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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Problemas de lógica envolvendo três variáveis

Outubro 29, 2011

Paulo Afonso

O tema da resolução de problemas tem sido várias vezes objeto de análise e reflexão neste Blog. No momento em que abordei a estratégia de dupla entrada, como sendo uma possível estratégia de resolução de problemas, socorri-me de problemas de lógica, envolvendo apenas duas variáveis. Ora, em contexto de recreação matemática este tipo de problemas costuma ser muito desafiador, pois a natureza das premissas cativam imenso à tentativa de resolução.

 

Desta vez volto a refletir sobre o mesmo tema mas acrescento-lhe algum nível de dificuldade sem, contudo, lhe diminuir o interesse, pois vou abordar o mesmo tipo de problemas mas contemplando três variáveis em simultâneo e não apenas duas.

 

Para tal vou basear-me no enunciado de uma situação problemática que encontrei num interessante livro de Calos Lopes*. Eis o que se pretende:

 

"A Ana, a Bela, o David, e o Ivo terminaram nas primeiras quatro posições numa corrida de atletismo. Os seus apelidos são Gonçalves, Jarra, Choupina e Pires. Com as pistas fornecidas, emparelha os nomes com os apelidos e determina a posição de cada um deles na corrida.

 

a) A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida.

b) O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela.

c) O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida.

d) A Ana terminou atrás do Gonçalves.

e) O David não terminou em terceiro" (Lopes, 2002, p. 43). 

 

* - Lopes, C. (2002). Estratégias e Métodos de Resolução de Problemas em Matemática. Porto: ASA.

 

Como estratégia de resolução, o resolvedor terá se relacionar três variáveis: os nomes, os apelidos e as posições ocupadas na prova de atletismo. Para tal, será de todo conveniente elaborar uma tabela como a que sugiro a seguir:

 

 

Esta tabela permite cruzar duas variáveis de cada vez: (a) nome com apelido; (b) nome com posição na prova e (c) apelido com posição na prova.

 

De seguida vamos colocar as indicações provenientes das premissas, começando pela premissa a), que diz o seguinte: "A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida".

 

Ora desta premissa podemos tirar, de imediato, duas conclusões:

 

- A Jarra não é homem, por isso já não pode ser o David nem o Ivo;

- A Jarra não terminou a prova em 1º lugar.

 

Vejamos como fica a tabela, deixando a indicação da premissa de onde proveio a informação. O símbolo a usar para referir "não é" pode ser um "X":

 

 

Passemos à premissa b): "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela".

 

Desta premissa concluímos que:

- O Ivo não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não ficou em 1º lugar.

- A Bela não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não é Pires.

- A Bela não é Pires.

- O Pires não ficou em 1º lugar.

 

Eis como fica agora a tabela:

 

 

 

 

Já a terceira premissa: "O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida", permite que se conclua o seguinte:

- A choupina é uma senhora, logo não será o David nem o Ivo:

 

  

Vejamos a premissa seguinte: "A Ana terminou atrás do Gonçalves". Daqui conclui-se que:

- A Ana não tem apelido Gonçalves.

- Gonçalves também não é a Bela por ser homem.

- A Ana não ficou em 1º lugar.

- Gonçalves não ficou em 4º lugar.

 

Eis como fica agora a figura:

 

 

A premissa seguinte: "O David não terminou em terceiro" permite mais uma sinalização na tabela:

 

 

Neste momento esgotaram-se as premissas, pelo que a tabela contempla toda a informação explícita que cada uma pôde transmitir. De seguida temos de observar a tabela para vermos se já se poderá concluir algo mais. Note-se que o Ivo já só pode ter o apelido de Gonçalves. Logo, este apelido já não pode ser o de mais ninguém, pelo que trancamos a negro o espaço em que o Gonçalves se cruzava com o David. Por outro lado, pelo facto de sabermos que o Ivo não era o 1º classificado, então o Gonçalves, por ser a mesma pessoa, também não o será. Eis como fica a figura:

 

 

 

 

O 1) que deverá aparecer na tabela significa que se prende com o 1º conjunto de conclusões ocorridas após se terem colocado na tabela todas as informações provenientes diretamente das premissas.

 

Continuando a observar a tabela, mais conclusões podem ser formuladas:

- O David já só pode ter o apelido Pires, logo o Pires já não poderá ser a Ana.

- O 1º lugar já só pode ser ocupado pela Choupina, pelo que esta já não ocupará as restantes posições.

- Se a Choupina é a 1ª classificada, o Gonçalves já não o poderá ser.

- Se o Pires não era o 1º classificado, então o David também não o será.

- Se o David não era o 3º classificado, o Pires também não o será.

 

Eis a respetiva tabela:

 

 

 

Logicamente que o 2) representa o 2º conjunto de conclusões que foi possível fazer-se.

 

 

Tal como está a informação da tabela, em 1º lugar só poderá ter ficado a Bela. Logo esta já não pode ficar em 2º nem em 3º lugar. Por sua vez, se já sabemos que o 1º lugar foi ocupado pela Choupina, então podemos concluir que a Bela tem apelido Choupina. Logo a Bela já não pode ser Jarra. Eis como fica agora a tabela: 

 

 

Neste momento já podemos concluir que a Ana tem apelido Jarra:

 

 

Assim, já conhecemos todos os emparelhamentos entre nome próprio e apelido:

- Ana Jarra.

- Bela Choupina.

- David Pires.

- Ivo Gonçalves.

 

De seguida, parece que não há evidências explícitas que ajudem no prosseguimento da resolução. Contudo, voltemos à premissa b), que diz o seguinte: "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela". O mesmo será dizer que o Ivo Gonçalves ficou à frente do David Pires e atrás da Bela Choupina. Esta informação permite que ao olharmos para a linha do Pires este só possa ser 4º classificado para que o Ivo possa ficar à frente dele. Eis a tabela respetiva:

 

 

Por último e atendendo à premissa d): "A Ana terminou atrás do Gonçalves", esta ficou em 3º lugar e o Ivo Gonçalves em 2º:

 

 

Em síntese, a tabela seguinte evidencia que:

- A Bela Choupina ficou em 1º lugar.

- O Ivo Gonçalves ficou em 2º.

- A Ana Jarra ficou em 3º.

- O David Pires ficou em 4º lugar.

 

 

Com o intuito de se poder praticar este tipo de estratégia de resolução deixo como sugestão um enigmático texto, proposto por Albano Coutinho**, num excelente livro publicado no ano de 2005 pela editora 1000 ideias promocionais:

"As três à porta do prédio

 

Alguém terá registado numa fita magnética de um gravador o seguinte diálogo:

 

- Olhe, Dona Rosa, eu a falar dela e ela a aparecer!... Aí vem a tal que mora por cima do andar da Dona Júlia...

 

- A senhora ainda não lhe sabe o nome?!... Bom dia, Dona Edite!

 

- Como vai, Dona Rosa, passa bem?!... E a vizinha, como vai?...

 

- Olá, Dona Edite! Estávamos, agora mesmo, a falar da senhora. Aqui a Dona Fernanda dizia-me que a senhora tem tido uma paciência enorme para aturar os seus vizinhos do andar por cima do seu. Aquele senhor Eugénio tem cá um feitio!...

 

- É um malcriadão, um insolente. Nem calculam o que temos passado! O meu João ainda um dia perde a cabeça e é uma desgraça!... Mas olhem que ela ainda é pior do que ele! Não é que um destes dias...

 

- Ó Dona Edite, é verdade que aquela safada lhe sujou a roupa que a senhora tinha a secar na varanda?...

 

- E de propósito! Aquela porcalhona, malvada!... Ela, a Felismina, veio à janela com um balde de água suja - sabe-se lá de quê!... - olhou para todos os lados e, julgando que ninguém a estava a ver, lançou toda aquela sujidade para cima da minha roupa. Só que o senhor Gregório, que vinha do emprego, viu tudo da rua. Claro que foi contar o que viu à sua senhora, que logo se apressou a subir um lanço de escadas para me vir dizer... Foi o fim do mundo!...

 

- Eu sei, eu sei!... Por acaso eu até nem estava em casa, mas o meu Alberto presenciou tudo e contou-me. Sabe... Não é que ele goste de se meter na vida dos outros, mas, pelos vistos, o banzé foi de tal ordem... e lá em cima, onde moro, como imaginam, nem que não se queira ouve-se tudo!...

 

- Ainda agorinha, antes de a senhora chegar, era esse episódio que eu estava a comentar. O meu Narciso até me disse, que se o caso fosse connosco, a coisa iria piar fino!... E olhem que nós somos, de todos os inquilinos do prédio, os que estamos mais sujeitos a este tipo de dissabores.

 

- ... Foi o fim do mundo!... Como eu dizia, o meu marido foi logo bater à porta do andar deles para pedir satisfações... E não é que a besta do Eugénio veio lá de dentro com uma caçadeira nas mãos?!... O cobarde!...

 

- E o seu marido?!...

 

- Bem... assim, de repente, apanhado de surpresa, sem estar preparado... Ao meu marido apenas lhe ocorreu perguntar: - Como é?!... Vamos à caça?!

 

...«acasalar» cada um dos pares envolvidos e atribuir-lhes os andares correspondentes" (Couto, 2005, pp. 131.132).

 

** - Coutinho, A. (2005). Lógico! 100 Problemas de Lógica. Porto: 1000 ideias promocionais.

Actividades de lógica matemática

Março 23, 2009

Paulo Afonso

Em contexto de recreação matemática as tarefas que apelam ao uso do raciocínio lógico têm algum impacto junto de um determinado tipo de público, aquele que gosta de exercitar as suas capacidades cognitivas de nível superior, como sejam: analisar, reflectir, estimar, conjecturar, testar, inferir, entre outras.

O exemplo que escolhi para ilustrar esta ideia propõe que se analise um conjunto de informação fornecida, com o intuito de se estabeleer algum tipo de relação lógico-matemática.

Como se trata de uma situação muito aberta, é natural que cada sujeito encontre uma solução diferente para a interrogação proposta:

 

A tabela seguinte ilustra algumas respostas possíveis:

SITUAÇÃO A SITUAÇÃO B
SITUAÇÃO C SITUAÇÃO D

A resposta relativa à situação A baseia-se na análise de que metade do cículo é formado por potências de base dois: 22, 24 e 26. Por sua vez, a outra metade já apresenta dois valores associados a potências de base três: 32 e 34. Sendo assim, o valor que poderá substituir o ponto de interrogação será o 729, por ser o valor relativo à seguinte potência de base três com expoente par: 36.

No caso da situação B o valor 78 pode resultar da seguinte análise: 4 + 16 + 64 = 84. Por seu turno, a outra metade do círculo numérico tem o dobro da soma deste anteriormente somado. Logo, o valor que falta acrescentar a 9 + 81 para se obter a soma 168 é o valor 78.

Já a situação C pode ser vista da seguinte forma: 4 + ? = 64 + 9. Logo, para a soma 73, o valor do símbolo "?" será 69. Neste caso, a soma de 16 com 81 não interfere nas somas dos valores extremos.

Por último, a situação D pode ser vista da seguinte forma, 4 = 4; 1 + 6 = 7; 6 + 4 = 10 (utilização de potências de base dois), isto é, há sempre um incremento de 3 unidades entre cada duas somas. Por sua vez, na outra parte do círculo numérico, 9 = 9 (usando um símbolo e uma potência de base três); 8 + 1 = 9 (usando dois símbolos e uma potência de base três); 243 (usando três símbolos e um potência de base três).

Estas são apenas algumas relações lógicas que se poderiam estabelecer a partir dos valores apresentados.

Veja-se, agora, a situação seguinte e procurem-se também algumas relações lógicas:

 Uma possível solução é a seguinte:

A relação identificada é a seguinte: 1 + 5 é metade de 1 + 11. Logo, 1 + 25 também será metade de 1 + 51.

Haverá outras soluções? Explique o seu racioicínio.

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