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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Quadrados cercados por números - regularidades mágicas

Fevereiro 16, 2009

Paulo Afonso

Os quadrados mágicos de ordem três (com três linhas e três colunas) ou de ordem quatro (com quatro linhas e quatro colunas) costumam ser muito utilizados em actividades de matemática recreativa.

Em artigos anteriores já tive oportunidade de reflectir sobre algumas estratégias de resolução ao nível deste tipo de figuras.

Com base nisso pretendo tecer, agora, uma nova reflexão acerca de uma adaptação ao tema.

Assim, imagine que num diálogo entre dois irmãos, o mais velho tenha desafiado o outro com a seguinte tarefa: "para que um coelho consiga sair da sua gaiola, de forma quadrada, terás que distribuir os seguintes dezasseis números naturais de modo a que a soma de cada quatro deles existentes em cada uma das paredes da gaiola seja sempre 34. Ao conseguires fazer isso, o coelho estará em condições de poder sair pela porta nº 3 ou pela porta nº 4 para vir comer cenouras no espaço exterior à gaiola. Qual a tua sugestão?"

Esta actividade pode ter várias soluções, de entre as quais apresento as seguintes:

Note que relativamente à figura inicial, as resoluções apresentadas permitem que se conclua que (a) mantendo, no caso da esquerda, os valores extremos das linhas e os valores centrais das colunas, permutando os restantes, ou (b) mantendo, no caso da direita, os valores centrais das linhas e os extremos das colunas, permutando os restantes, o resultado é sempre 34.

Além destas resoluções, a seguinte também é válida:

Uma observação atenta permite visualizar a existência de uma certa distribuição geométrica dos números: (a) 1, 2, 3 e 4 situam-se ao nível das linhas, envolvendo os extremos da de cima e os meios da de baixo, (b) 5, 6, 7 e 8 situam-se ao nível das colunas, envolvendo sempre os valores centrais (c) 9, 10, 11 e 12 também se situam ao nível das colunas, mas envolvendo apenas os valores extremos, (d) 13, 14 15 e 16 voltam a situar-se nas linhas, mas ocupando os lugares que ainda estavam vazios (valores extremos na fila de baixo e valores centrais na fila de cima).

E se os dezasseis números naturais iniciarem no 2 e terminarem no 17, qual será a soma mágica que permite a saída do coelho para o exterior?:

Usando, por exemplo, o critério utilizado na primeira resolução anterior, verifica-se a obtenção de uma nova soma mágica de valor 38:

 

Neste caso, o coelho poderia sair pelas portas contendo o valor 3 e o valor 8.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos, para além de descobrirem a existência de uma regularidade entre a soma mágica obtida e os dezasseis números envolvidos na tarefa, descobrissem, também, que a soma mágica coincide com o dobro da soma dos dois valores extremos de cada conjunto dos dezasseis números que estão em jogo.

De facto, no primeiro caso, os valores extremos são o 1 e o 16, cuja soma é 17 e a soma mágica é o dobro deste valor - 34. Por sua vez, neste último caso, os valores extremos são o 2 e o 17, cuja soma é 19 e a soma mágica volta a ser o seu dobro - 38.

Tendo em conta este conjunto de observações e de conclusões, será fácil descobrir os dezasseis números envolvidos numa soma mágica 60, bem como a sua disposição?

 

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

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