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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dependência numérica - um caso de regularidades

Setembro 17, 2010

Paulo Afonso

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, puzzles ou tarefas de investigação que impliquem uma avaliação permanente durante o próprio processo de resolução e não apenas ao fim, após a obtenção de uma eventual solução.

 

Ora no final do meu período de férias de Verão tive a oportunidade de visitar a sede da Associação de Professores de Matemática em Lisboa (APM) e deparei-me com uma caixinha cúbica colorida que me despertou, de imediato, a atenção. Associada à sugestiva caixa estava um título que também contribuiu decisivamente para a sua aquisição: "Génio da Matemática - descubra o prazer da Matemática" do autor Charles Phillips.

 

Num breve resumo acerca do conteúdo da caixa podia ler-se "A matemática é divertida - e os quebra-cabeças são óptimos para aprender os seus fundamentos [...]". Claro está que não hesitei em adquirir esta enigmática caixa. Ao sair da sede, a primeira coisa que fiz no carro foi abrir a caixa para saber qual era o seu conteúdo. Eis que encontrei um exemplar das Torres de Hanói e um mini-livro com cerca de 100 problemas, todos eles muito ricos em termos desta área do saber, que é a Matemática Recreativa.

  

De vários problemas que despertaram a minha curiosidade, escolho para reflexão o problema 35, existente na página 78 desse precioso livrinho. Vejamos a imagem seguinte:

 

 

O objectivo do problema é o de se colocarem nas células vazias os números inteiros de 4 a 9, inclusive, mas tendo em conta as seguintes condições:

1- Não pode haver números repetidos;

2 - Ter-se-ão que adicionar cada par de números adjacentes na vertical e na horizontal e não pode haver somas repetidas.

 

Ora, como o leitor terá a oportunidade de experimentar, trata-se de um desafio muito interessante, pois possibilita mais do que uma solução. Além disto incute no resolvedor a necessidade permanente de fazer verificações durante todo o processo de resolução, pois as duas condições prévias a isso obrigam.

 

Eis uma solução possível:

 

 

Verificando cada soma, temos os seguintes resultados:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 5 + 6 = 11

d) 6 + 7 = 13

e) 4 + 8 = 12

f) 8 + 9 = 17

a) 1 + 5 = 6

b) 5 + 4 = 9

c) 2 + 6 = 8

d) 6 + 8 = 14

e) 3 + 7 = 10

f) 7 + 9 = 16

 

Constata-se, pois, que não há somas repetidas e, além disto, todos os números inteiros do 1 ao 9 constam na figura.

 

Como referi anteriormente, trata-se de uma situação que não pode ser resolvida sem que haja verificações permanentes durante o processo de resolução. De facto, a estratégia da tentativa e erro, só por si, não será uma estratégia muito válida, pois carece de várias tomadas de decisão por parte do resolvedor, uma vez que tem de ter em linha de conta as dezasseis somas em simultâneo.

 

Porque sou muito curioso e tenho por hábito extrapolar as situações de que gosto de resolver a outros contextos, pensei para mim próprio se o desafio fosse colocado tendo em conta exclusivamente os nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17). Desafiei-me, então, com a seguinte figura:

 

 

 

Depois de algum tempo dedicado à resolução, com muitos avanços e recuos, lá descobri uma possível solução:

 

 

Realizando a confirmação final, eis as dezasseis somas obtidas:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 3 = 5

b) 3 + 5 = 8

c) 9 + 11 = 20

d) 11 + 13 = 24

e) 7 + 15 = 22

f) 15 + 17 = 32

a) 1 + 9 = 10

b) 9 + 7 = 16

c) 3 + 11 = 14

d) 11 + 15 = 26

e) 5 + 13 = 18

f) 13 + 17 = 30

 

Continuando a apelar ao meu sentido indagador procurei investigar se haveria algum aspecto comum às duas resoluções e, de imediato, apercebi-me que a colocação dos valores nas células dependia de um padrão, que é o seguinte:

 

 

De facto, o menor dos valores estava sempre colocado na célula superior esquerda e o maior deles ocupava sempre a célula inferior direita. Além disto, a linha de cima continha sempre os três menores valores de cada sequência numérica, aumentando da esquerda para a direita. o mesmo se passava na segunda linha, com interrupção do 4º elemento cuja posição era sempre a da quadrícula inferior esquerda. Por fim, entre este valor e o mais elevado ficava sempre o 8º valor.

 

Como consequência imediata desta constatação, quis testar esta regularidade com os nove primeiros números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18). Foi então que sem qualquer tipo de esforço mental me limitei a distribuir estes nove valores nas respectivas posições da nova figura. Eis o resultado:

 

 

Uma vez mais, confirma-se a regularidade ou padrão numérico identificado, pois as dezasseis somas foram todas diferentes:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 2 + 4 = 6

b) 4 + 6 = 10

c) 10 + 12 = 22

d) 12 + 14 = 26

e) 8 + 16 = 24

f) 16 + 18 = 34

a) 2 + 10 = 12

b) 10 + 8 = 18

c) 4 + 12 = 16

d) 12 + 16 = 28

e) 6 + 14 = 20

f) 14 + 18 = 32

 

Por fim fui consultar a solução que o autor apresentava para o desafio colocado e constatei que era diferente do que eu tinha obtido:

 

 

Note-se que a disposição dos números já não obedece ao mesmo padrão anterior. Por isso desafio cada leitor a descobrir o novo padrão e a testá-lo também com os primeiros nove números ímpares e, depois, com os primeiros nove números pares.

Pensamento algébrico

Outubro 15, 2009

Paulo Afonso

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.

Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

b) 1, 8, 27, 64, ... 

c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:

Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.

Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:

1

3          5

7          9          11

13          15          17          19

...

Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?

Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.

Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.

Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3 números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.

Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.

Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.

Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.

Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?

Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte: 

 Nº da fila  Último número da fila
 1  1
 2  5
 3  11
 4  19
 ...  ...

Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:

1 = 1 x 2 - 1

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 11

19 = 4 x 5 - 1

Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.

Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.

Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?

2

4          6          8

10          12          14          16          18

20          22          24          26          28          30          32

...

Actividade numérica com exploração alargada

Junho 15, 2009

Paulo Afonso

Escolher para actividade de recreação matemática tarefas que permitem uma exploração pouco orientada costuma seduzir os resolvedores, pois nunca sabem se o desafio colocado já está totalmente resolvido após algum tempo dedicado à sua exploração.

Actividades deste tipo suscitam, pois, muito envolvimento por parte dos resolvedores.

O exemplo que escolhi para abordar este tema passa por se compararem as duas figuras seguintes e estabelecer o máximo de paralelismos ou semelhanças entre elas:

Uma primeira conclusão poderia ser a que diz respeito ao tipo de números existentes nos círculos. Em ambas as figuras esses números são ímpares e consecutivos. A única diferença a este nível é que a sequência numérica na figura da esquerda começa no 1 e a da figura da direita começa no 3.

Outra semelhança existente entre estas duas figuras é a seguinte: tendo em conta a figura triangular limitada no 1º caso pelos números 1, 7 e 11, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 70 (9 + 17 + 19 + 25). Por sua vez, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 3, 13 e 17, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 126 (19 + 31 + 35 + 41). Por fim, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 5, 15 e 19, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 150 (25 + 37 + 31 + 47). Observando, agora, a outra figura, as três figuras triangulares respectivas à análise anterior originam somas maiores do que elas em 24 unidades. Vejamos:

A - 15 + 23 + 25 + 31 = 94. Repare-se que 94 = 70 + 24.

B - 25 + 37 + 41 + 47 = 150. Repare-se que 150 = 126 + 24.

C - 31 + 43 + 47 + 53 = 174. Repare-se que 174 = 150 + 24.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos conjecturassem que a próxima figura, iniciada pelo número 5, originaria somas maiores que as da 2ª figura, também em 24 unidades.

Eis a figura seguinte:

Vejamos as somas neste caso:

A - 21 + 29 + 31 + 37 = 118.

B - 31 + 43 + 47 + 53 = 174.

C - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

Confirma-se, pois, a conjectura anterior, uma vez que:

A - 118 = 94 + 24.

B - 174 = 150 + 24.

C - 198 = 174 + 24.

As três figuras anteriores permitem a obtenção de algumas conclusões, que apresento na tabela seguinte:

Figura triangular começada no número:
  Soma Menor Soma intermédia Soma maior
1 70 (70 + 0 x 24) 126 ( 126 + 0 x 24) 150 (150 + 0 x 24)
3 94 (70 + 1 x 24) 150 (126 + 1 x 24) 174 (150 + 1 x 24)
5 118 (70 + 2 x 24) 174 (126 + 2 x 24) 198 (150 + 2 x 24)

Tendo em conta os dados da tabela anterior é possível estimar as somas respectivas da próxima figura semelhante a estas, isto é, a que se inicia pelo próximo número ímpar - 7:

  Soma menor Soma intermédia Soma maior
7 70 + 3 x 24 = 142 126 + 3 x 24 = 198 150 + 3 x 24 = 222

A figura seguinte confirma a estimativa acabada de fazer:

De facto:

A - 27 + 35 + 37 + 43 = 142.

B - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

C - 43 + 55 + 59 + 65 = 222.

Confirmadas estas estimativas, seria interessante que os alunos conseguissem definir o termo geral desta regularidade numérica. Assim, para um qualquer número ímpar "n", as leis gerais para cada um dos três casos são as seguintes:

  Soma menor Soma intermédia Soma maior
n 70 + (n - 1) : 2 x 24 126 + (n - 1) : 2 x 24 150 + (n - 1) : 2 x 24

Tendo em conta esta generalização, como proceder para saber rapidamente as somas envolvidas numa nova figura iniciada pelo número ímpar 21? Além disto, quais a maior das nove somas dos triângulos unitários?:

Sequências numéricas lacunadas

Abril 27, 2009

Paulo Afonso

Ao nível da recreação matemática é vulgar assistirmos à apresentação de sequências numéricas em que nos é solicitado que as continuemos ou que descubramos as leis gerais que, matematicamente, as suportam.

Um exemplo ilustrativo do que acabo de referir é a tarefa seguinte, que visa a descoberta dos números que faltam:

 

36     __     52     60     __

 

Esta tarefa pode ser facilmente resolvida, pois, o par de números 52 e 60 dá-nos a pista de que os números estão dispostos segundo um progressão aritmética de razão 8, com início no valor 36.

Esta constatação permite que associemos a primeira lacuna ao valor 44 e a última ao valor 68, pois, 44 = 36 + 8 e 68 = 60 + 8.

Em situação de sala de aula seria interessante que os alunos descobrissem a lei geral desta sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que apresento a seguir:

1º termo             -     36 = 36 + 0 x 8

2º termo             -     44 = 36 + 1 x 8

3º termo             -     52 = 36 + 2 x 8

4º termo             -     60 = 36 + 3 x 8

5º termo             -     68 = 36 + 4 x 8

...

nésimo termo     -     T   = 36 + (n - 1) x 8 

Tendo em conta esta lei geral, facilmente podemos obter um qualquer número desta sequência, pois o valor em causa resulta da adição do número 36 com o produto da posição que esse número ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 8.

A título de exemplo, o 11º termo desta sequência numérica é o 116, pois 116 = 36 + (11 - 1) x 8.

Analisando um pouco mais esta sequência de números, também se constata que cada um é a soma de oito números consecutivos. Veja-se o caso dos três primeiros números da sequência:

Confirma-se que 36 é o resultado da adição dos oito primeiros números naturais; 44 é a soma de oito números naturais, iniciados pelos valor 2, e o 52 também resulta da adição de oito números naturais, iniciados pelor valor 3.

Tendo em conta este novo padrão ou regularidade, poder-se-ia pensar quais seriam os oito números naturais consecutivos, cuja soma fosse 100:

Ora, igualando a lei geral [36 + (n - 1) x 8] a 100, descobre-se para "n" o valor 9. Logo, o início da sequência numérica será o número 9. De facto, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16:

O que acontecerá se os números utilizados forem apenas os números ímpares?

Vejamos os três primeiros exemplos:

Neste caso, a identificação da lei geral dos números envolvidos nas somas passa pelo seguinte raciocínio:

1º termo             -     65 = 64 + 0 x 16

2º termo             -     80 = 64 + 1 x 16

3º termo             -     96 = 64 + 2 x 16  

...

nésimo termo     -     T   = 64 + (n - 1) x 16

Quais serão so oito números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 160?:

Experimente fazer, também, um estudo para o caso dos números pares e tire as respectivas conclusões.

Explorando hexágonos regulares

Janeiro 26, 2009

Paulo Afonso

À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: www.maismat.blogspot.com. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:

Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?

Por tentativas a resposta poderá ser a seguinte:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem associar este desafio ao conceito de média aritmética, que neste caso é o valor 4, pois o total (28) a dividir pelo número de elementos da sequência numérica (7) origina esse valor.

Contudo, caso os alunos ainda não estejam na posse desse conceito, podem ser levados a concluir que a sequência numérica é susceptível de ter a seguinte interpretação:

- O valor central é o 4.

- 1 + 7 = 8.

- 2 + 6 = 8.

- 3 + 5 = 8.

Logo, a soma da linha vertical e de cada linha oblíqua, de três parcelas, seria sempre 12, pois 4 + 8 = 12.

Tendo em conta o raciocínio anterior, os alunos também poderiam ser desafiados a realizar tarefas semelhantes para os dois casos seguintes: (a) sequência numérica composta pelos sete primeiros números ímpares e (b) sequência numérica composta pelos sete primeiros números pares.

Eis as possíveis soluções:

NÚMEROS ÍMPARES NÚMEROS PARES
SOMA MÁGICA --- 21 SOMA MÁGICA --- 24

De facto, uma possível explicação passa pelos esquemas seguintes: 

Pense, agora, em como distribuir os sete primeiros números naturais de modo a que a soma dos três valores centrais, indicados pela seta, seja a terça parte da soma dos quatro valores envolvidos nas linhas oblíquas acima e abaixo dessa linha central:

Fazendo-se o estudo, equivale a encontrar-se uma soma para a linha central que é a terça parte da soma envolvendo os restantes quatro números dos quatro restantes hexágonos. Por outras palavras, a soma desses quatro valores tem de ser um valor que é triplo do valor da soma da linha central. Por outro lado sabemos que o total dos sete números implica uma soma de 28. Logo, basta resolver-se a seguinte igualdade: 3x + x = 28 para se saber o valor da soma da linha central, que é 7. Consequentemente, a soma dos outros quatro valores terá de ser 3 x 7 = 21. 

Ora, o valor 7 só pode ser obtido através das seguintes parcelas: 1, 2 e 4, pois 1 + 2 + 4 = 7.

Já o valor 21 pode ser decomposto em 10 + 11, que é, respectivamente, (7 + 3) e (6 + 5). Por outro lado também pode ser decomposto em 9 + 12, que é, respectivamente, (6 + 3) e (7 + 5). Logo, os dois casos de resolução correcta são os seguintes:

Um estudo semelhante a este pode ser feito para o seguinte desafio: As duas figuras seguintes são uma mesma e usando apenas os sete primeiros números naturais procure distribuí-los nos sete hexágonos de modo a que a soma das duas linhas centrais seja sempre a mesma e igual à soma dos valores dos restantes quatro hexágonos:

Eis duas possíveis resoluções: 

Haverá mais alguma solução? Encontre-a, justificando o seu raciocínio.

A terminar esta reflexão distribua os dezanove primeiros números naturais nos seguintes dezanove hexágonos, de modo a que a soma de quaisquer hexágonos adjacentes (3, 4 ou 5), perfazendo uma linha completa, seja sempre 38. Repare que alguns desses números já se encontram na posição correcta:

Explorando números ímpares

Novembro 12, 2008

Paulo Afonso

As seguintes figuras geométricas são formadas por vários triângulos. O número de triângulos existentes em cada fila é sempre ímpar:  

Continuando o padrão geométrico anterior, quantos triângulos formarão a décima figura?

Como actividade de recreação matemática, os resolvedores poderão resolvê-la através do desenvolvimento do  seguinte padrão numérico:

Figuras

Nº de triângulos envolvidos na sua construção

                                                   1

                                                   4 = 1 + 3

                                                   9 = 4 + 5

                                                 16 = 9 + 7

                                                 25 = 16 + 9

                                                 36 = 25 + 11

                                                 49 = 36 + 13

                                                 64 = 49 + 15

                                                 81 = 64 + 17

10ª

                                               100 = 81 + 19

Contudo, em contexto de sala de aula, os alunos terão que ser levados a concluir que o número de triângulos existentes em cada figura triangular coincide com o respectivo número da sequência de números quadrados, cuja lei de formação é n2, sendo n um número natural.

Sendo assim, para se encontrar de imediato o número de triângulos envolvidos numa destas figuras quaisquer, basta elevar ao quadrado o número de ordem dessa figura.

Centrando a nossa atenção nos números quadrados, podemos concluir, pois, que todos eles resultam da adição de números ímpares consecutivos:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Por sua vez, cada um desses valores pode ser obtido através das mesmas parcelas, mas agrupadas de forma diferente da anterior:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + ( 1 + 5)

16 = (1 + 5) + ( 3 + 7)

25 = (3 + 7) + ( 1 + 5 + 9)

36 = (1 + 5 + 9) + ( 3 + 7 + 11)

49 = (3 + 7 + 11) + (1 + 5 + 9 + 13)

...

Se a nossa atenção passar a incidir sobre os valores das somas parcelares que originam os números quadrados, verificaremos que os valores envolvidos são os seguintes:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + 6

16 = 6 + 10

25 = 10 + 15

36 = 15 + 21

49 = 21 + 28

...

Ora, como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, os valores 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... fazem parte da fantástica sequência de números triangulares, pois originam as seguintes figuras:

Destas observações conclui-se, pois, que qualquer número quadrado também resulta da adição de números triangulares consecutivos, cuja lei geral é (n2 + n) : 2.

Voltando aos números ímpares, os mesmos podem sem escritos da seguinte forma:

1

3 + 5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 29

...

Nestas circunstâncias, a soma em cada linha também origina um regularidade ou padrão muito interessante:

1

8

27

64

125

...

Trata-se da sequência dos números cúbicos, de lei geral n3, pois:

1 = 13

8 = 23

27 = 33

64 = 43

125 = 53

...

Perante este padrão como poderia resolver a seguinte situação problemática: "Quais os números ímpares consecutivos cuja soma origina o décimo número cúbico?"

Sugestão: associe a ordem de cada número cúbico ao número de parcelas de números ímpares que irá usar, bem como à forma como vários números ímpares consecutivos se relacionam entre si.

 

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