplo, pensar na adição C e na adição F, por só terem o valor 2 em comum. Contudo, ao escolher-se a adição A já tem o 1 e 2 comum a C; se se escolher a adição B, esta também tem os valores 1 e 2 comuns a C; por sua vez, se a opção for a adição D, esta tem os valores 1 e 7 comuns a C; por fim, a adição E tem o 1 e o 5 comuns a C. Logo, conclui-se que para uma figura deste tipo, apesar de se conseguirem fazer 20 combinações diferentes do valor 15, não é possível obter-se uma figura mágica.

 

Acima aparece um caso de sucesso, de soma 21. Haverá mais casos de sucesso para esta soma?

 

Sugiro que se faça a decomposição do 21 em adições de quatro parcelas diferentes para se descobrir o número de combinações possíveis. A seguir dever-se-ão testar algumas delas. Apresento apenas mais um caso de sucesso para essa soma:

 

 

Haverá outros casos de sucesso para esta soma mágica?

Padrões de repetição e padrões de crescimento

Março 15, 2010

Paulo Afonso

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O exemplo que trago à reflexão desta vez prende-se com essa ideia e, com isso, viso abordar o tema dos padrões de repetição.

 

Utilizando os números de 1 a 8, inclusive, colocá-los nos círculos seguintes, todos e apenas uma só vez, de modo que a soma de b + d + f + h seja o dobro da soma de a + c + e + g e que a soma em cada lado da figura exterior seja sempre a mesma:

Este desafio implica que se tenha em conta a soma total que está em jogo ao usarem-se estes oito números. Esta soma é 36, pois 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.

 

Por outro lado teremos de distribuir estes oito números de modo que b + d + f + h = 2 (a + c + e + g).

 

Sendo assim, teremos de ver se a soma 36 é divisível por 3, para que ao juntarem-se duas dessas três partes se obtenha um valor que é dobro da outra terça parte. Como a soma dos seus dígítos é um múltiplo de três (3 + 6 = 9), logo o 36 é divisível por 3. Origina um quociente 12.

 

Tendo em conta esta reflexão teórica resta tentar obter o valor 12 através da adição de quatro desses oito números disponíveis.

 

Vejamos:

a) 6 + 3 + 2 + 1 = 12

b) 5 + 4 + 2 + 1 = 12 

 

Existem, pois, duas possibilidades de obtenção de soma 12 nas condições enunciadas acima.

 

De seguida teremos de testar se os outros quatro números restantes permitem obter uma soma que é dobro de 12, isto é, 24. Vejamos para cada um dos casos anteriores:

 

a) 4 + 5 + 7 + 8 = 24

b) 3 + 6 + 7 + 8 = 24

 

Em ambos os casos se obtém a soma 24 pretendida. Testemos, então, a sua distribuição nos oitos espaços da figura, tendo também em conta que a soma dos valores em cada lado da figura exterior seja sempre igual. Vejamos os primeiros valores:

 

 

Confirma-se que a soma dos valores existentes nos quatro vértices da figura inscrita é o dobro da soma dos valores existentes nos vértices da figura que inscreve aquela e que a soma dos valores de cada lado da figura exterior é sempre a mesma. 

 

Testemos, agora, os segundos valores (5 + 4 + 2 + 1 e 3 + 6 + 7 + 8):

 

Note-se que para a distribuição dos valores nos vértices da figura exterior existem 3 possibilidades, isto é, o 5 pode ficar anexo do 4 e do 2, ou do 1 e do 4 ou do 2 e do 1:

 

 

Testando a distribuição dos outros quatro números, não é possível em qualquer caso obter-se para os quatro valores da figura inscrita uma soma que seja o dobro daqueles quatro valores, de modo a que a soma dos valores da figura exterior seja sempre a mesma. Eis a melhor aproximação possível, onde se evidencia, pois, a impossibilidade desta opção:

 

 

A tarefa colocada tem, pois, uma única solução.

 

Imaginemos a replicação da figura de sucesso de modo a obter-se a figura seguinte:

Que aspectos matemáticos interessantes poderia destacar?

 

Veja, por exemplo, que as somas dos valores envolvidos nos dois eixos de simetria são números ímpares consecutivos, respectivamente 21 e 23.

 

Por outro lado, as somas dós valores envolvidos nas linhas oblíquas obedece à seguinte regularidade: 9, 24, 24, 9.

 

Note-se, ainda que estes quatro valores (9, 24, 24, 9) coincidem com as somas dos valores existentes nos lados dos dois rectângulos que se intersectam.

 

E no caso de este padrão se repetir, de forma a fazer crescer a pavimentação? Veja-se a figura resultante:

 

 

 

Que regularidades matemáticas podem ser agora evidenciadas?

 

Veja, por exemplo, que a a soma dos valores existentes em cada linha horizontal obedece à seguinte regularidade: (38, 40, 38, 40, 38). Já a nível vertical, a regularidade é a seguinte: (38, 41, 38, 41, 38).

 

Por sua vez, em termos de linhas oblíquas, a regularidade numérica verificada é a seguinte: (9, 24, 33, 48, 48, 33, 24, 9).

 

Faça um estudo, em todo semelhante ao que acabei de fazer, para o caso de os oito números envolvidos passarem a ser os oito primeiros números pares. Será que as regularidades e possibilidades de pavimentação agora obtidas se mantêm? Haverá padrões de crescimento?

Investigações matemáticas envolvendo cartas

Março 08, 2010

Paulo Afonso

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.

 

Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?

 

 

A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:

 

 

Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18.  

 

De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18. 

 

Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.

 

Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:

 

Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:

 

a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)

b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)

c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)

d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)

e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)

f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)

g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)

h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)

i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)

j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)

k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)

l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)

 

De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso?  

 

 

Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.

 

Eis outras 12 possibilidades:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1

b) 10 + 5 + 3 + 1

c) 10 + 4 + 3 + 2

d) 9 + 7 + 2 + 1

e) 9 + 6 + 3 + 1

f) 9 + 5 + 4 + 1

g) 9 + 5 + 3 + 2

h) 8 + 7 + 3 + 1

i) 8 + 6 + 4 + 1

j) 8 + 6 + 3 + 2

k) 8 + 5 + 4 + 2

l) 7 + 6 + 5 + 1

m) 7 + 6 + 4 + 2

 

Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1 A = 9 + 5 + 4 C = 8 + 7 + 3
b) 10 + 5 + 3 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 8 + 6 + 4
c) 10 + 4 + 3 + 2 A = 9 + 8 + 1 C = 7 + 6 + 5
d) 9 + 7 + 2 + 1 A = 10 + 5 + 3 C = 8 + 6 + 4
e) 9 + 6 + 3 + 1 X X
f) 9 + 5 + 4 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 8 + 7 + 3
g) 9 + 5 + 3 + 2 A = 10 + 7 + 1 C = 8 + 6 + 4
h) 8 + 7 + 3 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 9 + 5 + 4
i) 8 + 6 + 4 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 10 + 5 + 3
 j) 8 + 6 + 3 + 2  X  X
 k) 8 + 5 + 4 + 2 A = 10 + 7 + 1  C = 9 + 6 + 3 
 l) 7 + 6 + 5 + 1  X
 m) 7 + 6 + 4 + 2 A = 10 + 5 + 3  C =  9 + 8 + 1

 

Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:

 

 

O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?

 

Apresento duas possíveis soluções:

 

Solução A:

 

Solução B:

 

Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação? 

Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

Fevereiro 15, 2010

Paulo Afonso

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

 

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

 

 

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

 

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

 

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
1 46

9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23

7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23

 

9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23

8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23

8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23

8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

 

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

 

 

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

 

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24

8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24

8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24

8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

 

 

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

 

 

 

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

 

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
5 50

9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25

7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25

 

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25

 

9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25

8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

 

 

Eis os três casos possíveis:

 

 

 

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

 

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

 

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

 

Valor a repetir Soma final
1 46
2 47
3 48
4 49
5 50
6 51
7 52
8 53
9 54

 

 

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

 

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

 

Vejamos a tabela respectiva:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32

6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

 

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

 

Quadrados cercados por números - regularidades mágicas

Fevereiro 16, 2009

Paulo Afonso

Os quadrados mágicos de ordem três (com três linhas e três colunas) ou de ordem quatro (com quatro linhas e quatro colunas) costumam ser muito utilizados em actividades de matemática recreativa.

Em artigos anteriores já tive oportunidade de reflectir sobre algumas estratégias de resolução ao nível deste tipo de figuras.

Com base nisso pretendo tecer, agora, uma nova reflexão acerca de uma adaptação ao tema.

Assim, imagine que num diálogo entre dois irmãos, o mais velho tenha desafiado o outro com a seguinte tarefa: "para que um coelho consiga sair da sua gaiola, de forma quadrada, terás que distribuir os seguintes dezasseis números naturais de modo a que a soma de cada quatro deles existentes em cada uma das paredes da gaiola seja sempre 34. Ao conseguires fazer isso, o coelho estará em condições de poder sair pela porta nº 3 ou pela porta nº 4 para vir comer cenouras no espaço exterior à gaiola. Qual a tua sugestão?"

Esta actividade pode ter várias soluções, de entre as quais apresento as seguintes:

Note que relativamente à figura inicial, as resoluções apresentadas permitem que se conclua que (a) mantendo, no caso da esquerda, os valores extremos das linhas e os valores centrais das colunas, permutando os restantes, ou (b) mantendo, no caso da direita, os valores centrais das linhas e os extremos das colunas, permutando os restantes, o resultado é sempre 34.

Além destas resoluções, a seguinte também é válida:

Uma observação atenta permite visualizar a existência de uma certa distribuição geométrica dos números: (a) 1, 2, 3 e 4 situam-se ao nível das linhas, envolvendo os extremos da de cima e os meios da de baixo, (b) 5, 6, 7 e 8 situam-se ao nível das colunas, envolvendo sempre os valores centrais (c) 9, 10, 11 e 12 também se situam ao nível das colunas, mas envolvendo apenas os valores extremos, (d) 13, 14 15 e 16 voltam a situar-se nas linhas, mas ocupando os lugares que ainda estavam vazios (valores extremos na fila de baixo e valores centrais na fila de cima).

E se os dezasseis números naturais iniciarem no 2 e terminarem no 17, qual será a soma mágica que permite a saída do coelho para o exterior?:

Usando, por exemplo, o critério utilizado na primeira resolução anterior, verifica-se a obtenção de uma nova soma mágica de valor 38:

 

Neste caso, o coelho poderia sair pelas portas contendo o valor 3 e o valor 8.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos, para além de descobrirem a existência de uma regularidade entre a soma mágica obtida e os dezasseis números envolvidos na tarefa, descobrissem, também, que a soma mágica coincide com o dobro da soma dos dois valores extremos de cada conjunto dos dezasseis números que estão em jogo.

De facto, no primeiro caso, os valores extremos são o 1 e o 16, cuja soma é 17 e a soma mágica é o dobro deste valor - 34. Por sua vez, neste último caso, os valores extremos são o 2 e o 17, cuja soma é 19 e a soma mágica volta a ser o seu dobro - 38.

Tendo em conta este conjunto de observações e de conclusões, será fácil descobrir os dezasseis números envolvidos numa soma mágica 60, bem como a sua disposição?

 

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