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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Dezembro 11, 2011

Paulo Afonso

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 121 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 222 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 323 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 424 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 525 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 626 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 727 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 828 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 929 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 23 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 37 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 531 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6Fatorização do 28Fatorização do 496
  

 

6 = 2 x 328 = 22 x 7496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

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