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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Arrumação de ovos e números triangulares

Abril 13, 2009

Paulo Afonso

Aparentemente a simples tarefa de arrumar ovos na respectiva caixa não tem por trás uma grande preocupação matemática, pois arruma-se se houver espaço e não se arruma se o espaço não existir, isto é, se a caixa já estiver completa.

Numa caixa onde se pode arrumar meia dúzia de ovos permite a opção de se arrumar um único ovo em 6 posições distintas (A, B, C, D, E, F):

 

E no caso de se pretenderem arrumar 3 ovos? Quantas possibilidades existem?

Repare-se que utilizando-se as posições A e duas das outras, existem 10 possibilidades:

 

 

 

 

Contudo, os ovos podem ser arrumados usando-se a posição B e duas das restantes, excepto a posição A. Logo, há mais 6 possibilidades:

 

  

Por sua, vez, se os ovos forrem arrumados na posição C e em duas outras posições, excepto as posições A e B, originam-se mais 3 possibilidades de arrumação:

  

Por fim, usando-se a posição D, a E e a F, ainda surge uma outra possibilidade de se arrumarem os três ovos:

Em síntese, existem 20 possibilidades de arrumar três ovos numa vulgar caixa com capacidade para meia dúzia de ovos. Repare-se na curiosidade matemática de as possibilidades estudadas em função da posição inicial ser a A, a B, a C ou a D estarem associadas à sequência de números triangulares (..., 10, 6, 3, 1).

E se em vez de se pretenderem arrumar 3 ovos, fossem 4? Quantas possibilidades existem? Também têm relação com os números triangulares?

Optimizar a gestão do tempo através do auxílio da Matemática

Janeiro 19, 2009

Paulo Afonso

Nas mais variadas situações da vida quotidiana podemos ser confrontados com determinados desafios em que o recurso aos nossos conhecimentos matemáticos pode ser uma mais-valia para a sua resolução. O caso que escolhi para ilustrar esta ideia é bastante conhecido no seio da recreação matemática e poder-nos-á levar a reflectir acerca da expressão "nem sempre o que parece é"!

Imagine-se diante de um pequeno grelhador eléctrico com a capacidade para grelhar dois belos bifes em simultâneo. Sabendo que o grelhador demora cerca de cinco minutos a grelhar metade de um bife, qual o tempo mínimo necessário para grelhar três bifes? (Nota: parte-se do princípio que o tamanho dos bifes é mais ou menos igual e que basta a presença de dois deles em simultâneo para esgotar a capacidade do grelhador).

Um "olhar menos atento" perante este desafio levar-nos-ia a sugerir o tempo de 20 minutos para os três bifes estarem grelhados, pois os primeiros 5 minutos seriam gastos a grelhar metade de dois bifes, os 5 minutos seguintes seriam gastos a grelhar a outra metade destes dois bifes e, ficando um terceiro bife para grelhar, este implicaria o gasto de mais 10 minutos, pois cada lado demoraria 5. Feitas as contas: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 minutos.

Ora, se reflectirmos um pouco mais no desafio colocado, podemos poupar cerca de 5 minutos; senão vejamos: admitindo que podemos rotular teórica e respectivamente os lados de cada bife (A, B e C) por A1, A2, B1, B2, C1 e C2 e admitindo, também, que não há problema no facto de os bifes poderem sair e voltar a entrar no grelhador:

- 1º passo: A1 + B1 - gastos 5 minutos:

- 2º passo: A2 + C1 - gastos 5 minutos;

- 3º passo: B2 + C2 - gastos 5 minutos.

Com este procedimento gastar-se-iam, pois, só 15 minutos, havendo uma economia de 5 minutos relativamente a primeira resolução apresentada.

Repare-se que se a estratégia escolhida for a primeira, o tempo gasto para grelhar 5 bifes (A, B, C, D e E) será de meia hora. Se a escolha incidir nesta última estratégia optimizada, voltar-se-ão a poupar 5 minutos, pois:

- 1º passo: A1 + B1 - gastos 5 minutos;

- 2º passo: A2 + B2 - gastos 5 minutos;

- 3º passo: C1 + D1 - gastos 5 minutos;

- 4º passo: C2 + E1 - gastos 5 minutos;

- 5º passo: D2 + E2 - gastos 5 minutos.

O total de tempo gasto foi de apenas 25 minutos.

Ora, este desafio parece ser um pouco irreal, mas posso confessar que um amigo meu, que trabalhou numa pastelaria, recorreu a esta estratégia quando a sua máquina de fazer torradas ficou avariada numa das suas resistências. Tenho de acrescentar que, tal como o grelhador que é objecto destas palavras, também a sua torradeira admitia um máximo de duas torradas de cada vez. De facto, nas horas de maior afluência de pedidos, o que lhe valeu foi saber tirar partido dos seus vastos conhecimentos matemáticos, designadamente estes que são objecto desta minha reflexão.

Percebida esta estratégia, e voltando ao tema dos bifes, quantos serão grelhados se se gastar um tempo mínimo de  45 minutos, usando este tipo de grelhador (uma vez mais, tem de admitir-se que dois bifes esgotam a sua capacidade de grelhar).

Haverá alguma relação entre o número de bifes a grelhar e o tempo gasto no total?

Imagine um grelhador maior e mais potente, que tem a capacidade máxima de grelhar 11 bifes em simultâneo, com um gasto de 3 minutos em cada metade de um bife. Quanto tempo demorará, no mínimo, este grelhador a grelhar 56 bifes? 

Explorando matemática a partir do quotidiano

Dezembro 15, 2008

Paulo Afonso

A Matemática Recreativa pode recorrer a múltiplos aspectos do quotidiano das pessoas para a criação de actividades. Desde logo, as idades dos sujeitos, os mostradores de relógios, os calendários, a actividade de se fazerem compras, são apenas alguns exemplos, dos muitos que podem ser utilizados para esse fim. O exemplo que escolhi para ilustrar o tema deste artigo aborda os números colocados nas portas das casas das pessoas.

Imagine uma pequena rua, de uma determinada aldeia, cujo nome pode ser a rua da figueira, formada apenas por oito casas, cujos números das portas vão desde o número 1 ao número 8. Sabe-se que em cada casa existe uma criança, de idades compreendidas entre os nove e os treze anos, cujos nomes estão na figura seguinte:

Note-se a curiosidade de as raparigas morarem num dos lados da rua e os rapazes morarem no outro. Entretanto o Henrique, o mais velho das oito crianças fez o seguinte comentário: - Já repararam que quando eu adiciono o número da minha porta aos números de outras três casas, o resultado dá exactamente igual à soma dos números das outras quatro portas? O fascinante é que isso ocorre em quatro possibilidades diferentes. Quais são?

Como situação de recreação matemática, permite as seguintes soluções:

Caso A 8 + 7 + 2 + 1 = 18 3 + 4 + 5 + 6 = 18
Caso B 8 + 6 + 3 + 1 = 18 2 + 4 + 5 + 7 = 18
Caso C 8 + 5 + 4 + 1 = 18 2 + 3 + 6 + 7 = 18
Caso D 8 + 5 + 3 + 2 = 18 1 + 4 + 6 + 7 = 18

Esta situação, quando transportada para a sala de aula, deveria ser objecto da seguinte análise:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 e (a) 1 + 8 = 9; (b) 2 + 7 = 9; (c) 3 + 6 = 9; (d) 4 + 5 = 9, pelo que permite as seguintes associações:

(a) + (b) e (c) + (d) (1 + 8) + (2 + 7) (3 + 6) + (4 + 5)
(a) + (c) e (b) + (d) (1 + 8) + (3 + 6) (2 + 7) + (4 + 5)
(a) + (d) e (b) + (c) (1 + 8) + (4 + 5) (2 + 7) + (3 + 6)

 Além disto, decompondo o número 18 em quatro parcelas diferentes, em que uma é o 8, origina os seguintes quatro casos:

(a) 8 + 7 + 2 + 1; (b) 8 + 6 + 3 + 1; (c) 8 + 5 + 4 + 1; (d) 8 + 5 + 3 + 2, pelo que se confirmam as quatro soluções já anteriormente expostas:

Caso A

8 + 7 + 2 + 1 = 18

3 + 4 + 5 + 6 = 18

Caso B

8 + 6 + 3 + 1 = 18

2 + 4 + 5 + 7 = 18

Caso C

8 + 5 + 4 + 1 = 18

2 + 3 + 6 + 7 = 18

Caso D

8 + 5 + 3 + 2 = 18

1 + 4 + 6 + 7 = 18

Como extensão desta tarefa, poder-se-ia imaginar a intervenção da Ana dizendo que quando adicionava o número da sua casa ao de três outras, o resultado obtido era metade da soma dos números das outras quatro casas. A que casas se referia?

Este desafio implica que o valor total (36) seja dividido em três parte iguais (12). Juntando duas delas obtêm-se dois valores em que um é o dobro do outro (24 e 12, respectivamente). Ora, isto acontece nos seguintes dois casos:

Caso A 1 + 2 + 3 + 6 = 12 4 + 5 + 7 + 8 = 24
Caso B 1 + 2 + 4 + 5 = 12 3 + 6 + 7 + 8 = 24

Faça o estudo para o caso de um grupo de quatro casas originar uma soma que seja quatro quintos da soma do outro grupo de quatro casas. Quantas soluções consegue obter?

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