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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Conexões matemáticas envolvendo os números de fibonacci

Maio 12, 2012

Paulo Afonso

Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.

 

Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.

 

Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:

 

"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".

 

 

* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.

 

Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b) 1 + 1 + 1 + 2 = 5

c) 1 + 1 + 2 + 1 = 5

d) 1 + 2 + 1 + 1 = 5

e) 2 + 1 + 1 + 1 = 5

f) 1 + 2 + 2 = 5

g) 2 + 1 + 2 = 5

h) 2 + 2 + 1 = 5

 

Contudo, quando eu estava a tentar resolver a tarefa questionei-me acerca de quantas seriam as possibilidades de o gato subir a escada se a mesma só tivesse quatro degraus, ou três, ou dois, ou um degrau? Será que descobriria alguma regularidade? - pensei eu para mim mesmo.

 

Eis o resultado da minha investigação:

 

4 degraus - 5 casos possíveis3 degraus - 3 casos possíveis2 degraus - 2 casos possíveis1 degrau - 1 caso possível

a) 1 + 1 + 1 + 1 = 4

b) 1 + 1 + 2 = 4

c) 1 + 2 + 1 = 4

d) 2 + 1 + 1 = 4

e) 2 + 2 = 4

a) 1 + 1 + 1 = 3

b) 1 + 2 = 3

c) 2 + 1 = 3

a) 1 + 1 = 2

b) 2 = 2

a) 1 = 1

 

Ora, analisando o número de casos possíveis que fui conseguindo obter, depressa constatei que estava perante alguns números de  fibonacci: 1, 2, 3, 5 e 8. Em bom rigor estimei logo que seriam 13 casos possíveis se a escada tivesse seis degraus. Fiquei profundamente feliz por ver confirmada a minha conjetura:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

c) 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6

d) 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6

e) 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6

f) 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

g) 1 + 1 + 2 + 2 = 6

h) 1 + 2 + 1 + 2 = 6

i) 1 + 2 + 2 + 1 = 6

j) 2 + 2 + 1 + 1 = 6

k) 2 + 1 + 2 + 1 = 6

l) 2 + 1 + 1 + 2 = 6

m) 2 + 2 + 2 = 6

 

Claro está que esta situação poderia ser levada à sala de aula de matemática (porventura a partir de um 2º ano de escolaridade) como sendo uma potencial tarefa de investigação e seria desejável que os alunos pudessem analisar em conjunto o número de casos resultante para cada situação, de modo a poderem continuar a fazer previsões. Uma previsão seguinte seria o associar o próximo termo da sequência numérica de fibonacci a uma escada com mais um degrau do que o que acabei de descrever. Estaríamos, pois, a falar de 21 casos possíveis (8 + 13) para uma escada formada por 7 degraus.

 

Após a confirmação desta previsão seria interessante desafiar os alunos a responderem rapidamente a questões do tipo:

 

a) quantos degraus terá uma escada para que permita 55 formas diferentes de se poder subir?;

b) uma escada com dez degraus quantas formas diferentes existem de a poder subir?

 

Mas esta sequência numérica encerra outras surpresas, nomeadamente uma forte conexão a outra sequência numérica: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Qual poderá ser essa ligação forte?

 

Ora, esta tarefa carece de uma investigação cuidada, porque a única coisa que sabemos é que esta sequência deve resultar de operações matemáticas a exercer sobre os números de fibonacci.

 

Dependendo do tipo de resolvedor que se sinta desafiado por esta tarefa, espera-se que possa experimentar usar não a adição de dois números de fibonacci consecutivos mas, sim, o seu produto. Vejamos:

 

a) 1 x 1 = 1

b) 1 x 2 = 2

c) 2 x 3 = 6

d) 3 x 5 = 15

e) 5 x 8 = 40

f) 8 x 13 = 104

g)13 x 21 = 273

...

 

Confirma-se, pois, que cada termo da sequência numérica proposta para estudo resulta do produto de dois números de fibonacci consecutivos.

 

Sendo assim, qual será o décimo termo dessa sequência?

 

Esta tarefa torna-se, agora, fácil de resolver porque só teremos de identificar os 10º e o 11º números de fibonacci, porque a sua soma será a resposta à tarefa.

 

Vejamos:

 

Números fibonacci consecutivos

1 x 11 x 22 x 33 x 55 x 88 x 1313 x 2121 x 34 34 x 5555 x 89 
Produto126154010427371418704895 

 

Confirma-se, pois, que o produto do 10º número de fibonacci (55) com o 11º número de fibonacci (89) origina o 10º número (4895) da sequência em estudo.

 

Contudo, um outro resolvedor qualquer, num outro momento de resolução, pode propor adicionar os quadrados dos números de fibonacci de forma consecutiva, iniciando sempre no primeiro termo e acrescentando em cada adição o termo seguinte. Vejamos:

 

1 = 12

2 = 12 + 12

6 = 12 + 12 + 22

15 = 12 + 12 + 22 + 32

40 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52

104 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82

 

Logo, será legítimo testar se o próximo termo (273) será ou não a soma de 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132?

 

De facto, 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273.

 

Qual será a adição cuja soma é o valor 4895?

Conexão matemática entre o Crivo de Eratóstenes e os números de Fibonacci

Dezembro 03, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a detetar eventuais regularidades ou padrões, sejam eles de natureza numérica ou de natureza geométrica. O desafio com que inicio esta nova reflexão visa a identificação de algo que seja comum a todos os números que estão em destaque.

 

Qual será a característica que os une a todos?

 

 

 

Obviamente que quem não conhecer o conceito de número primo terá dificuldade em responder ao desafio colocado, pois a resposta é exatamente dizer-se que se tratam de todos os números primos inferiores ao valor 100. De facto, qualquer deles só admite dois divisores: ele próprio e a unidade, isto é, no conjunto dos números inteiros, somente a divisão por eles próprios ou por 1 dará resto zero.

 

Ora, se se fizer uma pesquisa rápida na Internet sobre o tema "números primos", facilmente daremos conta de que não existe uma fórmula ou algoritmo que nos permita encontrar todos os números primos. Talvez por este motivo os números primos sejam tão usados em códigos secretos, pois a sua decifração não é tarefa fácil.

 

Contudo, o quadro anterior pode servir de modelo matemático muito útil para se encontrarem todos os números primos inferiores ao 100. Denominado de Crivo de Eratóstenes, o mesmo pode ser explorado em contexto de sala de aula de Matemática ou junto de familiares e amigos da seguinte forma: esquecendo o 1, por não fazer parte deste tema, vamos isolar o 2 e eliminar (com uma outra cor) todos os números do quadro que sejam múltiplos do 2. Eis como fica inicialmente o quadro depois desta crivagem:

 

 

Eliminaram-se, pois, todos os números pares, à exceção do 2, por este ter sido selecionado.

 

De seguida vamos continuar a utilizar este crivo a partir do próximo número que não foi eliminado agora, isto é, o 3. Seleciona-se este número e dever-se-ão eliminar todos os múltiplos do 3. Claro está que há múltiplos do 3 que já aparecerão eliminados devido ao facto de também serem múltiplos do 2, como sejam, a título de exemplo, o 6, o 12, o 30, etc. Eis como fica agora o quadro:

 

 

Note-se que ainda há muito números que não foram eliminados, sendo que o menor deles é o 5. Assim sendo, seleciona-se este número e eliminam-se, agora, todos os múltiplos do 5 que ainda não foram eliminados. A título de exemplo, note-se que o 15 já foi eliminado por ser também múltiplo do 3. Por sua vez, o 20 já foi eliminado por também ser múltiplo do 2. Eis como fica agora o quadro:

 

 

De seguida faltam eliminar todos os múltiplos do 7 que ainda constem da tabela. Terão de eliminar-se o 49, o 77 e o 91:

 

 

Se nos fixarmos nos restantes números que ainda não foram eliminados, cada um deles já não tem qualquer múltiplo que não tenha sido já eliminado, pelo que se pode concluir que através deste Crivo de Eratóstenes estão identificados todos os números primos inferiores ao valor 100:

 

 

 

São eles:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19

23, 29

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

 

Escolhamos, agora, alguns destes números primos, como sejam: 11, 13, 17, 23, 29, 43, 53 e 73 e investiguemos que tipo de relação poderão ter com a sequência de números de Fibonacci, designadamente com os seguintes elementos: 2, 3, 5, 8 e 13. Haverá alguma conexão matemática entre estes dois tipos de números: os primos e os de Fibonacci?

 

De entre várias estimativas que qualquer resolver pode colocar a si próprio, seria desejável que em contexto de sala de aula os alunos assumissem a postura de Equipa de Detetives da Matemática, de modo a que alguém pudesse testar, de entre várias outras conjeturas, a soma do produto de dois destes números de Fibonacci com um terceiro número desta sequência.

 

Vejamos o seguinte exemplo, tendo em conta os valores 2, 3 e 5:

 

a) 2 x 3 + 5 = 11

b) 2 x 5 + 3 = 13

c) 3 x 5 + 2 = 17

 

Quer o 11, como o 13 ou o 17 pertencem aos números identificados pelo Crivo de Eratóstenes, logo são números primos.

 

Vejamos um novo exemplo, envolvendo, agora, os valores 3, 5 e 8:

 

a) 3 x 5 + 8 = 23

b) 3 x 8 + 5 = 29

c) 5 x 8 + 3 = 43

 

Uma vez mais, os valores 23, 29 e 43 também estão no Crivo de Eratóstenes como sendo números primos.

 

Será que o mesmo se passa se os números selecionados para testagem forem o 5 o 8 e o 13? E se forem os números 8, 13 e 21, alguma coisa surgirá diferente?

Pensamento algébrico

Outubro 15, 2009

Paulo Afonso

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.

Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

b) 1, 8, 27, 64, ... 

c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:

Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.

Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:

1

3          5

7          9          11

13          15          17          19

...

Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?

Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.

Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.

Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3 números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.

Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.

Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.

Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.

Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?

Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte: 

 Nº da fila  Último número da fila
 1  1
 2  5
 3  11
 4  19
 ...  ...

Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:

1 = 1 x 2 - 1

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 11

19 = 4 x 5 - 1

Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.

Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.

Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?

2

4          6          8

10          12          14          16          18

20          22          24          26          28          30          32

...

O cálculo de áreas e os números de Fibonacci

Setembro 01, 2009

Paulo Afonso

Como o prometido é devido, aqui estou de volta para mais um ano de dedicação a este blog, cujo tema base é a Matemática Recreativa. Aproveito a oportunidade para agradecer aos meus leitores que nestes dois meses de interregno continuaram a visitar este blog. É também para eles que continuarei a investir nas reflexões que este importante tema nos pode suscitar. A filosofia dos artigos continuará a ser a mesma de sempre, isto é, um artigo por semana, tendo uma explicação inicial, seguida de um desafio, susceptível de chegar às pessoas em geral, e à sala de aula de Matemática, em particular.

O tema que escolhi para reflexão - números de Fibonacci - já tem sido várias vezes referenciado neste blog. Nesta ocasião conectá-lo-ei ao tema do cálculo de áreas de figuras rectangulares, designadamente os quadrados.

Imaginem que uma menina, de nome Alice, decide construir, com ajuda do seu avô Artur, antigo professor de Matemática, um chão para a sua casa de bonecas apenas baseado em quadrados. Começa por construir em cartão um quadrado com um centímetro de lado, como este da figura:

Vendo o entusiasmo da sua neta, o avô Artur perguntou-lhe qual a área desse quadrado. A Alice respondeu prontamente que era um centímetro quadrado.

De seguida, construiu um quadrado igual e colocou-o ao lado do anterior, como mostra a figura:

 

Assim que o avô lhe perguntou pela medida da área deste novo quadrado, a Alice respondeu que era novamente um centímetro quadrado.

O avô pressentiu que a sua neta ia construir um novo quadrado semelhante aos dois anteriormente construídos e sugeriu-lhe que o construísse, tendo em conta que a medida do lado teria de ser igual à soma das medidas dos lados dois dois quadrados anteriores.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a construção do novo quadrado:

Antes de o avô lhe perguntar pela medida da área deste novo quadrado, a Alice referiu que a mesma era de quatro centímetros quadrados. Justificou a sua observação, referindo que este novo quadrado tinha dois centímetros de lado.

Aproveitando o entusiasmo da neta, o sr. Artur continuou a desafiá-la no sentido de a construção do próximo quadrado manter a regra seguida no caso anterior, isto é, a medida do lado ser a soma das medidas dois lados dos dois últimos quadrados construídos.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a inclusão do novo quadrado, respeitando as indicações do seu avô:

 

 - Avô: este novo quadrado tem nove centímetros quadrados de área - referiu a Alice.

Perante esta intervenção, o avô da Alice pediu para ela pensar em qual seria a medida da área do próximo quadrado, se mantivesse o critério de construção que estava a seguir, isto é, a medida do lado ser igual á soma das medidas dos dois últimos quadrados construídos por ela.

Prontamente ela respondeu que seria vinte e cinco centímetros quadrados, pois o próximo quadrado teria cinco centímetros de lado, pois seria (3 + 2) centímetros. Eis como ficou o chão da casa de bonecas:

Se o chão final da casa de bonecas continuar a ser formado de acordo com este critério, isto é, só por quadrados, sendo que cada quadrado novo tem de medida de lado a soma das medidas dos lados dois dois últimos quadrados construídos e sabendo que a sua área final é de quatro mil, oitocentos e noventa e cinco centímetros quadrados, qual é a figura que ilustra esse chão? Quais serão as medidas dos lados dos dois últimos quadrados construídos pela Alice?

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