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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Magia matemática envolvendo números

Outubro 02, 2011

Paulo Afonso

A Matemática, como disciplina fascinante que é, possibilita que os mais astutos no domínio da Magia encantem os seus interlocutores com atividades mágicas que os deixam completamente rendidos a essa Ciência. O exemplo que trago para reflexão desta vez passa por se analisar a relação que existe entre a primeira parcela da seguinte adição (475) e a respetiva soma (2473):

 

 

Certamente reparará que a soma tem mais 1998 unidades que o valor da primeira parcela, isto é, aquele valor é maior em duas mil menos duas unidades que esta parcela (1998 = 2000 - 2).

 

Ora, baseados nesta constatação, este mesmo conjunto de números poderia servir de base a uma atividade de magia matemática. Imagine, pois, que um nosso interlocutor era solicitado para referir oralmente, e escrever num papel, um número formado por três dígitos, de preferência, diferentes entre si. De seguida pedia-se para acrescentar por baixo desse número referido, outros dois números formados, também cada um, por três dígitos. Como é que se poderá adivinhar logo a soma, assim que é referida a primeira parcela?

 

Este enigmático desafio passa, então, por se acrescentar dois mil ao valor dessa parcela, mas temos de retirar duas unidades a essa mesma parcela. Depois, basta acrescentarmos, nós mesmos, as duas parcelas que faltam. Contudo, a escrita destas duas parcelas deve obedecer ao critério de formarem mil menos um (999), duas vezes, ou seja, um total de 2000 - 2, que é 1998. Vejamos a figura e centremos a nossa atenção nas cores:

 

 

 

Repare-se no seguinte: ao adicionarmos os valores da 2ª e da 4ª parcelas obtém-se o valor 999, pois: 390 + 609 = 999. Por sua vez, a adição dos valores da 3ª parcela com os valores da 5ª parcela também origina o mesmo resultado: 628´+ 371 = 999. Logo, com a nossa intervenção na escrita criteriosa das últimas parcelas estaremos a contribuir decididamente para que o valor da 1ª parcela seja adicionado com os valores 999 + 999, isto é com (1000 - 1) + (1000 - 1), ou seja com 2000 - 2, que é 1998.

 

No sentido de se aplicar esta magia matemática a uma nova situação, pode-se colocar a nossa criatividade em jogo e podemos logo escrever num papel (sem que alguém veja) o número 2638. Contudo, se isto ocorrer perante um conjunto de amigos, ou na escola, com alunos, o professor poderá dizer logo de imediato que escreveu num papel o número que vai escrever agora no quadro da sala de aula: 640. Claro está que no papel o valor 2638 é o tal que é 640 + (2000 - 2). Na figura do quadro escreverá, então, só a 1ª parcela, mas na sua memória e no papel que escreveu, e guardou bem guardado, já tem a soma que pretende obter:

 

 

Imaginando que solicitamos duas intervenções e os valores são os da figura seguinte, quais os valores a acrescentar por nós? 

 

 

Tendo em conta o valor 523 na 2ª parcela, para que a nossa intervenção origine o valor 999, então teremos de avançar com o número 476:

 

 

Do mesmo modo, o valor da 3ª parcela (374) terá de ser adicionado ao valor da 5ª parcela, que será 625. Note-se que 374 + 625 = 999:

 

 

Em síntese, quando agora nós mostrássemos o papel que está guardado, a surpresa seria enorme, por este conter a soma 2638. Fica, pois, comprovado que adicionando duas vezes 1000 - 1 ao valor 640, o valor obtido é 2638.

 

Analisemos agora a figura seguinte e tentemos relacionar o valor da 1ª parcela com a respetiva soma:

 

 

 

Uma primeira conclusão é que a soma é maior em 1776 unidades, isto é, duas mil menos 224 unidades. Significa isto que basta olhar para a soma para se ver que na ordem das dezenas e na ordem das centenas, os valores aí existentes são os respetivos da 1ª parcela, subtraídos de duas unidades. Ja o algarismo da ordem das unidades, na soma, é igual ao respectivo algarismo da 1ª parcela, subtraído de quatro unidades.

 

Como o valor 1776 se pode obter pela soma de duas parcelas iguais: 888 + 888, então, o que teremos de fazer, enquanto Magos da Matemática é introduzir duas parcelas cujos valores ao serem adicionados aos valores da 2ª e 3ª parcelas vão originar duas vezes o valor 888:

 

 

Repare-se, pois, que (a) 364 + 524 = 888; (b) 628 + 260 = 888. Logo, 475 + 2 x 888 = 475 + 1776 = 2251.

 

Tendo em conta esta nova curiosidade matemática, descubra os valores que farão parte das parcelas da figura seguinte, de modo a que a soma seja maior do que a 1ª parcela em 2000 - 224 unidades:

 

Xavier e a Magia Matemática

Maio 07, 2011

Paulo Afonso

Num acto de alguma imodéstia, vou aproveitar este blog para divulgar e promover o meu mais recente livro, publicado pela Associação de Professores de Matemática (APM), no final de 2010. O título do livro é "Xavier e a Magia Matemática" e pode ser adquirido a partir deste endereço electrónico: http://www.apm.pt/portal/index_loja.php?id=176277

 

 

Aproveito, também, para deixar aqui o texto introdutório:

 

"Este livro pretende ser, em primeiro lugar, um livro dedicado a todos os que gostam de Matemática, designadamente os que apreciam actividades de recreação matemática ou de magia matemática. Trata-se de um livro de leitura fácil, de modo a possibilitar que as tarefas apresentadas possam ser entendíveis e solucionáveis por pessoas que não tenham um grande conhecimento matemático. Como objectivo último, visa cativar os jovens para esta ciência através de uma aposta metodológica baseada na ludicidade e no prazer de fazer matemática.

 

À semelhança de outras surpreendentes histórias de ludicidade matemática, como sejam: (a) “O Homem que sabia contar” de Malba Tahan; (b) “Ernesto, el aprendiz de matemago” de José Muñoz Santonja; (c) “O diabo dos números” de Hans Enzensberger; (d) “O 10 magnífico” de Anna Cerasoli; (e) “La sorpesa de los números” de Anna Cerasoli, ou; (f) “Uma aventura matemática na Internet”, ou; (g) “Ensino e aprendizagem da matemática em ambiente de e-learning”, que tive a felicidade de publicar, a história deste livro transporta-nos para um mundo mágico onde os conceitos matemáticos contagiam a personagem principal, o Xavier, que ambiciona ser um importante especialista em Magia Matemática.

 

Embora ficcionada, é desejável que esta história possa servir de pequeno exemplo para se reflectir acerca do apaixonante mundo que é a matemática recreativa."

 

Em síntese, esta história ficcionada relata o desejo de um bom aluno em Matemática de ser um Mago da Matememática. Para tal, ele, de nome Xavier, tem de prestar provas de magia matemática perante um júri muito exigente. A título de exemplo, eis a tarefa 7:

 

 

"Tarefa 7: Dezasseis números de um calendário

 

  

7.1 - Processo usado para descobrir rapidamente a soma de dezasseis números seleccionados num calendário:

  

 7.1.1 – O que eu pedi:

 

Eu pedi a cada elemento do júri que escolhesse dezasseis números, formando um quadrado de quatro por quatro, isto é, usando quatro linhas seguidas e quatro colunas também consecutivas, de um exemplo de um hipotético mês, de um também hipotético calendário, como o seguinte:

 

Depois pedi que me revelassem os dois valores extremos ou, então, os quatro valores centrais.

 

7.1.2 – O que me foi dito pelos elementos do júri:

 

            - Mago Miguel: o menor número é o 1 e o maior é o 25

 

            - Maga Rute: os valores centrais são o 14, o 15, o 21 e o 22

 

            - Mago Artur: os valores centrais são o 15, o 16, o 22 e o 23

 

 

7.1.3 – Explicação matemática:

 

Esta tarefa pode ter várias explicações matemáticas. Contudo, vou optar por simular algebricamente o que se passa com quaisquer dezasseis números que sejam seleccionados nas condições impostas pelo enunciado da tarefa. Vou assumir o menor valor com a letra z e vou “desenhar o quadrado numérico” formado pelos dezasseis elementos:

 

 

z                      z + 1                           z + 2                           z + 3

                      

 

z + 7               z + 8                           z + 9                           z + 10

                        

 

z + 14             z + 15                         z + 16                         z + 17

  

 

z + 21             z + 22                         z + 23                         z + 24

 

 

Repare-se que a soma em cada linha é a seguinte:

 

1ª linha               4z + 6

2ª linha               4z + 34

3ª linha               4z + 62

4ª linha               4z + 90

 

Repare-se, agora, na soma das somas: 16z + 192

 

Esta soma permite concluir que, conhecendo-se o menor dos dezasseis valores seleccionados, basta multiplicá-lo por 16 e adicionar ao produto obtido o valor 192. Logo, para o caso do Mago Miguel, a soma dos seus 16 números é: 16 x 1 + 192 = 208.

 

Fixemo-nos, agora, nos quatro valores centrais:

            

                        z + 8                           z + 9                          

 

                        z + 15                         z + 16            

 

 

Adicionando estes quatro valores, obtemos a soma: 4z + 48 que é a quarta parte da soma dos dezasseis números, pois (16z + 192) : 4 = 4z + 48. Logo, para se obter a soma dos dezasseis números, conhecendo-se apenas os quatro valores centrais, basta adicioná-los e multiplicar a soma obtida por quatro.

 

Assim, para o caso da Maga Rute, a soma dos seus quatro valores centrais é: 14 + 15 + 21 + 22 = 72. Logo, multiplicando este valor por 4, obtém-se o valor 288 que representa a soma dos 16 números seleccionados por este elemento do Júri.

 

Do mesmo modo, para o caso do Mago Artur, a soma dos quatro valores centrais é 15 + 16 + 22 + 23 = 76 e a soma dos 16 números é 76 x 4 = 304."

 

Vejamos agora outra das tarefas:

 

- escrever um número formado por quatro algarismos;

- subtrair a soma dos seus dígitos;

- eliminar um valor do resultado encontrado e divulgar apenas os restantes valores desse resultado.

 

Como descobrir o valor eliminado?

Utilização da Matemática para se descobrir informação relativa à idade das pessoas

Abril 04, 2011

Paulo Afonso

Muitos são os casos de recreação matemática em que um qualquer interlocutor nosso, mais entusiasmado com questões de magia matemática, nos tenta colocar em situação de ele próprio descobrir um eventual número que estejamos a pensar. Conduzindo-nos por caminhos matematicamente bem experimentados, por norma costuma acertar na sua previsão, o que nos deixa com a curiosidade aguçada para percebermos como foi capaz de tão enigmática descoberta.

 

Os exemplos que trago para partilhar com os leitores prendem-se com a tentativa de descoberta de dados relativos à idade das pessoas.

 

1 - O primeiro exemplo pode ser o de alguém que tenha nascido a 12 de Agosto. Vamos, então, ver como poderemos facilmente descobrir esta data, munindo-nos, para tal, de uma simples máquina de calcular. Façamos as seguintes solicitações ao nosso interlocutor:

 

- escreva o dia do seu nascimento;

- duplique este número, isto é, multiplique-o por dois;

- multiplique o valor agora obtido por dez;

- adicione setenta e três unidades ao novo produto obtido;   

- multiplique este novo valor por cinco;

- adicione, por fim, o número relativo ao mês de nascimento. Que valor obteve?

 

Perante estas solicitações, o nosso interlocutor, se tivesse nascido no dia 12 de Agosto responderia no final o valor 1573.

 

Vejamos, agora, como é que a Matemática nos pode auxiliar a descobrir esta data de aniversário. A tabela seguinte evidencia o procedimento algébrico associado a cada passo da resolução da tarefa:

  

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- escrever o dia de nascimento

d

- duplicar este número

2d

- multiplicar o valor agora obtido por dez

10 x 2d

- adicionar setenta e três unidades ao novo produto obtido

10 x 2d + 73

- multiplicar este novo valor por cinco

5 x (10 x 2d + 73)

- adicionar, por fim, o número relativo ao mês de nascimento

5 x (10 x 2d + 73) + m

  

Façamos, agora a respectiva interpretação algorítmica:

 

5 x (10 x 2d + 73) + m =

= 5 x (20d + 73) + m =

= 100d + 365 + m

 

Sabendo nós que o procedimento aritmético do nosso interlocutor resulta sempre nesta expressão algébrica, a única coisa que teremos de fazer é subtrair a quantidade 365 ao valor revelado por ele. Repare-se que a fórmula fica com o seguinte aspecto: 100d + 365 + m – 365 = 100d + m

 

Esta fórmula permite concluir que, subtraindo o valor 365 ao valor revelado pelo nosso interlocutor, obtém-se nas ordens das unidades de milhar e das centenas o valor do dia de nascimento, restando nas ordens das dezenas e das unidades o valor do mês respectivo.

  

No caso de o valor ser 1573, então o resultado final será: 1573 – 365 = 1208. Logo, terá nascido no dia doze de Agosto.

  

2 - Vejamos, agora, como é fácil descobrir a idade de uma pessoa. O exemplo pode ser de alguém que tenha 51 anos. Eis o que teremos de solicitar ao nosso interlocutor:

  

- multiplicar a idade por dois;

 - adicionar cinco unidades ao produto obtido;

 - multiplicar o resultado obtido por cinquenta;

 - subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido;

 - adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final.

 

 Analisemos o procedimento algébrico:

 

 

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- multiplicar a idade por dois

2i

- adicionar cinco unidades ao produto obtido

2i + 5

- multiplicar o resultado obtido por cinquenta

50 x (2i + 5)

- subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido

50 x (2i + 5) - 365

- adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final

50 x (2i + 5) – 365 + 115

 

Eis a respectiva Interpretação algorítmica:

 

50 x (2i + 5) – 365 + 115 =

= 100i + 250 – 250 =

= 100i

 

Ora, no exemplo considerado de alguém com 51 anos, dar-nos-ia como resposta o valor 5100. Tal como no caso anterior, esta fórmula permite concluir que, conhecendo-se o valor final obtido pelo nosso interlocutor, nas ordens das unidades de milhar e das centenas, encontra-se logo a sua idade.

 

3 - Um terceiro exemplo permite não só descobrir o dia e o mês de aniversário, como também o ano de nascimento. Eis o que pedir ao nosso interlocutor:

 

- escrever o número relativo ao mês de nascimento;

- multiplicar este valor por quatro;

- adicionar treze unidades ao valor agora obtido;

- multiplicar por vinte e cinco a soma obtida;

- subtrair o valor duzentos;

- adicionar o dia de nascimento;

- multiplicar a soma agora obtida por dois;

- subtrair o valor quarenta;

- multiplicar este último valor obtido por cinquenta;

- adicionar os últimos dois dígitos do ano de nascimento e revelar o valor  obtido.

 

Qual será a exlicação matemática e o que é que teremos de fazer no final para descobrirmos a data de nascimento do nosso interlocutor?

Da magia matemática ao desenvolvimento do pensamento algébrico

Janeiro 11, 2010

Paulo Afonso

Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado número que nós idealizámos, tudo a partir de um número por ele guardado em segredo. Recordemos o enunciado de então:

 

"1 - Pense num número e não o divulgue.

2 - Adicione-lhe 5 unidades.

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem.

6 - Subtraía o valor inicial. Vou descobrir o valor final".

 

Esta tarefa de magia matemática possibilitava que qualquer resolvedor, bem dotado ao nível do cálculo mental, constatasse que no final tinha obtido o valor 3. Teste isto consigo para ver confirmado este valor final!

 

Na altura em que redigi este texto apresentei uma resolução pictórica mas, em termos matemáticos, a sua resolução por etapas é a seguinte:

 

1 - n

2 - n + 5

3 - 2 x (n + 5)

4 - 2 x (n + 5) - 4

5 - [2 x (n + 5) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n

Logo: [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n = (2n + 10 - 4) : 2 - n = (2n + 6) : 2 - n = n + 3 - n = 3.

 

Como se pode constatar, o valor final 3 é independente do valor inicial (n) mantido em segredo, porque o mesmo acaba por ser anulado ao longo do procedimento algébrico.

 

O que aconteceria se, por exemplo, em vez de se adicionarem 5 unidades se adicionassem 10? Qual a sua estimativa?

 

Certamente que uma das possíveis sugestões seria obter-se no final o valor 6, pois se em vez de 5 se adicionasse 10, que é o dobro deste valor, então no final, em vez de se obter 3, obter-se-ia o seu dobro, que é 6.

 

Vamos testar:                                          

"1 - Pense num número e não o divulgue. 

2 - Adicione-lhe 10 unidades. 

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem. 

6 - Subtraía o valor inicial. Quanto obteve?"   

     

Matematicamente, eis a resolução:

1 - n

2 - n + 10

3 - 2 x (n + 10)

4 - 2 x (n + 10) - 4

5 - [2 x (n + 10) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n

 Logo: [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n = (2n + 20 - 4) : 2 - n = (2n + 16) : 2 - n = n + 8 - n = 8.  

 

Não se confirma, pois, a estimativa do valor 6. Contudo, certamente que já observou que o valor obtido tem uma relação com o valor que se adiciona ao valor inicial, de facto. Qual é essa relação? No fundo, a questão é: podemos saber de imediato o valor final a partir do valor que mandamos adicionar ao valor inicial desconhecido?

 

Claro que sim, pois o valor final é igual ao valor que mandamos adicionar menos duas unidades. De facto, quando da adição de 5 unidades, obteve-se o valor final 3; já quando da adição de 10 unidades, obteve-se o valor 8.  

 

Esta importante conclusão permitirá que consigamos impressionar os nossos amigos em situações de recreação matemática ou de convivialidade. Por exemplo, se perante cinco amigos (A, B, C. D e E) lançarmos este desafio, mandando adicionar, no passo 2, ao amigo A o valor 10, ao amigo B o valor 12, ao amigo C o valor 14, ao amigo D o valor 16 e ao amigo E o valor 18, adivinharemos que no final o A obteve o valor 8, o B o valor 10, o C o valor 12, o D o valor 14 e o E o valor 16. Estes valores serão obtidos, independentemente dos valores inicialmente pensados por cada um deles!

 

Veja-se, agora, o seguinte enunciado:

1 - Pense num número.

2 - Duplique esse número.

3 - Adicione 8 unidades.

4 - Encontre metade do valor agora obtido.

5 - Subtraía o valor inicial.

 

Efectuando os respectivos cálculos, obter-se-á o valor 4.

Que passo do enunciado deve ser alterado para que o resultado seja 5? E 6?

A beleza matemática dos números triangulares

Outubro 23, 2008

Paulo Afonso

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a particularidade de originar figuras triangulares. Referia-me, na altura, aos números triangulares, cujos seis primeiros termos da sequência são os seguintes: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

De entre várias conexões matemáticas que este tipo de números permite estabelecer*, como seja aos números quadrados ou ao triângulo de Pascal, irei associá-los ao conceito de média aritmética, ao conceito de número primo e ao conceito de potência de expoente natural.

* - Afonso, P. (2006). A Magia Conexões Matemáticas - Um caso envolvendo números triangulares. Educação e Matemática, 90, Novembro/Dezembro, 35-38.

Sendo assim, imagine que era desafiado a dividir aqueles seis primeiros elementos da sequência de números triangulares em dois grupos de igual valor numérico e em que cada um dos dois grupos era formado por metade desses elementos.

A figura seguinte permite auxiliar a visualização desta proposta, pois sugere-se que as parcelas de cada um dos grupos sejam colocadas nos triângulos azuis, e as respectivas somas ao centro de cada hexágono amarelo:

Como actividade de recreação matemática, esta situação poderia ser resolvida por tentativas:

Obviamente que em termos de sala de aula de matemática seria desejável que os alunos adicionassem esses seis termos da sequência, cujo valor é 56 e dividissem por dois para encontrarem o valor de cada metade, que é 28.

Ora, baseando-nos neste tipo de imagem, verifica-se que mantendo-se a média no valor 28, estes seis números triangulares permitem a constituição de outros pares de somas, em que cada uma delas continua a resultar da adição de três parcelas:

Note-se que as somas envolvidas nestas figuras são sempre pares.

Será que os restantes valores pares, agrupados segundo os seguintes pares ordenados [(22, 34); (20, 36); (18, 38); (16, 40); (14, 42); (12, 44); (10, 46); (8, 48); (6, 50)] permitem também casos de sucesso em figuras semelhantes às que acabo de mostrar? Será, certamente, uma investigação interessante a fazer-se...

O mesmo será dizer-se relativamente aos pares de números envolvendo somas ímpares, mas mantendo-se a mesma média de 28 valores. Use a figura seguinte para fazer este novo estudo:

Note-se a curiosidade de para o par de somas (19, 37) se conseguirem obter dois casos de sucesso:

É, pois, desafiador fazer-se o estudo para os restantes pares de somas ímpares e de média 28, usando-se apenas figuras semelhantes às anteriores, isto é, que envolvam três parcelas para cada soma.

Como tenho feito em outros artigos, este tema também permite múltiplas extensões.

Veja o exemplo de se sentir desafiado a dividir estes seis números triangulares em dois novos grupos, formado cada um por três elementos, de modo que uma soma seja o triplo da outra...

Uma vez mais, eis um possível caso de sucesso, envolvendo as somas 42 e 14:

Divida agora esses seis números, de modo a formar dois grupos cujas somas são dois números primos.

Se investigar este caso, provavelmente irá concluir que o número de termos envolvido em cada soma não será igual, o que obrigará a recorrer a outro tipo de figuras. Eis uma solução possível:

Conclui-se, pois, que este conjunto de números revela ter grandes possibilidades de exploração pedagógica.

Termino com o seguinte desafio: usar uma figura semelhante à anterior para se obterem duas somas em que uma é o quadrado da outra. 

O poder matemático das cartas

Agosto 19, 2008

Paulo Afonso

Muitos são os casos de recreação matemática que envolvem a utilização de um normal baralho de cartas. De facto, as cartas são um recurso muito interessante para o desenvolvimento do raciocínio lógico, bem como para ocupação lúdica de alguns momentos de lazer.

Veja-se o seguinte exemplo onde se pede para se encontrar uma explicação para esta enigmática magia (adaptada de Muñoz, 2006)*:

 

Divida um baralho de cartas (52 cartas) mais ou menos ao meio. De seguida, escolha apenas um dos dois montes obtidos, deixando o outro de parte. Conte as cartas do monte escolhido e adicione os algarismos desse número de cartas. Retire para cima da mesa tantas cartas quantas a soma agora obtida, observando apenas a última carta que sair. Junte agora todo o baralho, tendo em conta as seguintes regras: (a) a última carta saída vai ser colocada por baixo do restante monte de onde ela saiu, sempre viradas para baixo; (b) as cartas que saíram antes dela vão ficar por baixo dela, também viradas para baixo, bem como as restantes cartas que compõem o baralho.

À medida que for lendo a frase: ESTA É A CARTA QUE EU VI, vá retirando uma carta do baralho (uma por cada letra que ler), começando de cima para baixo, continuando as cartas voltadas para baixo. Após ter retirado todas as cartas afectas à leitura da frase, retire a próxima carta do baralho e certifique-se que é a que efectivamente tinha visto antes.

 

Transportando esta situação para a sala de aula, permite abordar o conceito de múltiplo de 9 ou o critério de divisibilidade de um número por 9. De facto, esta magia ocorre porque ao retirar-se de um número formado por dois dígitos (10a + b, correspondendo a cerca de metade das cartas), em que o das dezenas é 2 (a = 2), a soma desses dígitos (a + b), obtém-se um valor que é múltiplo de 9. De facto: 10a + b – (a + b) = 9a. Como no caso vertente, o a é 2, significa que o múltiplo de 9 que está em jogo é o 18. Ora, isto ocorre sempre que um número seja formado por dois dígitos, sendo 2 o dígito das dezenas.

Tendo presente este conhecimento matemático, facilmente se percebe o porquê da magia anterior ocorrer. Se se reparar, o número de letras envolvido na frase desta tarefa é 18. Como ficam por cima da carta seleccionada precisamente 18 cartas, ao retirar-se a próxima carta (19ª), fica identificada a carta que foi vista inicialmente. Como será o estudo para o caso do número de cartas de um dos montes oscilar entre os valores 30 e 39?

 

- Muñoz, José (2006). Ernesto, el aprendiz de matemago. Tres cantos: Nívola, 2ª Ed.

 

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