Relações aritméticas e pensamento algébrico
Novembro 09, 2009
Paulo Afonso
Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:
* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.
Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:
De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:
A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.
Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5 por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.
Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?
Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:
Nº da Coluna | Respectivo Valor Central |
1 | 1 |
2 | 3 |
3 | 7 |
4 | 13 |
5 | 21 |
... | ... |
n | ? |
Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!
Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:
12 - 0 = 1
22 - 1 = 3
32 - 2 = 7
42 - 3 = 13
52 - 4 = 21
Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n2 - (n - 1).
Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n2 - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.
A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!
Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).
A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:
Número da Coluna | Respectivo Valor Inicial |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 5 |
4 | 10 |
5 | 17 |
... | ... |
n | ? |
Note-se que:
1 = 12 - 2 x 1 + 2
2 = 22 - 2 x 2 + 2
5 = 32 - 2 x 3 + 2
10 = 42 - 2 x 4 + 2
17 = 52 - 2 x 5 + 2
Assim n2 - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).
Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?