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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Teia numérica

Janeiro 02, 2013

Paulo Afonso

Este blog tem privilegiado tarefas que, de alguma forma, permitem mais do que uma possibilidade de solução. Tratam-se de tarefas abertas, suscetíveis de potenciarem o debate de ideias e o confronto de estratégias empregues por diversos resolvedores. As tarefas que selecionei para este novo artigo são um bom exemplo do que acabo de referenciar, pois desafiam o leitor na procura de mais do que uma solução. Observemos a figura seguinte:



Se pretendermos chegar ao círculo que tem o valor 10 inserido, partindo do círculo que tem o valor 2, quantas são as possibilidades de isso ocorrer tendo em conta a seguinte regra: só se pode avançar um círculo adjacente de cada vez, sempre na lógica de que o círculo selecionado em cada passo tem que ter um valor superior ao valor do cícrculo anterior.


A título de exemplo, um caminho possível será o seguinte 2 - 4 - 10.


Quantos caminhos mais poderá encontrar? Que somas diferentes se obtêm se se adicionarem os valores existentes nos círculos envolvidos em cada caminho?


Certamente que a resolução coincidirá com a que apresento a seguir, desde que se esgotem todas as possibilidades de associar estes números. Vejamos:


Valores envolvidosSoma obtida
a) 2 - 4 - 10 16
b) 2 - 6 - 10 18
c) 2 - 8 - 10 20
d) 2 - 4 - 6 - 10 22
e) 2 - 6 - 8 - 10 26
f) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 30


Existem, pois, seis possíveis caminhos para se chegar ao círculo de valor 10, começando no círculo de valor 2, de acordo com a regra imposta. 


Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem concluir, ainda, que no caso dos três caminhos envolvendo apenas três círculos, as somas obtidas são três valores pares consecutivos (16 18 e 20). Por outro lado, no caso dos dois caminhos envolvendo quatro círculos, as somas obtidas continuam a ser valores pares, mas a diferença entre elas passa para quatro pontos (22 e 26). Já a soma maior (30), proveniente do único caminho envolvendo cinco círculos, continua a ser um valor par e também é maior em quatro pontos, relativamente à maior soma anterior.


O esquema seguinte sintetiza as seis possibilidades de unir os círculos de valores extremos:



 

E se complexificarmos um pouco a figura inicial, acrescentando-lhe três novos valores? Vejamos...



Quais serão as possibilidades de chegar ao círculo de valor 16, iniciando pelo círculo de valor 2 e respeitando a regra anterior, isto é, podendo haver apenas movimentação para um círculo adjacente de valor superior? Qual a estimativa de somas diferentes que se vão obter, bem como o total de somas?


Neste caso, por ser mais complexo, sugiro a sua resolução por etapas. Inicialmente, o círculo com o valor 2 poderá dar o salto para o de valor 4, para o de valor 6 ou para o de valor 8. Sendo assim, iniciemos pelo primeiro destes três casos. A figura seguinte visa sistematizar o conjunto das 12 possibilidades de resposta para esse primeiro caso:




Analisando-se a figura anterior, eis as doze possibilidades de resposta, bem como as respetivas somas:


Valores envolvidosSoma obtida
a) 2 - 4 - 10 - 16 32
b) 2 - 4 - 6 - 10 - 16 38
c) 2 - 4 - 10 - 12 - 16 44
d) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 16  46
e) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 16 48
f) 2 - 4 - 12 - 14 - 16 48
g) 2 - 4 - 6 - 8 - 14 - 16 50
h) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 16 50
i) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 1658
j) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 14 - 16 62
k) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 14 - 16  64
l) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 1672

 

Como se pode constatar, a menor soma tem o valor 32 e a maior soma tem o valor 72. Além disso, existem dez somas diferentes.

Como serão as investigações em que se inicia (a) pelos círculos de valor 2 e 6 e, (b) pelos círculos de valor 2 e 8? Quais as respetivas somas mínimas e as respetivas somas de maior valor? Quantas somas diferentes existem para cada um desses dois casos?

Xavier e o pensamento algébrico

Outubro 07, 2012

Paulo Afonso

Em mais um gesto de pouca modéstia, venho aproveitar este espaço para divulgar a publicação do meu mais recente livro. Intitulado Xavier e o Pensamento Algébrico, este livro foi publicado pela Associação de Professores de Matemática (APM) e teve o seu lançamento no dia de ontem na bonita cidade de Coimbra, no Encontro Nacional de Professores de Matemática (ProfMat 2012).

 

 

Como o título sugere, trata-se de um livro que se dedica ao tema do Pensamento Algébrico. Trata-se de um tema atual no novo programa de matemática para o Ensino Básico em Portugal, pois, como refere a sua prefaciadora, Profª. Doutora Isabel Cabrita, da Universidade de Aveiro, "O desenvolvimento do pensamento algébrico constitui-se o principal objetivo que um dos quatros temas matemáticos que estrutura aquele programa - Álgebra - persegue".

 

O livro relata a relação de enorme cumplicidade cognitiva entre um aluno apaixonado pela Matemática - Xavier - e o seu professor de Matemática - Professor Artur. Durante 23 dias úteis de um determinado mês, o professor Artur, via e-mail, desafia o Xavier com situações matemáticas associadas a este tema, situações essas que o Xavier resolve com grande mestria!

 

Este livro visa comunicar com os seus leitores, pelo que contempla, para cada situação analisada, um desafio ao leitor.

 

Eis o índice do livro:

1 - Padrões de repetição e padrões de crescimento

2 - Quadrados cercados por números

3 - Dependência numérica - um caso de regularidades

4 - Conexões matemáticas e pensamento algébrico

5 - Pirâmides envolvendo números

6 - Regularidades envolvendo hexágonos numéricos

7 - Regularidades envolvendo medidas de capacidade

8 - Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos

9 - Sequências numéricas lacunadas

10 - Regularidades numéricas

11 - Relações aritméticas

12 - Das regularidades numéricas ao conceito do triângulo de Pascal

13 - Regularidades envolvendo quadrados coloridos

14 - À procura de generalizações

15 - Conexões matemáticas envolvendo polígonos regulares e as suas diagonais

16 - Explorando números ímpares

17 - Padrões numéricos confugurados geiometricamente

18 - Análise numérica de padões de natureza geométrica

19 - Regularidades envolvendo números quadrados

20 - Pentágonos em relação algébrica

21 - Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

22 - Somas cruzadas

23 - Cubos mágicos

 

Desejo votos de boas leituras e agurado pelo feedback dos meus eventuais leitores desse livro.

 

Dos pares ordenados ao pensamento algébrico

Setembro 01, 2012

Paulo Afonso

No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.

 

Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.

 

Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?

 

- O 1º termo de cada par ordenado é um múltiplo de dois, resultante da fórmula "2n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 0 e terminando no 5.

 

- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.

 

-  A soma de cada par ordenado obedece a uma regularidade: 15, 14, 13, 12, 11, 10.

 

- A diferença de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 15, 10, 5, 0, -5, -10.

 

- O produto de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 0, 24, 36, 36, 24, 0.

 

- A sua disposição num referencial cartesiano coloca-os segundo uma regularidade posicional:

 

 

- E essa regularidade pode ser definida por uma reta:

 

 

Qual será a função que descreve essa reta?

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula de Matemática os alunos pudessem investigar e propor uma explicação matemática para justificar que estes cinco pares ordenados de números se relacionam entre si, como atesta a reta que os une. De entre várias tentativas seria desejável que alguém propusesse adicionar o triplo do 1º termo do par ordenado ao dobro do respetivo 2º termo.

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 3 x 0 + 2 x 15 = 30

(2, 12) ----- 3 x 2 + 2 x 12 = 30

(4, 9) ----- 3 x 4 + 2 x 9 = 30

(6, 6) ----- 3 x 6 + 2 x 6 = 30

(8, 3) ----- 3 x 8 + 2 x 3 = 30

(10, 0) ----- 3 x 10 + 2 x 0 = 30

 

Logo, poder-se-ia concluir que os pares ordenados analisados obedecem à seguinte função matemática 3x + 2y = 30.

 

E se algum aluno sugerisse, por exemplo, adicionar o dobro do 1º termo de cada par ordenado com o triplo do respetivo 2º membro do par? Descobriria algo de matematicamente interessante?

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 2 x 0 + 3 x 15 = 45

(2, 12) ----- 2 X 2 + 3 X 12 = 40

(4, 9) ----- 2 X 4 + 3 X 9 = 35

(6, 6) ---- 2 X 6 + 3 X 6 = 30

(8, 3) ----- 2 X 8 + 3 X 3 = 25

(10, 0) ----- 2 x 10 + 3 x 0 = 20

 

Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.

 

Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?

À procura de regularidades

Junho 23, 2012

Paulo Afonso

Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.

 

O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:

 

 

O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:

 

  
   
  

  

 Vejamos cada caso: 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

4 + 5 + 6 + 7 = 22

 

7 + 8 + 1 + 2 = 18

 

 

2 + 3 + 4 + 5 = 14

 

 

5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

 

8 + 1 + 2 + 3 = 14

 

  3 + 4 + 5 + 6 = 18

 

  6 + 7 + 8 + 1 = 22

 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

  

 

Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:

 

10     22     18     14     26     14     18     22     10

 

Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?

 

Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:

 

 

As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes: 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

8 + 10 + 12 + 14 = 44

 

 

14 + 16 + 2 + 4 = 36

 

 

 

4 + 6 + 8 + 10 = 28

 

 

10 + 12 + 14 + 16 = 52

 

 

16 + 2 + 4 + 6 = 28

 

 

6 + 8 + 10 + 12 = 36

 

 

12 + 14 + 16 + 2 = 44

 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

 

Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:

 

20     44     36     28     52     28     36     44     20  

 

Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.

 

Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?

 

A figura inicial será a seguinte:

 

 

Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?

Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Conexões matemáticas envolvendo os números de fibonacci

Maio 12, 2012

Paulo Afonso

Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.

 

Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.

 

Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:

 

"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".

 

 

* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.

 

Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b) 1 + 1 + 1 + 2 = 5

c) 1 + 1 + 2 + 1 = 5

d) 1 + 2 + 1 + 1 = 5

e) 2 + 1 + 1 + 1 = 5

f) 1 + 2 + 2 = 5

g) 2 + 1 + 2 = 5

h) 2 + 2 + 1 = 5

 

Contudo, quando eu estava a tentar resolver a tarefa questionei-me acerca de quantas seriam as possibilidades de o gato subir a escada se a mesma só tivesse quatro degraus, ou três, ou dois, ou um degrau? Será que descobriria alguma regularidade? - pensei eu para mim mesmo.

 

Eis o resultado da minha investigação:

 

4 degraus - 5 casos possíveis3 degraus - 3 casos possíveis2 degraus - 2 casos possíveis1 degrau - 1 caso possível

a) 1 + 1 + 1 + 1 = 4

b) 1 + 1 + 2 = 4

c) 1 + 2 + 1 = 4

d) 2 + 1 + 1 = 4

e) 2 + 2 = 4

a) 1 + 1 + 1 = 3

b) 1 + 2 = 3

c) 2 + 1 = 3

a) 1 + 1 = 2

b) 2 = 2

a) 1 = 1

 

Ora, analisando o número de casos possíveis que fui conseguindo obter, depressa constatei que estava perante alguns números de  fibonacci: 1, 2, 3, 5 e 8. Em bom rigor estimei logo que seriam 13 casos possíveis se a escada tivesse seis degraus. Fiquei profundamente feliz por ver confirmada a minha conjetura:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

c) 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6

d) 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6

e) 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6

f) 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

g) 1 + 1 + 2 + 2 = 6

h) 1 + 2 + 1 + 2 = 6

i) 1 + 2 + 2 + 1 = 6

j) 2 + 2 + 1 + 1 = 6

k) 2 + 1 + 2 + 1 = 6

l) 2 + 1 + 1 + 2 = 6

m) 2 + 2 + 2 = 6

 

Claro está que esta situação poderia ser levada à sala de aula de matemática (porventura a partir de um 2º ano de escolaridade) como sendo uma potencial tarefa de investigação e seria desejável que os alunos pudessem analisar em conjunto o número de casos resultante para cada situação, de modo a poderem continuar a fazer previsões. Uma previsão seguinte seria o associar o próximo termo da sequência numérica de fibonacci a uma escada com mais um degrau do que o que acabei de descrever. Estaríamos, pois, a falar de 21 casos possíveis (8 + 13) para uma escada formada por 7 degraus.

 

Após a confirmação desta previsão seria interessante desafiar os alunos a responderem rapidamente a questões do tipo:

 

a) quantos degraus terá uma escada para que permita 55 formas diferentes de se poder subir?;

b) uma escada com dez degraus quantas formas diferentes existem de a poder subir?

 

Mas esta sequência numérica encerra outras surpresas, nomeadamente uma forte conexão a outra sequência numérica: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Qual poderá ser essa ligação forte?

 

Ora, esta tarefa carece de uma investigação cuidada, porque a única coisa que sabemos é que esta sequência deve resultar de operações matemáticas a exercer sobre os números de fibonacci.

 

Dependendo do tipo de resolvedor que se sinta desafiado por esta tarefa, espera-se que possa experimentar usar não a adição de dois números de fibonacci consecutivos mas, sim, o seu produto. Vejamos:

 

a) 1 x 1 = 1

b) 1 x 2 = 2

c) 2 x 3 = 6

d) 3 x 5 = 15

e) 5 x 8 = 40

f) 8 x 13 = 104

g)13 x 21 = 273

...

 

Confirma-se, pois, que cada termo da sequência numérica proposta para estudo resulta do produto de dois números de fibonacci consecutivos.

 

Sendo assim, qual será o décimo termo dessa sequência?

 

Esta tarefa torna-se, agora, fácil de resolver porque só teremos de identificar os 10º e o 11º números de fibonacci, porque a sua soma será a resposta à tarefa.

 

Vejamos:

 

Números fibonacci consecutivos

1 x 11 x 22 x 33 x 55 x 88 x 1313 x 2121 x 34 34 x 5555 x 89 
Produto126154010427371418704895 

 

Confirma-se, pois, que o produto do 10º número de fibonacci (55) com o 11º número de fibonacci (89) origina o 10º número (4895) da sequência em estudo.

 

Contudo, um outro resolvedor qualquer, num outro momento de resolução, pode propor adicionar os quadrados dos números de fibonacci de forma consecutiva, iniciando sempre no primeiro termo e acrescentando em cada adição o termo seguinte. Vejamos:

 

1 = 12

2 = 12 + 12

6 = 12 + 12 + 22

15 = 12 + 12 + 22 + 32

40 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52

104 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82

 

Logo, será legítimo testar se o próximo termo (273) será ou não a soma de 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132?

 

De facto, 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273.

 

Qual será a adição cuja soma é o valor 4895?

Dízimas infinitas periódicas enigmáticas

Abril 21, 2012

Paulo Afonso

O tema das dízimas infinitas periódicas já foi objeto de análise neste blog por ser um tema que pode servir de base a interessantes investigações matemáticas. Desta vez vou conectá-lo ao tema das regularidades numéricas e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

Para tal, começo por desafiar os meus leitores a investigarem se há algo de comum no conjunto das seguintes dízimas infinitas periódicas seguintes:

 

0,(142857)

0,(285714)

0,(428571)

0,(571428)

0,(714285)

0,(857142)

 

 

Provavelmente será fácil perceber-se que existe uma regularidade nos seis dígitos que compõem o período de cada uma das dízimas, pois são sempre os mesmos, mas dispostos em posições diferentes.

 

O desafio seguinte será o de se investigar para cada caso a fração que lhes dá origem.

 

Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem recorrer ao artifício matemático explorado neste blog sobre este assunto. A referência eletrónica do respetivo artigo é a seguinte: http://recreamat.blogs.sapo.pt/32824.html

 

Recorrendo a esse artifício vamos, passo a passo, descobrir a fração simplificada que dá origem à primeira dessas dízimas infinitas periódicas. Vejamos:

 

x = 0,(142857) <=>

<=> 1000000x = 142857,(142857) <=>

<=> 1000000x - x = 142857,(142857) - 0,(142857) <=>

<=> 999999x = 142857 <=>

<=> x = 142857 : 999999 <=>

<=> x = 15873 : 111111 <=>

<=> x = 5291 : 37037 <=>

<=> x = 1 : 7

 

Logo, a fração que dá origem à dízima infinita periódica 0,(142857) é 1/7.

Vamos fazer um procedimento idêntico para o caso da segunda dízima. Vejamos:

 

x = 0,(285714) <=>

<=> 1000000x = 285714,(285714) <=>

<=> 1000000x - x = 285714,(285714) - 0,(285714) <=>

<=> 999999x = 285714 <=>

<=> x = 285714 : 999999 <=>

<=> x = 31746 : 111111 <=>

<=> x = 10582 : 37037 <=>

<=> x = 2 : 7

 

Fica, pois, encontrada a fração 2/7 como origem da dízima infinita periódica 0,(285714). Ora, em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos descobrissem os restantes números racionais que originam as restantes dízimas infinitas periódicas:

 

0,(142857) = 1/7

0,(285714) = 2/7

0,(428571) = 3/7

0,(571428) = 4/7

0,(714285) = 5/7

0,(857142) = 6/7

 

Centremos agora a nossa atenção no período da primeira dízima: 142857. Multiplicando este valor por 7 origina-se o valor 999999. Contudo se o multiplicarmos por 14, o produto obtido já será 199998 e se o multiplicarmos por 21, o produto obtido será 2999997.

 

Tendo em conta estas três multiplicações, infira, sem recurso à operação inversa da multiplicação, qual o fator que se deve multiplicar pelo valor 142857 para se obter o produto 499995. Qual o raciocínio por si empregue?

 

E para o produto 6999993, qual o fator a multiplicar por 142857? Que regularidades podem ser detetadas neste conjunto de multiplicações?

 

Nota: Sobre este assunto aconselho uma leitura complementar no blog do meu colega e amigo José Filipe: http://maismat.blogspot.pt/2011/02/um-setimo.html

Do Futebol à Matemática

Abril 01, 2012

Paulo Afonso

Este blog contém vários artigos em que se demonstra que a Matemática não é uma ciência isolada, pois permite a conexão a múltiplas atividades do nosso quotidiano. Muitas são as vezes em que à Matemática também se pode chegar por outras vias do nosso dia-a-dia, como seja o mundo do Desporto, da Magia, da Cultura, etc.

 

Ora, o exemplo que escolhi para esta nova reflexão é-nos proposto por Eric Emmet, publicado em 2000 pela Gedisa Editorial*, numa reimpressão de uma primeira publicação em Castelhano de 1990.

 

O enunciado, adaptado para língua portuguesa, é o seguinte:

 

"Quatro equipas de futebol - A, B, C e D - vão jogar entre si uma vez. Após se terem realizado alguns - ou talvez todos - os jogos, pode-se conceber uma tabela como a seguinte, onde aparecem alguns aspetos dos jogos jogados, ganhos, perdidos, empatados, golos marcados, golos sofridos e pontuação" (Emmet, 2000. p. 33):

 

 

Complete a tabela na íntegra, sabendo que uma vitória vale dois pontos e um empate vale um ponto.

 

* - Emmet, E. (2000). Juegos de acertijos enigmaticos. Barcelona: gedisa Editorial.

 

Do ponto de vista matemático, este problema apela bastante ao raciocínio lógico, pois exige por parte do resolvedor o estabelecer de muitas relações entre as diversas variáveis em causa (número de jogos, resultados dos jogos, vitórias, empates, derrotas e pontuação). Além disto, permite o desenvolvimento da comunicação matemática na justificação das opções a tomar.

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula os alunos sentissem a força motivacional que a tarefa transporta consigo. Trata-se de algo enigmático, bastante motivador e com importantes pistas para que se possa iniciar o seu processo de resolução. Assim, vejamos que a equipa C ao ter dois pontos e não tendo qualquer vitória, só poderá ter empatado dois jogos. Por sua vez, a equipa D, ao não ter qualquer ponto, não terá conseguido vencer qualquer dos jogos em que esteve envolvida. Logo a tabela poderá começar a ser preenchida tendo em conta estes dois aspetos:

 

 

Em continuação o facto de a equipa ter empatado dois jogos, pelos dados da tabela só pode ter sido com as equipas A e B. Resta saber a razão pela qual a equipa B tem 5 pontos. Ora isto só pode ocorrer se esta tiver ganho à equipa D e à equipa A (2 + 2 pontos). Se à pontuação correspondente a estas duas vitórias (4 pontos) adicionarmos um ponto pelo empate com a equipa C, fica justificada a pontuação desta equipa B. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Tendo em conta a tabela anterior, concluímos, pois, que a equipa A tem, pelo menos, um empate com a equipa C e uma derrota com a equipa B. Por sua, vez, a equipa D tem, pelo menos, uma derrota - resultante do jogo com a equipa B. Por último, se a equipa C empatou com as equipas A e B, e a equipa D não tem vitórias, então aquela não tem qualquer derrota. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Neste momento nada sabemos sobre o que se passou entre as equipas A e D, pois elas podem ainda não ter jogado entre si (ficando a equipa A só com 1 ponto), ou a equipa A ter já derrotado a equipa D (ficando com 3 pontos). Logo, a partir deste ponto da resolução seria interessante fazer-se um estudo paralelo para estas duas opções acabadas de descrever. Vejamos ambos os cenários:

 

Cenário 1 - As equipas A e D ainda não terem jogado entre si:

 

 

 

Cenário 2 - A equipa A ter derrotado a equipa D:

 

 

 

Contudo, se com os dados que já temos formos preencher a coluna respeitante aos jogos, constatamos que o cenário 1 não faz sentido:

 

 

 

De facto, nunca a equipa B poderia já ter realizado três jogos e a equipa D só ter realizado um, pois, se assim fosse, não seria possível ocorrer o que se acabou de registar entre a equipa D e a equipa A. Logo, o cenário 1 terá de ser abandonado.

 

Vejamos como ficaria a tabela preenchendo-se a coluna dos jogos, no caso do cenário 2:

 

 

 

 

Ora, neste caso, concluímos que as equipas A e B já jogaram com todas as restantes e que ainda faltam defrontar-se as equipas C e D.

 

Neste momento já só falta descobrir os golos marcados pela equipa C e os golos sofridos pela equipa B. Contudo, uma vez que a equipa C só obteve empates, o número de golos marcados terá de coincidir com o número de golos sofridos:

 

 

 

Por sua vez, o total de golos marcados terá de ser igual ao total de golos sofridos, pelo que a equipa B terá sofrido 2 golos:

 

 

De facto, o somatório da coluna dos golos marcados coincide com o somatório da coluna dos golos sofridos: 13 golos. Logo, a tabela final fica com o seguinte aspeto:

 

 

Façamos uma extensão ao problema: Será possível prever o resultado de cada jogo realizado?

 

Em primeiro lugar convirá elencar tudo o que se sabe relativamente a cada equipa:

 

1 - A equipa D só obteve derrotas e sem qualquer golo marcado. Logo, nenhum dos seus dois adversários com quem já jogou  sofreu qualquer golo desta equipa. Por seu turno, quanto aos 3 golos sofridos, o que se sabe é que não foi a equipa C a marcá-los, porque estas duas equipas ainda não jogaram entre si.

 

2 - Os quatro golos sofridos pela equipa C foram marcados pelas equipas A e B. Por sua vez, os 4 golos que marcou também terão sido a estas duas equipas.

 

3 - Além dos golos marcados no empate da equipa B com a equipa C, aquela também terá marcado golos nas vitórias com as equipas A e D.

 

Sendo assim, um cenário possível para esta equipa B seria empatar a 2 golos com a equipa C, ganhar 1 a zero à equipa D e ganhar 2 a zero à equipa A. Se assim for, o outro empate da equipa C, desta vez com a equipa A, também terá de ser 2 a 2. Logo resta-nos a vitória da equipa A sobre a equipa D por 2 a zero:

 

 

Tendo em conta o mesmo autor, tente resolver um problema semelhante que ele coloca na página 36, cujos dados conhecidos são apenas os da tabela seguinte:

 

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

União de Blogs de Matemática

Março 11, 2012

Paulo Afonso

Serve o presente post para valorizar e divulgar uma excelente iniciativa, designada por União de Blogs de Matemática, existente nesta rede global que é a Internet.

 

Tomo a liberdade de citar o texto, extraído do seguinte site: http://obaricentrodamente.blogspot.com/2011/03/uniao-dos-blogs-de-matematica.html que justifica esta iniciativa, pois quantos mais aderirmos a ela, melhores serão os recursos para a aprendizagem matemática dos estudantes.

 

O texto é o seguinte:

 

 

 

"Sabemos que a matemática é fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, que auxilia no processo de construção do conhecimento e desenvolve a autonomia do raciocínio e da criação de soluções das mais variadas situações problema. Neste contexto, esperamos que o uso da internet crie situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos, auxiliando neste aprendizado contínuo da matemática.

 

Com esta ideia, criamos o a União dos Blogs de Matemática (UBM), um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.

Além disso, o blog possui um pequeno estatuto, uma página com a descrição de todos os blogs filiados e também dicas para melhorar o seu blog.
 
Para filiar-se é muito simples, basta ter um blog de Matemática com publicações periódicas, ser um seguidor da UBM, cumprir os estatuto e escolher e adicionar o banner da UBM (click aqui) a sua escolha.
Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática de forma gratuita e interessante na internet. Para saber mais visite a UBM (http://ubmatematica.blogspot.com/)."
 
Espero que aderiam a esta iniciativa, pois eu não espero nem mais um minuto para o fazer!

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