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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Operar com números pares

Março 01, 2010

Paulo Afonso

Muitos tipos de números já foram objecto de análise neste blog. Desde os números figurados, como sejam os números triangulares ou os números quadrados, até aos números cúbicos, todos serviram de base a explorações de natureza recreativa.

 

Para este novo artigo seleccionei o conjunto dos números pares. De entre múltiplas actividades que os podem envolver, escolhi algumas de natureza aditiva.

 

Num contexto de matemática recreativa como distribuir, na figura seguinte, os sete primeiros números pares, de modo a que a soma de "a + b + c + d" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g":

 

Esta tarefa poderia ser resolvida pela estratégia de tentativa e erro. Contudo, em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que "a" deveria coincidir com a soma de "g + f + e", porque a adição "b + c + d" é comum em ambos os casos.

 

Sendo assim, e tendo em conta estes sete primeiros números pares, os dois únicos casos em que cada um desses sete números coincide com a soma de outros três são o 12 (2 + 4 + 6) e o 14 (2 + 4 + 8). Logo, eis as duas soluções possíveis:

 

 

Vejamos agora um outro desafio, um pouco mais complexo do que o anterior:

 

Usando os oito primeiros números pares, como os distribuir na figura seguinte, de modo a que "a + b + c + d" seja igual a "e + f + g + h":

 

 

Esta tarefa deveria incutir nos resolvedores um sentido de indagação acerca de como os números estão relacionados na disposição geométrica da figura.

 

Por outro lado, sabe-se que a soma dos oito primeiros números pares é 72, pois 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72.

 

Como se trata de uma soma par, pode ser decomposta em dois valores iguais (72 = 36 + 36). Logo, a ser possível resolver esta tarefa, cada uma das duas partes da figura deverá estar associada a este valor 36.

 

Resta agora averiguar se com os valores em causa será possível obter este número duas vezes. Curiosamente o 36 permite decompor-se, também ele, em dois números iguais (18 + 18) e este valor pode ser obtido de quatro maneiras diferentes:

 

a) 18 = 16 + 2

b) 18 = 14 + 4

c) 18 = 12 + 6

d) 18 = 10 + 8

 

Tendo em conta estas quatro maneiras de se obter o valor 18, eis que existem três possibilidades de resposta à tarefa colocada:

 

1 - a) + b) e c) + d)

2 - a) + c) e b) + d)

3 - a) + d) e b) + c)

 

16 + 2 e 14 + 4 12 + 6 e 10 + 8
16 + 2 e 12 + 6 14 + 4 e 10 + 8
16 + 2 e 10 + 8 14 + 4 e 12 + 6

 

Imagine, agora, que era solicitado a distribuir os nove primeiros números pares na figura seguinte, de modo a que a soma de "a + b + c + d + f + g + h + i" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g + h". Como fazer?

 

 

Eis quatro possíveis soluções:

 

 

 

Há, certamente, outras soluções. Investigue quais são e explicite o raciocínio utilizado.

Explorando hexágonos regulares

Janeiro 26, 2009

Paulo Afonso

À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: www.maismat.blogspot.com. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:

Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?

Por tentativas a resposta poderá ser a seguinte:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem associar este desafio ao conceito de média aritmética, que neste caso é o valor 4, pois o total (28) a dividir pelo número de elementos da sequência numérica (7) origina esse valor.

Contudo, caso os alunos ainda não estejam na posse desse conceito, podem ser levados a concluir que a sequência numérica é susceptível de ter a seguinte interpretação:

- O valor central é o 4.

- 1 + 7 = 8.

- 2 + 6 = 8.

- 3 + 5 = 8.

Logo, a soma da linha vertical e de cada linha oblíqua, de três parcelas, seria sempre 12, pois 4 + 8 = 12.

Tendo em conta o raciocínio anterior, os alunos também poderiam ser desafiados a realizar tarefas semelhantes para os dois casos seguintes: (a) sequência numérica composta pelos sete primeiros números ímpares e (b) sequência numérica composta pelos sete primeiros números pares.

Eis as possíveis soluções:

NÚMEROS ÍMPARES NÚMEROS PARES
SOMA MÁGICA --- 21 SOMA MÁGICA --- 24

De facto, uma possível explicação passa pelos esquemas seguintes: 

Pense, agora, em como distribuir os sete primeiros números naturais de modo a que a soma dos três valores centrais, indicados pela seta, seja a terça parte da soma dos quatro valores envolvidos nas linhas oblíquas acima e abaixo dessa linha central:

Fazendo-se o estudo, equivale a encontrar-se uma soma para a linha central que é a terça parte da soma envolvendo os restantes quatro números dos quatro restantes hexágonos. Por outras palavras, a soma desses quatro valores tem de ser um valor que é triplo do valor da soma da linha central. Por outro lado sabemos que o total dos sete números implica uma soma de 28. Logo, basta resolver-se a seguinte igualdade: 3x + x = 28 para se saber o valor da soma da linha central, que é 7. Consequentemente, a soma dos outros quatro valores terá de ser 3 x 7 = 21. 

Ora, o valor 7 só pode ser obtido através das seguintes parcelas: 1, 2 e 4, pois 1 + 2 + 4 = 7.

Já o valor 21 pode ser decomposto em 10 + 11, que é, respectivamente, (7 + 3) e (6 + 5). Por outro lado também pode ser decomposto em 9 + 12, que é, respectivamente, (6 + 3) e (7 + 5). Logo, os dois casos de resolução correcta são os seguintes:

Um estudo semelhante a este pode ser feito para o seguinte desafio: As duas figuras seguintes são uma mesma e usando apenas os sete primeiros números naturais procure distribuí-los nos sete hexágonos de modo a que a soma das duas linhas centrais seja sempre a mesma e igual à soma dos valores dos restantes quatro hexágonos:

Eis duas possíveis resoluções: 

Haverá mais alguma solução? Encontre-a, justificando o seu raciocínio.

A terminar esta reflexão distribua os dezanove primeiros números naturais nos seguintes dezanove hexágonos, de modo a que a soma de quaisquer hexágonos adjacentes (3, 4 ou 5), perfazendo uma linha completa, seja sempre 38. Repare que alguns desses números já se encontram na posição correcta:

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