Regularidades envolvendo números quadrados
Janeiro 12, 2009
Paulo Afonso
Como tenho vindo a referir em artigos anteriores, as regularidades, sequências ou padrões numéricos são um tema muito apreciado no âmbito da recreação matemática.
O exemplo que escolhi para reflexão, a propósito deste tema, é adaptado, e expandido, a partir de uma tarefa proposta por Carlo Fabretti, no livro intitulado "El libro del genio matemático", publicado pelas Ediciones Martínez Roca (Barcelona) em 1999.
Imagine-se solicitado(a) a interpretar o padrão numérico que a seguir apresento. Como prova da sua compreensão dê-lhe continuidade:
11 - 2 = 9 1111 - 22 = 1089 111111 - 222 = 110889 11111111 - 2222 = 11108889 ... |
Num contexto de recreação matemática a resposta correcta (111111111 - 22222 = 1111088889) para esta tarefa poderia surgir com maior ou menor fundamentação teórica.
Parece-me que uma aproximação interessante, e que não exigia grandes conhecimentos matemáticos, passaria pela análise da disposição dos três conjuntos de algarismos envolvidos em cada igualdade. Assim, (a) percebe-se que o aditivo é sempre formado por um número par de uns; (b) o subtractivo, formado exclusivamente por números dois, vai aumentando uma unidade em cada nova igualdade que surge; (c) o resto, excesso ou diferença, com a excepção do primeiro caso, apresenta sempre o valor zero como ponto médio entre o conjunto de uns e o conjunto de oitos, ambos com o mesmo número de elementos, seguidos sempre do número nove.
A tabela seguinte pode evidenciar as regularidades envolvidas:
ADITIVO | SUBTRACTIVO | RESTO, EXCESSO OU DIFERENÇA | |||||||||
Nº de uns | Nº de dois | Nº de uns | Nº de zeros | Nº de oitos | Nº de noves | ||||||
2 | 11 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 9 | |||
4 | 1111 | 2 | 22 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 8 | 1 | 9 |
6 | 111111 | 3 | 222 | 2 | 11 | 1 | 0 | 2 | 88 | 1 | 9 |
8 | 11111111 | 4 | 2222 | 3 | 111 | 1 | 0 | 3 | 888 | 1 | 9 |
10 | 1111111111 | 5 | 22222 | 4 | 1111 | 1 | 0 | 4 | 8888 | 1 | 9 |
A última linha da tabela anterior evidencia, pois, a continuidade do padrão aí descrito: 1111111111 - 22222 = 1111088889.
Remetendo esta situação para o contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos pudessem constatar que o número de dois de cada subtractivo é sempre metade do número de uns do respectivo aditivo, pelo que este valor tem sempre um número par de elementos.
Além disto, também seria interessante concluir que o resultado de cada subtracção representa sempre um número que é múltiplo de nove.
Contudo, porventura o mais interessante seria concluírem que cada um desses resultados se trata de um número quadrado, pois: 9 = 32, 1089 = 332, 110889 = 3332, 11108889 = 33332.
De facto, pegando-se no exemplo 111 - 22, podemos estabelecer o seguinte desenvolvimento numérico:
1111 - 22 =
= 1111 - 2 x 11 =
= 1111 - 11 - 11 =
= 1100 - 11 =
= 11 x (100 - 1) =
= 11 x 99 =
= 11 x 9 x 11 =
= 11 x 11 x 9 =
= 112 x 9 =
= 112 x 32 =
= (11 x 3)2 =
= 332 = (número quadrado)
= 1089
Percebida esta demonstração, facilmente se percebe o caso seguinte:
111111 - 222 =
= 111111 - 2 x 111 =
= 111111 - 111 - 111 =
= 111000 - 111 =
= 111 x (1000 - 1) =
= 111 x 999 =
= 111 x 9 x 111 =
= 1112 x 32 =
= (111 x 3)2 =
= 3332 (número quadrado)
= 110889
Como extensão deste desafio os alunos poderiam ser desafiados a comparar os resultados obtidos agora com estes novos que apresento a seguir:
18
2178
221778
22217778
...
Admitindo que descobriam facilmente que este novo padrão numérico representava o dobro de cada resultado da tarefa acabada de analisar, investigue quais seriam, para cada caso, os respectivos aditivos e subtractivos?