Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas
Outubro 15, 2011
Paulo Afonso
Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.
Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:
5; 6,(6); 10; 16; 26,(6); ______;
Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.
Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:
x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)
10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=> <=> 9x = 60 <=> <=> x = 60/9 <=> <=> x = 20/3 | x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)
10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=> <=> 9x = 240 <=> <=> x = 240/9 <=> <=> x = 80/3 |
Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:
5; 20/3; 10; 16; 80/3; ______;
Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.
No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:
5; 20/3; 10; 16; 160/6; ______;
Ajuda?
Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:
10/2; 20/3; 40/4; 80/5; 160/6; ______;
Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).
Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:
10/2; 20/3; 40/4; 80/5; 160/6; 320/7;
Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).
Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:
Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?
Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural, a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:
Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.
Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.
Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?
Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!
Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?