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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Dezembro 11, 2011

Paulo Afonso

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 121 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 222 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 323 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 424 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 525 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 626 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 727 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 828 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 929 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 23 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 37 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 531 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6Fatorização do 28Fatorização do 496
  

 

6 = 2 x 328 = 22 x 7496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

Conexão matemática entre o Crivo de Eratóstenes e os números de Fibonacci

Dezembro 03, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a detetar eventuais regularidades ou padrões, sejam eles de natureza numérica ou de natureza geométrica. O desafio com que inicio esta nova reflexão visa a identificação de algo que seja comum a todos os números que estão em destaque.

 

Qual será a característica que os une a todos?

 

 

 

Obviamente que quem não conhecer o conceito de número primo terá dificuldade em responder ao desafio colocado, pois a resposta é exatamente dizer-se que se tratam de todos os números primos inferiores ao valor 100. De facto, qualquer deles só admite dois divisores: ele próprio e a unidade, isto é, no conjunto dos números inteiros, somente a divisão por eles próprios ou por 1 dará resto zero.

 

Ora, se se fizer uma pesquisa rápida na Internet sobre o tema "números primos", facilmente daremos conta de que não existe uma fórmula ou algoritmo que nos permita encontrar todos os números primos. Talvez por este motivo os números primos sejam tão usados em códigos secretos, pois a sua decifração não é tarefa fácil.

 

Contudo, o quadro anterior pode servir de modelo matemático muito útil para se encontrarem todos os números primos inferiores ao 100. Denominado de Crivo de Eratóstenes, o mesmo pode ser explorado em contexto de sala de aula de Matemática ou junto de familiares e amigos da seguinte forma: esquecendo o 1, por não fazer parte deste tema, vamos isolar o 2 e eliminar (com uma outra cor) todos os números do quadro que sejam múltiplos do 2. Eis como fica inicialmente o quadro depois desta crivagem:

 

 

Eliminaram-se, pois, todos os números pares, à exceção do 2, por este ter sido selecionado.

 

De seguida vamos continuar a utilizar este crivo a partir do próximo número que não foi eliminado agora, isto é, o 3. Seleciona-se este número e dever-se-ão eliminar todos os múltiplos do 3. Claro está que há múltiplos do 3 que já aparecerão eliminados devido ao facto de também serem múltiplos do 2, como sejam, a título de exemplo, o 6, o 12, o 30, etc. Eis como fica agora o quadro:

 

 

Note-se que ainda há muito números que não foram eliminados, sendo que o menor deles é o 5. Assim sendo, seleciona-se este número e eliminam-se, agora, todos os múltiplos do 5 que ainda não foram eliminados. A título de exemplo, note-se que o 15 já foi eliminado por ser também múltiplo do 3. Por sua vez, o 20 já foi eliminado por também ser múltiplo do 2. Eis como fica agora o quadro:

 

 

De seguida faltam eliminar todos os múltiplos do 7 que ainda constem da tabela. Terão de eliminar-se o 49, o 77 e o 91:

 

 

Se nos fixarmos nos restantes números que ainda não foram eliminados, cada um deles já não tem qualquer múltiplo que não tenha sido já eliminado, pelo que se pode concluir que através deste Crivo de Eratóstenes estão identificados todos os números primos inferiores ao valor 100:

 

 

 

São eles:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19

23, 29

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

 

Escolhamos, agora, alguns destes números primos, como sejam: 11, 13, 17, 23, 29, 43, 53 e 73 e investiguemos que tipo de relação poderão ter com a sequência de números de Fibonacci, designadamente com os seguintes elementos: 2, 3, 5, 8 e 13. Haverá alguma conexão matemática entre estes dois tipos de números: os primos e os de Fibonacci?

 

De entre várias estimativas que qualquer resolver pode colocar a si próprio, seria desejável que em contexto de sala de aula os alunos assumissem a postura de Equipa de Detetives da Matemática, de modo a que alguém pudesse testar, de entre várias outras conjeturas, a soma do produto de dois destes números de Fibonacci com um terceiro número desta sequência.

 

Vejamos o seguinte exemplo, tendo em conta os valores 2, 3 e 5:

 

a) 2 x 3 + 5 = 11

b) 2 x 5 + 3 = 13

c) 3 x 5 + 2 = 17

 

Quer o 11, como o 13 ou o 17 pertencem aos números identificados pelo Crivo de Eratóstenes, logo são números primos.

 

Vejamos um novo exemplo, envolvendo, agora, os valores 3, 5 e 8:

 

a) 3 x 5 + 8 = 23

b) 3 x 8 + 5 = 29

c) 5 x 8 + 3 = 43

 

Uma vez mais, os valores 23, 29 e 43 também estão no Crivo de Eratóstenes como sendo números primos.

 

Será que o mesmo se passa se os números selecionados para testagem forem o 5 o 8 e o 13? E se forem os números 8, 13 e 21, alguma coisa surgirá diferente?

Adicionando números primos

Outubro 09, 2009

Paulo Afonso

Como é do conhecimento de muitas pessoas, designadamente dos mais ligados a questões da Matemática, não existe nenhum algoritmo ou lei geral que seja capaz de gerar todos os números primos. Talvez devido a este motivo,  este tipo de números seja muito utilizado ao nível da segurança informática, pois a encriptação de chaves numéricas tem tido uma relação muito estreita com os números primos.

Contudo, não é sobre a segurança na Net que vou dedicar a minha reflexão. Antes vou utilizar alguns números primos, especialmente os quatro primeiros (2, 3, 5 e 7) para aplicar a um vulgar jogo do quotidiano das pessoas.
Imagine-se a jogar, com uma ligeira adaptação,  o jogo da moedinha com mais três amigos, sendo que você decide, sem dizer a ninguém, levar sempre duas moedas de um cêntimo. Se aos outros for permitido levar também duas moedas ou três ou cinco ou sete de um cêntimo, qual será a soma que deve escolher, caso o possa fazer em primeiro lugar, isto é, antes dos demais adversários?
Esta situação lúdica e de lazer merece uma análise acerca das possibilidades matemáticas que podem ocorrer. A tabela seguinte pode ajudar, sendo o leitor o jogador A:

Jogador A
Jogador B
Jogador C
Jogador D
Soma
2
2
2
2
8
2
2
2
3
9
2
2
2
5
11
2
2
2
7
13
2
2
3
3
10
2
2
3
5
12
2
2
3
7
14
2
2
5
5
14
2
2
5
7
16
2
2
7
7
18
2
3
3
3
11
2
3
3
5
13
2
3
3
7
15
2
3
5
5
15
2
3
5
7
17
2
3
7
7
19
2
5
5
5
17
2
5
5
7
19
2
5
7
7
21
2
7
7
7
23

A análise da tabela permite que possa extrair algumas conclusões:
a) Deve evitar-se escolher o 20, o 22 ou qualquer número inferior a 8 ou superior a 23.
b) As somas mais prováveis de ocorrer são 11, 13, 14, 15, 17 e 19, ganhando para as somas 8, 9, 10, 12, 16, 18, 21 ou 23.
Como será para o caso de se poderem levar 11 moedas e nunca duas, sendo que o leitor escolhe sempre levar três moedas? Qual o valor ou valores mais interessantes a serem pedidos por si? (nota: valores permitidos de moedas - 3, 5, 7 e 11).

De Mataix ao jogo do Trinca-Espinhas - Um caso de divisores

Setembro 08, 2009

Paulo Afonso

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado "A Maçã da Discórdia"*. Constituído por 149 situações de recreação matemática, a nº 2, com o título "Uma partida do dom Félix e Arquimedes Garcia" fez-me lembrar um jogo didáctico com que trabalhei os divisores de um número aquando da minha formação inicial. O jogo chamava-se o Trinca-Espinhas.

 

* - Mataix, M. (2008). A Maçã da Discórdia. RBA Editores.

 

Mas vamos por partes. Começo por tomar a liberdade de transcrever o texto dessa actividade nº 2:

"Começa-se com os números naturais de 1 até N, escritos em fila. Primeiro joga Arquimedes e as regras a seguir são estas:

a) Arquimedes tira o número que quer da fila e apaga-o, sujeito a cumprir a condição de nunca tirar um número do qual não fique nenhum factor na fila.

b) Dom Félix joga depois, apagando dos restantes números todos aqueles que são factores do que Arquimedes escolheu.

c) O jogo termina quando Arquimedes não pode escolher mais números. neste momento Arquimedes tem de fazer com que a soma dos números que tirou seja a menor possível" (p. 9).

O exemplo que Mataix disponibilizou para os seus leitores é o caso em que N = 7. Se Arquimedes escolher o 6, dom Félix ficará com o 1, o 2 e o 3. Logo, a soma mínima é 6.

Como será para o caso de N = 20?

Porque é que eu digo que este desafio me fêz recordar do jogo do Trinca-Espinhas? Precisamente, porque este jogo baseia-se, na essência, nas regras acima enunciadas. A única alteração é que cada jogador joga contra o computador, personalizado na figura do Trinca-Espinhas e em que os números sobrantes ficam para o Trinca-Espinhas, sendo o objectivo do jogo obter uma soma maior do que a soma dos números com que o Trinca-Espinhas fica.

Eis o exemplo de se ganhar ao Trinca-Espinhas, quando N = 10:

Jogador X Trinca-Espinhas
7 1
9 3
6 2
8 4
10 5

Note-se que, neste caso, não sobrou mais nenhum número para o Trinca-Espinhas, pois todos foram envolvidos na selecção feita pelo Jogador X.

Fazendo-se as respectivas somas, o Jogador X obteve 40 pontos e o Trinca-Espinhas apenas 15 pontos.

Qual a estratégia ganhadora par N = 20?

Estes exemplos permitem, como sempre, múltiplas extensões. Uma delas passa por se conectar a decomposição do número ao conceito de número primo e aos critérios de divisibilidade.

Imaginem-se os dez primeiros números naturais:

1    2     3     4     5     6     7     8     9     10

O jogo consiste em retirar-se um número desse conjunto, de cada vez, de modo a que os respectivos números que o originam, por decomposição em parcelas, também sejam eliminados do conjuto. Quando já não se puder retirar mais nenhum número, por não haver possibilidade de se obter esse número com os números ainda restantes, estes têm que originar um soma que seja um número primo.

Exemplifiquemos:

Números retirados Sua obtenção pelo processo aditivo
3 1 + 2
9 4 + 5

Neste caso já não há mais números que possam ser esclhidos, porque os mesmos não se conseguirão obter com os restantes que ainda estão em jogo. Logo, sobram os seguintes números: 6, 7, 8 e 10. A sua soma é 31, logo é uma caso de sucesso, pois o 31 é um número primo.

Haverá mais casos de sucesso? Quais?

Múltiplas conexões matemáticas envolvendo o número 120

Outubro 29, 2008

Paulo Afonso

Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ímpares, os que eram primos, os primos entre si, os compostos, os perfeitos, os quadrados, os triangulares, os naturais, os inteiros, os relativos, os racionais, os reais, os irracionais, etc., etc. Destes, havia alguns que se distinguiam pela sua importância histórica, como seja o 1, o zero, o pi, ou o de ouro. 

Não obstante isto, tem vindo a descobrir-se coisas fantásticas acerca de outros bem mais "modestos", em termos da sua importância relativa como entes da História da Matemática, como seja o 9, o 1089, o 3037 ou o 142857. Basta uma consulta rápida na Internet para nos apercebermos das suas magníficas propriedades matemáticas.

Contudo, não é acerca destes números que eu vou incidir a minha reflexão. Decidi escolher um que, porventura, tem merecido menos elogios, mas que me agrada imenso, por permitir um leque variado de conexões a alguns conceitos matemáticos. Refiro-me ao 120.

Pois é, se eu o desafiasse a reflectir acerca da importância deste valor nas nossas vidas, facilmente o associaríamos a aspectos do tempo (sistema sexagesimal), ou ao limite de velocidade nas auto-estradas. Quantos de nós não pagaram já coimas de 120 euros por excesso de velocidade?

Já relativamente a outros conceitos matemáticos podemos associá-lo, por exemplo, ao conceito de amplitude de ângulos, designadamente aos ângulos externos de um qualquer triângulo equilátero.

Mas vejamos as seguintes propriedades mágicas deste número.

(a) Tem o privilégio de ser formado pelos três primeiros números inteiros (0, 1 e 2).

(b) Como qualquer outro número inteiro, pode ser obtido pela adição de alguns números da sequência de Finonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Eis alguns exemplos:

2 + 8 + 21 + 89 = 120

2 + 3 + 5 + 21 + 34 + 55 = 120

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 89 = 120

(c) Como se trata de um número que não é primo, pois é composto, pode ser obtido através da multiplicação de vários factores primos: 120 = 23 x 3 x 5.

(d) Também pode ser obtido através da adição de oito dos dez primeiros números primos: 120 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29. Aliás, tendo em conta a conjectura de Goldbach, que diz que qualquer número par maior ou igual a quatro pode ser obtido pela adição de dois números primos, o 120 resultaria da adição de 103 com 17, ou de 113 com 7 ou de 117 com 3.

(e) É um número triangular, o que significa que existem dois números inteiros consecutivos que multiplicados entre si originam um produto que é o dobro desse valor 120. Refiro-me aos números 15 e 16, pois 15 x 16 = 240. De facto, o 120 é o 15º número triangular, pois 120 = [n x [n + 1)] : 2, quando n = 15.

(f) Ao adicionarmos os seus dígitos constatamos que a soma é 3, logo o 120 é divisível por 3. Este facto permite que nos questionemos acerca de quais serão os nove números inteiros consecutivos que permitem transformar a figura seguinte num quadrado mágico, de ordem três, com soma mágica 120?

Eis uma possível solução, envolvendo os seguintes números consecutivos 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44:

(g) Será que também pode ser afecto a um quadrado mágico de ordem quatro, isto é, será que existem dezasseis números inteiros consecutivos que permitem tornar a figura seguinte num quadrado mágico de soma 120?

Através dos três exemplos seguintes podemos perceber que existe uma regularidade neste tipo de figuras: 

Quando a sequência se inicia pelo valor 1, a soma é 34; quando se inicia pelo valor 2, a soma é 38; quando se inicia pelo valor 3, a soma é 42. Prolongando este padrão, resulta o seguinte:

Início Soma Início Soma Início Soma Início Soma
1 34 2 38 3 42 4 46
5 50 6 54 7 58 8 62
9 66 10 70 11 74 12 78
13 82 14 86 15 90 16 94
17 98 18 102 19 106 20 110
21 114 22 118 23 122    

O padrão anterior permite concluir que não é possível obter-se um quadrado mágico, de ordem 4, envolvendo dezasseis números inteiros consecutivos cuja soma seja 120. O máximo que se obtém por defeito é 118 e o mínimo que se obtém por excesso é 122.

Ora se formalizarmos este padrão, percebemos que:

1 --- 34 = 34 + 0 x 4

2 --- 38 = 34 + 1 x 4

3 --- 42 = 34 + 2 x 4

4 --- 46 = 34 + 3 x 4

5 --- 50 = 34 + 4 x 4

...

n        = 34 + (n - 1) x 4

Se igualarmos este lei de formação ao valor 120, concluímos que "n" terá que ser 22,5, que será o início da seguinte sequência numérica: 22,5; 23,5; 24,5; 25,5; 26,5; 27,5; 28,5; 29,5; 30,5; 31,5; 32,5; 33,5; 34,5; 35,5; 36,5; 37,5.

Façamos o quadro:

 

Confirma-se, pois, que se pode construir um quadrado mágico, de ordem 4, cuja soma mágica 120 resulta da utilização dos dezasseis números decimais acima enunciados.

(h) A terminar, seria interessante investigar se o 120 resulta ou não da adição de quatro potências de base dois consecutivas.

A tabela seguinte evidencia esse possível estudo:

Note-se, pois, que as potências envolvidas são 23, 24, 25 e 26.

Através de uma exploração algébrica, a resolução da equação seguinte: x2 + 2x2 + 4x2 + 8x2 = 120 dar-nos-ia a resposta "8" como sendo a primeira das potências a considerar.

Faça um estudo semelhante para o caso de quatro potências consecutivas de base 3 e verá que ficará surpreendido!

A beleza matemática dos números triangulares

Outubro 23, 2008

Paulo Afonso

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a particularidade de originar figuras triangulares. Referia-me, na altura, aos números triangulares, cujos seis primeiros termos da sequência são os seguintes: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

De entre várias conexões matemáticas que este tipo de números permite estabelecer*, como seja aos números quadrados ou ao triângulo de Pascal, irei associá-los ao conceito de média aritmética, ao conceito de número primo e ao conceito de potência de expoente natural.

* - Afonso, P. (2006). A Magia Conexões Matemáticas - Um caso envolvendo números triangulares. Educação e Matemática, 90, Novembro/Dezembro, 35-38.

Sendo assim, imagine que era desafiado a dividir aqueles seis primeiros elementos da sequência de números triangulares em dois grupos de igual valor numérico e em que cada um dos dois grupos era formado por metade desses elementos.

A figura seguinte permite auxiliar a visualização desta proposta, pois sugere-se que as parcelas de cada um dos grupos sejam colocadas nos triângulos azuis, e as respectivas somas ao centro de cada hexágono amarelo:

Como actividade de recreação matemática, esta situação poderia ser resolvida por tentativas:

Obviamente que em termos de sala de aula de matemática seria desejável que os alunos adicionassem esses seis termos da sequência, cujo valor é 56 e dividissem por dois para encontrarem o valor de cada metade, que é 28.

Ora, baseando-nos neste tipo de imagem, verifica-se que mantendo-se a média no valor 28, estes seis números triangulares permitem a constituição de outros pares de somas, em que cada uma delas continua a resultar da adição de três parcelas:

Note-se que as somas envolvidas nestas figuras são sempre pares.

Será que os restantes valores pares, agrupados segundo os seguintes pares ordenados [(22, 34); (20, 36); (18, 38); (16, 40); (14, 42); (12, 44); (10, 46); (8, 48); (6, 50)] permitem também casos de sucesso em figuras semelhantes às que acabo de mostrar? Será, certamente, uma investigação interessante a fazer-se...

O mesmo será dizer-se relativamente aos pares de números envolvendo somas ímpares, mas mantendo-se a mesma média de 28 valores. Use a figura seguinte para fazer este novo estudo:

Note-se a curiosidade de para o par de somas (19, 37) se conseguirem obter dois casos de sucesso:

É, pois, desafiador fazer-se o estudo para os restantes pares de somas ímpares e de média 28, usando-se apenas figuras semelhantes às anteriores, isto é, que envolvam três parcelas para cada soma.

Como tenho feito em outros artigos, este tema também permite múltiplas extensões.

Veja o exemplo de se sentir desafiado a dividir estes seis números triangulares em dois novos grupos, formado cada um por três elementos, de modo que uma soma seja o triplo da outra...

Uma vez mais, eis um possível caso de sucesso, envolvendo as somas 42 e 14:

Divida agora esses seis números, de modo a formar dois grupos cujas somas são dois números primos.

Se investigar este caso, provavelmente irá concluir que o número de termos envolvido em cada soma não será igual, o que obrigará a recorrer a outro tipo de figuras. Eis uma solução possível:

Conclui-se, pois, que este conjunto de números revela ter grandes possibilidades de exploração pedagógica.

Termino com o seguinte desafio: usar uma figura semelhante à anterior para se obterem duas somas em que uma é o quadrado da outra. 

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