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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

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Conexão matemática entre o Crivo de Eratóstenes e os números de Fibonacci

Dezembro 03, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a detetar eventuais regularidades ou padrões, sejam eles de natureza numérica ou de natureza geométrica. O desafio com que inicio esta nova reflexão visa a identificação de algo que seja comum a todos os números que estão em destaque.

 

Qual será a característica que os une a todos?

 

 

 

Obviamente que quem não conhecer o conceito de número primo terá dificuldade em responder ao desafio colocado, pois a resposta é exatamente dizer-se que se tratam de todos os números primos inferiores ao valor 100. De facto, qualquer deles só admite dois divisores: ele próprio e a unidade, isto é, no conjunto dos números inteiros, somente a divisão por eles próprios ou por 1 dará resto zero.

 

Ora, se se fizer uma pesquisa rápida na Internet sobre o tema "números primos", facilmente daremos conta de que não existe uma fórmula ou algoritmo que nos permita encontrar todos os números primos. Talvez por este motivo os números primos sejam tão usados em códigos secretos, pois a sua decifração não é tarefa fácil.

 

Contudo, o quadro anterior pode servir de modelo matemático muito útil para se encontrarem todos os números primos inferiores ao 100. Denominado de Crivo de Eratóstenes, o mesmo pode ser explorado em contexto de sala de aula de Matemática ou junto de familiares e amigos da seguinte forma: esquecendo o 1, por não fazer parte deste tema, vamos isolar o 2 e eliminar (com uma outra cor) todos os números do quadro que sejam múltiplos do 2. Eis como fica inicialmente o quadro depois desta crivagem:

 

 

Eliminaram-se, pois, todos os números pares, à exceção do 2, por este ter sido selecionado.

 

De seguida vamos continuar a utilizar este crivo a partir do próximo número que não foi eliminado agora, isto é, o 3. Seleciona-se este número e dever-se-ão eliminar todos os múltiplos do 3. Claro está que há múltiplos do 3 que já aparecerão eliminados devido ao facto de também serem múltiplos do 2, como sejam, a título de exemplo, o 6, o 12, o 30, etc. Eis como fica agora o quadro:

 

 

Note-se que ainda há muito números que não foram eliminados, sendo que o menor deles é o 5. Assim sendo, seleciona-se este número e eliminam-se, agora, todos os múltiplos do 5 que ainda não foram eliminados. A título de exemplo, note-se que o 15 já foi eliminado por ser também múltiplo do 3. Por sua vez, o 20 já foi eliminado por também ser múltiplo do 2. Eis como fica agora o quadro:

 

 

De seguida faltam eliminar todos os múltiplos do 7 que ainda constem da tabela. Terão de eliminar-se o 49, o 77 e o 91:

 

 

Se nos fixarmos nos restantes números que ainda não foram eliminados, cada um deles já não tem qualquer múltiplo que não tenha sido já eliminado, pelo que se pode concluir que através deste Crivo de Eratóstenes estão identificados todos os números primos inferiores ao valor 100:

 

 

 

São eles:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19

23, 29

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

 

Escolhamos, agora, alguns destes números primos, como sejam: 11, 13, 17, 23, 29, 43, 53 e 73 e investiguemos que tipo de relação poderão ter com a sequência de números de Fibonacci, designadamente com os seguintes elementos: 2, 3, 5, 8 e 13. Haverá alguma conexão matemática entre estes dois tipos de números: os primos e os de Fibonacci?

 

De entre várias estimativas que qualquer resolver pode colocar a si próprio, seria desejável que em contexto de sala de aula os alunos assumissem a postura de Equipa de Detetives da Matemática, de modo a que alguém pudesse testar, de entre várias outras conjeturas, a soma do produto de dois destes números de Fibonacci com um terceiro número desta sequência.

 

Vejamos o seguinte exemplo, tendo em conta os valores 2, 3 e 5:

 

a) 2 x 3 + 5 = 11

b) 2 x 5 + 3 = 13

c) 3 x 5 + 2 = 17

 

Quer o 11, como o 13 ou o 17 pertencem aos números identificados pelo Crivo de Eratóstenes, logo são números primos.

 

Vejamos um novo exemplo, envolvendo, agora, os valores 3, 5 e 8:

 

a) 3 x 5 + 8 = 23

b) 3 x 8 + 5 = 29

c) 5 x 8 + 3 = 43

 

Uma vez mais, os valores 23, 29 e 43 também estão no Crivo de Eratóstenes como sendo números primos.

 

Será que o mesmo se passa se os números selecionados para testagem forem o 5 o 8 e o 13? E se forem os números 8, 13 e 21, alguma coisa surgirá diferente?

Somas cruzadas

Abril 20, 2011

Paulo Afonso

Efectuar actividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

 

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

 

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

 

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

 

Testemos cada caso na respectiva figura:

 

1º caso:

 

 

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

 

 

2º caso:

 

 

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

 

 

3º caso:

 

 

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1= 11.

 

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

 

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

 

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

 

Múltiplos do 5:  Múltiplos do 10:
 

 

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

 

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

 

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

 

 

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

 

Triângulos mágicos de 9 números

Maio 10, 2010

Paulo Afonso

O tema das figuras mágicas tem vindo a merecer alguma reflexão no seio deste blog. Por sugestão de um dos meus leitores, de nome Neuber, vou dedicar as próximas palavras a um tipo de figuras mágicas: os triângulos envolvendo 9 números.

 

A figura seguinte, formada por nove espaços, deverá ser preenchida pelos números se 1 a 9, inclusive, sem se repetir qualquer desses números e estando todos presentes, de modo a que a soma de cada um dos três lados do triangulo seja sempre a mesma:

 

 

Em contexto de recreação matemática, por via da tentativa e erro, poderão surgir algumas respostas correctas, como a que a seguir evidencio, de soma mágica 21:

 

Contudo, em contexto de sala de aula, a tarefa colocada acima deveria constituir uma verdadeira tarefa de investigação matemática. De facto, seria interessante que os alunos pudessem analisar o que se lhes está a pedir e concluíssem que estão sempre envolvidas três somas com quatro parcelas cada uma. Além disto, entre cada duas destas três somas só poderá haver um número comum, que será o vértice comum a ambas.

 

Curiosamente, a figura acima tem como vértices os três múltiplos do 3, o que implica conjecturar que a duplicação de todos os números envolvidos nessa figura originaria uma soma que seria o dobro desta, isto é, 42. Vamos testar:

 

Seria muito interessante que os alunos concluíssem que estamos na presença de uma figura mágica em que apenas estiveram envolvidos os nove primeiros números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, voltando a estar nos vértices, três múltiplos do 3.

 

Contudo, voltemos ao desafio inicial. Seria de grande pertinência se os alunos, em contexto de sala de aula, concluíssem que há uma soma mínima, envolvendo quatro dos números propostos. Essa soma é 15, pois 9 + 1 + 2 + 3 = 15.

 

Vamos, então, decompor o 15 em quatro parcelas diferentes, para vermos quantos casos existem:

 

A - 9 + 1 + 2 + 3 = 15

B - 8 + 1 + 2 + 4 = 15

C - 7 + 1 + 2 + 5 = 15

D - 7 + 1 + 3 + 4 = 15

E - 6 + 1 + 3 + 5 = 15

F - 6 + 2 + 3 + 4 = 15

 

Estes seis casos deverão ser combinados três a três, o que origina 20 combinações:

 

A - B - CA - B - DA - B - EA - B - FA - C - D
A - C - EA - C - FA - D - EA - D - FA - E - F
B - C - DB - C - EB - C - FB - D - EB - D - F
B - E - FC - D - EC - D - FC - E - FD - E - F

 

Os alunos deveriam investigar cada uma destas 20 possibilidades, mas é fácil concluir que nenhuma delas origina a soma mágica 15. A razão prende-se no facto de não haver qualquer caso em que entre cada duas adições apenas exista um número comum. Note-se que nas seis primeiras existe sempre o valor 1, o que condiciona a escolha de duas dessas adições, pois já não poderá haver mais nenhum número comum às duas que se escolherem.

 

Poder-se-ia, por exemplo, pensar na adição C e na adição F, por só terem o valor 2 em comum. Contudo, ao escolher-se a adição A já tem o 1 e 2 comum a C; se se escolher a adição B, esta também tem os valores 1 e 2 comuns a C; por sua vez, se a opção for a adição D, esta tem os valores 1 e 7 comuns a C; por fim, a adição E tem o 1 e o 5 comuns a C. Logo, conclui-se que para uma figura deste tipo, apesar de se conseguirem fazer 20 combinações diferentes do valor 15, não é possível obter-se uma figura mágica.

 

Acima aparece um caso de sucesso, de soma 21. Haverá mais casos de sucesso para esta soma?

 

Sugiro que se faça a decomposição do 21 em adições de quatro parcelas diferentes para se descobrir o número de combinações possíveis. A seguir dever-se-ão testar algumas delas. Apresento apenas mais um caso de sucesso para essa soma:

 

 

Haverá outros casos de sucesso para esta soma mágica?

Dos problemas aos conceitos matemáticos - um caso de múltiplos e de divisibilidade

Fevereiro 01, 2010

Paulo Afonso

Muitos são os documentos de orientação metodológica para o ensino-aprendizagem da Matemática da actualidade que preconizam a ideia de que a resolução de problemas deve ser um dos mais importantes cenários metodológicos para que os alunos sejam capazes de construir o seu edifício matemático. A máxima "dos problemas aos conceitos" tem vindo, pois, a ser bastante veiculada no seio dos educadores matemáticos, pois através de situações desafiantes os alunos poderão aprender novos conceitos matemáticos ou revisitar, consolidando, os conceitos que já conhece.

 

O exemplo que escolhi para ilustar esta ideia retirei-o de um interessante livro de Margaret Edminston*, intitulado "Quebra-cabeças sobre Matemática". Eis o enunciado:

 

"Todas as manhãs, uma fazendeira recolhe os ovos que as suas galinhas puseram. Um dia, tropeçou à saída da capoeira e todos os ovos se partiram.

- Quantos ovos trazias? - perguntou-lhe a filha.

- Não sei - disse a mulher -, mas lembro-me de que quando dividi o número de ovos por 2, sobrou um ovo, quando dividi o número por 3 não sobrou nenhum, e quando dividi por 5 sobraram três ovos.

A mulher trazia mais de quatro ovos e menos de quarenta. Quantos ovos se partiram?" (Edminston, 2001, p. 40).

 

* - Edminston, M. (2001). Quebra-cabeças sobre Matemática. Lisboa: Replicação.

 

Este problema pode ser solucionado sem que o respectivo resolvedor possua elevados conhecimentos matemáticos. Contudo, ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos o associassem ao tema dos múltiplos de um número, bem como aos critérios de divisibilidade por 2, por 3 e por 5.

 

Interessante também seria se os alunos tecessem um raciocínio mais ou menos semelhante ao que apresento a seguir. Por um lado deduz-se que a fazendeira tinha obrigatoriamente de trazer um número ímpar de ovos, porque só assim poderia ter ficado com um ao dividir o número de ovos que tinha por 2. Por outro lado, o número de ovos que tinha era um múltiplo de 3, porque ao dividir esse número de ovos por este valor, não lhe restava qualquer ovo. Por fim, o número de ovos tem de ser um valor que ao dividir por 5 dê resto três.

 

Destas constatações infere-se uma regra que matematiza a situação em causa. A regra é esta: 5n + 3, pois evidencia um valor múltiplo de 5, mais 3 unidades, colocando-se a condição de "n" ser um número par, para que o valor final seja ímpar.

 

Como é referido no enunciado que o número de ovos está compreendido entre 4 e 40, o "n" nunca pode assumir o valor 8 ou superior, pois no caso de ser 8, já se excediam os 40 ovos.

 

Sendo assim, o "n" só poderá assumir os valores 2, 4 ou 6. Logo, o total de ovos poderá ser:

 

5 x 2 + 3 = 13 ou 5 x 4 + 3 = 23 ou 5 x 6 + 3 = 33. Contudo, como é dito no enunciado que o número de ovos tem de ser um múltiplo de 3, o valor a seleccionar é o 33.

 

Confirmando, 33 a divir por 2 dá resto 1; é múltiplo de 3, logo a divisão por 3 dá resto zero; e ao dividir por 5 dá resto 3.

 

Faça um raciocínio análogo para o seguinte enunciado:

 

"Tenho na minha posse três números inteiros, sendo cada um deles inferior a 10 unidades. Além disto, multiplicando os de menor valor, o produto obtido coincide com o número de maior valor. Sabe-se também que a soma dos três números é um número primo. Quais os três números em causa?"

Que outros enunciados semelhantes a estes conhece?

Múltiplos conceitos matemáticos resultantes de uma observação apaixonada

Novembro 16, 2009

Paulo Afonso

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 12; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n2), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n3):

a) 1 = 13

b) 8 = 23

c) 27 = 33

d) 64 = 43

e) 125 = 53

f) ... 

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

Múltiplas conexões matemáticas envolvendo o número 120

Outubro 29, 2008

Paulo Afonso

Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ímpares, os que eram primos, os primos entre si, os compostos, os perfeitos, os quadrados, os triangulares, os naturais, os inteiros, os relativos, os racionais, os reais, os irracionais, etc., etc. Destes, havia alguns que se distinguiam pela sua importância histórica, como seja o 1, o zero, o pi, ou o de ouro. 

Não obstante isto, tem vindo a descobrir-se coisas fantásticas acerca de outros bem mais "modestos", em termos da sua importância relativa como entes da História da Matemática, como seja o 9, o 1089, o 3037 ou o 142857. Basta uma consulta rápida na Internet para nos apercebermos das suas magníficas propriedades matemáticas.

Contudo, não é acerca destes números que eu vou incidir a minha reflexão. Decidi escolher um que, porventura, tem merecido menos elogios, mas que me agrada imenso, por permitir um leque variado de conexões a alguns conceitos matemáticos. Refiro-me ao 120.

Pois é, se eu o desafiasse a reflectir acerca da importância deste valor nas nossas vidas, facilmente o associaríamos a aspectos do tempo (sistema sexagesimal), ou ao limite de velocidade nas auto-estradas. Quantos de nós não pagaram já coimas de 120 euros por excesso de velocidade?

Já relativamente a outros conceitos matemáticos podemos associá-lo, por exemplo, ao conceito de amplitude de ângulos, designadamente aos ângulos externos de um qualquer triângulo equilátero.

Mas vejamos as seguintes propriedades mágicas deste número.

(a) Tem o privilégio de ser formado pelos três primeiros números inteiros (0, 1 e 2).

(b) Como qualquer outro número inteiro, pode ser obtido pela adição de alguns números da sequência de Finonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Eis alguns exemplos:

2 + 8 + 21 + 89 = 120

2 + 3 + 5 + 21 + 34 + 55 = 120

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 89 = 120

(c) Como se trata de um número que não é primo, pois é composto, pode ser obtido através da multiplicação de vários factores primos: 120 = 23 x 3 x 5.

(d) Também pode ser obtido através da adição de oito dos dez primeiros números primos: 120 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29. Aliás, tendo em conta a conjectura de Goldbach, que diz que qualquer número par maior ou igual a quatro pode ser obtido pela adição de dois números primos, o 120 resultaria da adição de 103 com 17, ou de 113 com 7 ou de 117 com 3.

(e) É um número triangular, o que significa que existem dois números inteiros consecutivos que multiplicados entre si originam um produto que é o dobro desse valor 120. Refiro-me aos números 15 e 16, pois 15 x 16 = 240. De facto, o 120 é o 15º número triangular, pois 120 = [n x [n + 1)] : 2, quando n = 15.

(f) Ao adicionarmos os seus dígitos constatamos que a soma é 3, logo o 120 é divisível por 3. Este facto permite que nos questionemos acerca de quais serão os nove números inteiros consecutivos que permitem transformar a figura seguinte num quadrado mágico, de ordem três, com soma mágica 120?

Eis uma possível solução, envolvendo os seguintes números consecutivos 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44:

(g) Será que também pode ser afecto a um quadrado mágico de ordem quatro, isto é, será que existem dezasseis números inteiros consecutivos que permitem tornar a figura seguinte num quadrado mágico de soma 120?

Através dos três exemplos seguintes podemos perceber que existe uma regularidade neste tipo de figuras: 

Quando a sequência se inicia pelo valor 1, a soma é 34; quando se inicia pelo valor 2, a soma é 38; quando se inicia pelo valor 3, a soma é 42. Prolongando este padrão, resulta o seguinte:

Início Soma Início Soma Início Soma Início Soma
1 34 2 38 3 42 4 46
5 50 6 54 7 58 8 62
9 66 10 70 11 74 12 78
13 82 14 86 15 90 16 94
17 98 18 102 19 106 20 110
21 114 22 118 23 122    

O padrão anterior permite concluir que não é possível obter-se um quadrado mágico, de ordem 4, envolvendo dezasseis números inteiros consecutivos cuja soma seja 120. O máximo que se obtém por defeito é 118 e o mínimo que se obtém por excesso é 122.

Ora se formalizarmos este padrão, percebemos que:

1 --- 34 = 34 + 0 x 4

2 --- 38 = 34 + 1 x 4

3 --- 42 = 34 + 2 x 4

4 --- 46 = 34 + 3 x 4

5 --- 50 = 34 + 4 x 4

...

n        = 34 + (n - 1) x 4

Se igualarmos este lei de formação ao valor 120, concluímos que "n" terá que ser 22,5, que será o início da seguinte sequência numérica: 22,5; 23,5; 24,5; 25,5; 26,5; 27,5; 28,5; 29,5; 30,5; 31,5; 32,5; 33,5; 34,5; 35,5; 36,5; 37,5.

Façamos o quadro:

 

Confirma-se, pois, que se pode construir um quadrado mágico, de ordem 4, cuja soma mágica 120 resulta da utilização dos dezasseis números decimais acima enunciados.

(h) A terminar, seria interessante investigar se o 120 resulta ou não da adição de quatro potências de base dois consecutivas.

A tabela seguinte evidencia esse possível estudo:

Note-se, pois, que as potências envolvidas são 23, 24, 25 e 26.

Através de uma exploração algébrica, a resolução da equação seguinte: x2 + 2x2 + 4x2 + 8x2 = 120 dar-nos-ia a resposta "8" como sendo a primeira das potências a considerar.

Faça um estudo semelhante para o caso de quatro potências consecutivas de base 3 e verá que ficará surpreendido!

A beleza matemática dos números triangulares

Outubro 23, 2008

Paulo Afonso

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a particularidade de originar figuras triangulares. Referia-me, na altura, aos números triangulares, cujos seis primeiros termos da sequência são os seguintes: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

De entre várias conexões matemáticas que este tipo de números permite estabelecer*, como seja aos números quadrados ou ao triângulo de Pascal, irei associá-los ao conceito de média aritmética, ao conceito de número primo e ao conceito de potência de expoente natural.

* - Afonso, P. (2006). A Magia Conexões Matemáticas - Um caso envolvendo números triangulares. Educação e Matemática, 90, Novembro/Dezembro, 35-38.

Sendo assim, imagine que era desafiado a dividir aqueles seis primeiros elementos da sequência de números triangulares em dois grupos de igual valor numérico e em que cada um dos dois grupos era formado por metade desses elementos.

A figura seguinte permite auxiliar a visualização desta proposta, pois sugere-se que as parcelas de cada um dos grupos sejam colocadas nos triângulos azuis, e as respectivas somas ao centro de cada hexágono amarelo:

Como actividade de recreação matemática, esta situação poderia ser resolvida por tentativas:

Obviamente que em termos de sala de aula de matemática seria desejável que os alunos adicionassem esses seis termos da sequência, cujo valor é 56 e dividissem por dois para encontrarem o valor de cada metade, que é 28.

Ora, baseando-nos neste tipo de imagem, verifica-se que mantendo-se a média no valor 28, estes seis números triangulares permitem a constituição de outros pares de somas, em que cada uma delas continua a resultar da adição de três parcelas:

Note-se que as somas envolvidas nestas figuras são sempre pares.

Será que os restantes valores pares, agrupados segundo os seguintes pares ordenados [(22, 34); (20, 36); (18, 38); (16, 40); (14, 42); (12, 44); (10, 46); (8, 48); (6, 50)] permitem também casos de sucesso em figuras semelhantes às que acabo de mostrar? Será, certamente, uma investigação interessante a fazer-se...

O mesmo será dizer-se relativamente aos pares de números envolvendo somas ímpares, mas mantendo-se a mesma média de 28 valores. Use a figura seguinte para fazer este novo estudo:

Note-se a curiosidade de para o par de somas (19, 37) se conseguirem obter dois casos de sucesso:

É, pois, desafiador fazer-se o estudo para os restantes pares de somas ímpares e de média 28, usando-se apenas figuras semelhantes às anteriores, isto é, que envolvam três parcelas para cada soma.

Como tenho feito em outros artigos, este tema também permite múltiplas extensões.

Veja o exemplo de se sentir desafiado a dividir estes seis números triangulares em dois novos grupos, formado cada um por três elementos, de modo que uma soma seja o triplo da outra...

Uma vez mais, eis um possível caso de sucesso, envolvendo as somas 42 e 14:

Divida agora esses seis números, de modo a formar dois grupos cujas somas são dois números primos.

Se investigar este caso, provavelmente irá concluir que o número de termos envolvido em cada soma não será igual, o que obrigará a recorrer a outro tipo de figuras. Eis uma solução possível:

Conclui-se, pois, que este conjunto de números revela ter grandes possibilidades de exploração pedagógica.

Termino com o seguinte desafio: usar uma figura semelhante à anterior para se obterem duas somas em que uma é o quadrado da outra. 

Brincar com os números

Setembro 02, 2008

Paulo Afonso

Os números são de vários tipos e permitem o estabelecimento de múltiplas relações matemáticas.

Num cenário de recreação matemática imagine-se desafiado a utilizar apenas os seis primeiros números naturais, de modo a colocá-los nas seguintes seis células, segundo determinado tipo de regras, envolvendo cinco tarefas diferentes:

           

1 - A soma dos números colocados nas duas primeiras células tem que ser igual à soma dos números colocados nas duas células seguintes e igual à soma dos números colocados nas duas células da direita.

2 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que ser números consecutivos.

3 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 2.

4 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 3.

5 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 4.

Como possíveis resoluções podíamos ter os seguintes cinco casos:

1:

1 6 3 4 5 2

2:

2 4 1 6 3 5

3:

1 4 2 5 6 3

4:

1 3 5 2 6 4

5:

1 2 3 4 5 6

Em contexto de sala de aula de matemática, estes desafios poderiam ser interessantes para o estudo do conceito de progressão aritmética. Contudo, muitas outras extensões poderiam ser feitas a partir do posicionamento destes seis números naturais:

A título de exemplo, tente colocá-los nestas seis células tendo em conta, em simultâneo, todas as condições seguintes:

a) os dois primeiros números formam um número que é múltiplo de 6;

b) o 2º e o 3º números formam um número que é múltiplo de 5;

c) o 3º e o 4º números formam um número que é múltiplo de 4;

d) o 4º e o 5º números formam um número que é múltiplo de 3;

e) o 5º e o 6º números formam um número que é múltiplo de 2.

Mostre a solução e evidencie o raciocínio utilizado.

 

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