Saltar para: Posts [1], Pesquisa [2]

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Utilizar o minicomputador papy para fazer divisões

Dezembro 21, 2009

Paulo Afonso

Encerro a minha reflexão acerca do minicomputador papy, apresentando a sua utilidade para o cálculo de divisões exactas.

Este material pode ser utilizado para este efeito, pois parte-se do pressuposto que conseguir-se-á obter tantas marcas nas células quanto o valor do divisor. Analisemos o exemplo da divisão de 62 por 2:

Comecemos por representar a quantidade 62:

 

De seguida teremos que ir convertendo cada marca em duas, pois é esse o valor do divisor. Iniciemos a conversão do grupo de 40 em dois grupos de 20:

Por sua vez, um dos grupos de 20 deve ser convertido em duas marcas de 10:

Assim, na ordem das dezenas já só temos células com duas marcas, como é desejável. Passemos agora à ordem das unidades. A marca de valor 2 deve converter-se em duas marcas de valor 1 cada:

Terminada a conversão das marcas, no calculador papy apenas já só existem marcas aos pares, como era pretendido: 

Pode-se agora identificar o quociente desta divisão, que é o valor 31:

Qual será o quociente de 78 por 3?

Comecemos por representar a quantidade 78:

De seguida, a marca que vale 40 deve ser convertida em duas de 20:

Por sua vez, a marca que vale 10 deve ser convertida em 8 + 2:

Uma das marcas de valor 8 deve converter-se em duas de valor 4:

O mesmo deverá ocorrer com a outra marca de valor 8:

Uma dessas marcas de valor 4 deve converter-se em duas de valor 2 cada:

Eis que o resultado final já só contempla três marcas nas células:

Logo, o resultado final será 26:

Como utilizar este computador para a divisão de 75 por 2?

Multiplicar com o minicomputador papy

Dezembro 14, 2009

Paulo Afonso

Depois dos três artigos anteriores dedicados sempre ao minicomputador papy, eis que o vou explorar agora para o caso da operação multiplicação. A melhor forma de o fazer é usar um exemplo.

Imaginemos que pretendíamos encontrar o triplo de 33. Como fazê-lo com este material estruturado?

A primeira coisa a fazer será registar o valor 33:

De seguida como se pretende multiplicar este valor por 3, então dever-se-á multiplicar por esse valor (3) cada uma das marcas já existentes no minicomputador papy:

Por fim, ter-se-á que analisar se a quantidade de marcas em cada célula respeita as regras de utilização deste material. Como referi nos artigos anteriores, em cada célula só poderá haver uma marca no máximo. Sendo assim, duas das marcas na casa branca da ordem das unidades, valendo cada uma um ponto, deverão originar uma marca de valor dois, a colocar na célula vermelha:

Logo, na célula branca só fica uma marca. De seguida, cada duas marcas da célula vermelha (valendo 2 + 2) deverão originar uma marca de valor quatro, a colocar na célula rosa:

Na célula vermelha da ordem das unidades não ficará qualquer marca e as duas marcas da célula rosa, valendo 4 + 4, deverão ser substituídas por uma marca de valor 8, a coloca na célula castanha:

Após estas movimentações das marcas na ordem das unidades, resulta nesta ordem apenas uma marca na célula castanha e outra na célula branca, representando, pois, a quantidade 9.

Façamos um processo análogo para o caso das ordem das dezenas:

 

Vejamos que na ordem das dezenas também só ficou uma marca na célula castanha, representando a quantidade 80 e outra na branca, representando a quantidade 10. Assim, o resultado final é 99, isto é, o triplo de 33 é 99:

Como usar este material para o caso de se pretender obter o produto de 765 por 2? 

Utilizar o minicomputador papy para a realização de subtracções

Dezembro 07, 2009

Paulo Afonso

Nos dois artigos anteriores tive a oportunidade de reflectir acerca da utilização do minicomputador papy tanto no registo de qualquer quantidade inteira, como na realização de adições envolvendo ou não transporte.

Desta vez irei evidenciar a sua importante utilização para o cálculo de subtracções com e sem empréstimo.

Vejamos o exemplo simples de se obter o resto, excesso ou diferença de 67 menos 25.

Porque o conceito de subtracção pressupõe que o aditivo vá anulando o subtractivo para que haja resto, excesso ou diferença, então teremos de recorrer a dois tipos de marcas diferentes: as do aditivo serão negras e as do subtractivo serão brancas. Na linha respeitante ao resto, excesso ou diferença começaremos por colocar a totalidade das marcas envolvidas na subtracção. vejamos a figura explicativa:

Repare-se que no resto, excesso ou diferença existem três células com os dois tipos de marcas. Logo, podem anular-se. Vejamos a figura:

Consta-se, pois, que o resultado desta subtracção é 42. De facto, 67 - 25 = 42. Assim, o esquema final será este:

Como será o caso de 67 - 35?

Façamos o esquema inicial:

Note-se que já podemos anular as marcas em três células. Contudo ainda fica uma marca do subtractivo por anular. Logo teremos de arranjar uma maneira de uma das marcas negras, colocada a representar um valor maior do que esssa marca branca, se transformar em marcas que lhe deram origem, para que se possa proceder à anulação da marca branca. Ora sabemos que a marca situada na célula dos "quarenta" se pode converter em duas marcas na célula dos "vinte". façamos esta conversão:

 

De seguida desaparece do minicomputador papy a marca dessa célula dos "quarenta" e uma das marcas da célula dos "vinte" terá de converter-se em duas marcas na célula das dezenas. Façamos esta nova conversão:

Fica, então, apenas uma marca na célula dos "vinte" e já podemos proceder à anulação da marca branca através de uma das duas marcas negras que passaram a existir na célula das dezenas. Façamos, pois, esta anulação:

Em síntese, o resto, excesso ou diferença desta subtracção é, pois, o valor 32. De facto, 67 - 35 = 32. O esquema final é, então, o seguinte:

Concluimos, assim, que este material estruturado pode ter muita utilizade na realização de subtracções simples, onde não haja a necessidade de envolver o conceito do empréstimo. Contudo, como poderá utilizar-se este material para a seguinte subtracção: 67 - 19?

Façamos o esquema inicial:

Constata-se que em apenas uma célula é possível fazer uma anulação de imediato:

A marca que vale 20 tem de se converter em duas de valor 10 devido à marca branca que está situada na célula dos grupos de dez:

Pode-se agora anular essa marca branca:

De seguida, a marca negra que ainda existe na célula dos grupos de dez terá de ser convertida em 8 + 2, devido à marca branga que vale 8:

Anulemos, então, a última marca branca:

Após a anulação de todas as marcas brancas convém ver se o que resta pode ficar como está ou se ainda carece de alguma alteração. Eis o que resta:

Ora, como sabemos que uma célula só pode ter uma carca de cada cor, significa que as duas marcas na célua do 2 terão de originar uma nova marca na célula do 4. Vejamos o esquema:

Por sua vez, ao haver algora duas marcas na célula do 4 deverão originar uma marca n acélula do 8:

Logo, o esquema final terá como rexultado o valor 48. De facto, 67 - 19 = 48. Eis o esquema final:

 

Teste, agora, este material na seguinte subtracção: 125 - 66.

Adicionar utilizando o minicomputador papy

Novembro 30, 2009

Paulo Afonso

Tal como prometido no artigo anterior, vou voltar a reflectir acerca do importante material manipulativo para o ensino-aprendizagem da Matemática - o minicomputador papy. Desta feita irei explorá-lo para o cálculo aritmético elementar envolvendo adições com e sem transporte.

Vejamos um primeiro caso de adição sem transporte em que se pretende calcular a soma de 65 com 32. Comecemos por representar a primeira parcela (65):

Vejamos agora a outra parcela (32):

O procedimento a seguir é colocar numa terceira linha, a da soma, todas as marcas existentes nas linhas afectas às parcelas. Assim, o esquema inicial será este:

Como vimos no artigo anterior, cada célula de cada calculador papy só pode ter uma marca. Logo, enquanto que na ordem das unidades não há alterações a fazer, na ordem das dezenas teremos de movimentar algumas marcas. As duas marcas na "célula dos vinte" originam uma nova marca na "célula dos quarenta". Como aí já existe uma marca, então as duas marcas do quarenta originarão uma marca na "célula dos oitenta". Vejamos o esquema explicativo:

Logo, a resolução correcta seria a seguinte:

Vejamos, pois, que 65 + 32 = 97.

Testemos este material para uma adição com transporte. O exemplo poderá ser o seguinte: 67 + 44.

Eis as parcelas e a deslocação das marcas dessas paracelas para a soma:

Vejamos, agora, as movimentações necessárias:

Explicação:

4 + 4 = 8

8 + 2 = 10

40 + 40 = 80

80 + 20 = 100

Logo, o resultado final é 111:

 

Imagine-se, agora, numa situação de recreação matemática a tentar usar este material estrururado para o cálculo da soma de 345 + 256. Qual o seu procedimento?

Registar os números inteiros com o minicomputador Papy

Novembro 23, 2009

Paulo Afonso

Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:

Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.

Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:

Quantidade 1 Quantidade 2 Quantidade 4 Quantidade 8

Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:

3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 9 = 1 + 8

Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:

Quantidade 10 (10 + 0) Quantidade 12 (10 + 2)

Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?

A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:

Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?

Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:

1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:

Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:

Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:

 

 Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:

 

Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:

Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:

Eis o resultado final de 203 ovelhas:

Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte:

Faça uma resolução do mesmo tipo para a seguinte disposição incorrecta de marcas:

Mais sobre mim

foto do autor

Subscrever por e-mail

A subscrição é anónima e gera, no máximo, um e-mail por dia.

Arquivo

  1. 2013
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2012
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2011
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2010
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2009
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2008
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"