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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

Setembro 17, 2011

Paulo Afonso

Quando somos confrontados com situações de Matemática Recreativa, nem sempre conseguimos dar resposta imediata aos desafios colocados. Apostar na nossa capacidade de persistência acaba, muitas vezes, por ser uma boa tomada de decisão. O exemplo com que inicio mais um ano letivo, refletindo sobre esta importante área da recreação matemática, pretende debater este aspeto. Eis o desafio que coloco aos meus leitores:

 

Analise o conjunto de dados numéricos que compõem a figura seguinte e proponha os valores da próxima linha. Qual o critério para a essa sua seleção?

 

 

Provavelmente terá dificuldade, no imediato, de avançar com uma resposta válida, pois aparentemente os números da figura poderão parecer não ter relação entre si. Contudo, muitas poderão ser as abordagens a realizar e, o importante é que, enquanto resolvedores motivados para este tipo de desafios, não desistamos face a esta eventual dificuldade inicial.

 

Uma possível estratégia de resolução poderá passar por se calcular a soma em cada linha, no sentido de se averiguar se existe algum tipo de padrão ou regularidade numérica. Façamo-lo, então:

 

 

Curiosamente poderemos constatar que existe uma regularidade numérica entre as somas obtidas. De fato, de uma soma para a seguinte incrementa-se um valor que é sempre um número quadrado (22, 32, 42 e 52). Ora, continuando com este critério, saber-se-á a soma da linha seguinte, pois basta acrescentar à soma da última linha o valor 36, que é o quadrado de 6. Essa soma será, pois, o valor 91.

 

Significa isto, que os valores da figura inicial poderão ser substituídos exclusivamente por números quadrados:

 

 

Face a esta importante descoberta, ficará fácil avançar com uma proposta de valores para a linha que é solicitada na tarefa. A figura seguinte elucida a continuidade do padrão descoberto, confirmando a soma inferida acima:

 

 

Fica, pois, resolvida uma tarefa que inicialmente parecia ter um grau de dificuldade elevado. Desenvolver em cada um de nós a capacidade de persistência é, pois, um dos objetivos deste tipo de tarefas que proponho para reflexão conjunta.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos, além de descobrirem este tipo de estratégia de resolução, não ficassem satisfeitos com ela e tentassem outras abordagens que a tarefa suscita.

 

Uma possível abordagem, diferente da sugerida acima, passa por se estabelecer uma relação aritmética a partir dos valores iniciais da tarefa:

 

Note-se que a relação estabelecida na figura acima possibilita o evidenciar de uma importante conexão matemática aos números triangulares. De fato, todos os fatores que multiplicam o valor 2, e o último valor de cada linha (1, 3, 6, 10, 15, ...), fazem parte deste conjunto de números figurados, tema ao qual já dedicámos muitos artigos neste blog.

 

Há, pois, uma lógica numérica que pode ser aplicada em todos os casos. De uma linha para a seguinte dobra-se o último número (triangular) da linha anterior e adiciona-se o próximo número triangular. Ora, tendo em conta este raciocínio, será fácil propor a próxima linha, que contempla já o próximo número triangular - 21:

 

 

Seria, pois, interessante, em sala de aula, que os alunos percebessem o "comportamento matemático" dos números envolvidos na figura inicial, assim trabalhada:

 

Saliente-se, então, que os valores a, c, d, e e f pertencem todos ao conjunto dos números triangulares, pelo que a próxima linha terá de ser a seguinte:

 

Sendo assim, substituindo as letras pelos respetivos valores numéricos, eis a confirmação dos números da última linha, bem como  da soma 91:

 

 

Em jeito de síntese, poder-se-á concluir que esta tarefa, aparentemente difícil, suscitou estes dois tipos de abordagem interessantes e complementares, permitido uma visão da Matemática como sendo a ciência dos padrões e em que os conceitos se conetam entre si!

 

Como sugestão, analise qual o conjunto de números a acrescentar na próxima linha da figura seguinte. Explique o critério de seleção:

 

 

Conexões matemáticas e pensamento algébrico

Abril 12, 2010

Paulo Afonso

Conectar múltiplos conceitos entre si permite evidenciar a Matemática como sendo uma ciência harmoniosa, bela, muito bela, capaz de encantar os mais cépticos na hora da resolução de actividades, designadamente as de tipo recreativo. A figura seguinte pretende ser usada como essência para promovermos algumas interessantes reflexões a este respeito:

 

 

Importa, em primeiro lugar, tentar descrever a figura, isto é, como ela é constituída:

 

- Note-se que se trata de uma figura quadrada, formada exclusivamente por quadrados mais pequenos, todos eles geometricamente iguais.

 

- Além disto, ela tem quatro anéis, formados por números naturais consecutivos. No 1º caso começa no 1 e termina no 4, no 2º caso começa no 5 e termina mo 16, no 3º caso começa no 17 e termina no 36 e o último anel começa-se com o 37 e termina-se no 64.

  

 

- O número de quadrados numéricos unitários de cada anel obedece a uma regularidade: 4, 12, 20, 28, isto é, sendo "a" o número de ordem de cada anel, a lei geral que determina o número de quadrados por anel é a seguinte: 4 + a x 8, pertencendo "a" ao conjunto dos números inteiros.

 

- É interessante analisar-se o conjunto dos maiores números de cada anel: 4, 16, 36 e 64. Certamente terá observado que se trata dos quadrados dos quatro primeiros números pares, isto é: 22, 42, 62 e 82.

 

- Será interessante perguntarmo-nos onde estarão posicionados os quadrados dos quatro primeiros números ímpares?: 1, 9, 25, 49.

 

Uma observação mais atenta permite a constatação de que todos eles estão numa mesma linha oblíqua:

 

  

Tendo em conta as análises acabadas de fazer, qual será o maior número do próximo anel? Será que o quadrado do próximo número ímpar continuará na mesma linha oblíqua dos quadrados dos números ímpares anteriores?

 

A figura seguinte certifica que estaremos na presença do quadrado do próximo número par (100) e na presença do quadrado do próximo número ímpar (81), que é o quadrado do 9:

 

 

Se a figura se prolongasse até ao vigésimo anel, qual seria o maior valor desse anel? E qual seria o quadrado do número ímpar a dar continuidade à linha dos quadrados do números ímpares?

Múltiplos conceitos matemáticos resultantes de uma observação apaixonada

Novembro 16, 2009

Paulo Afonso

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 12; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n2), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n3):

a) 1 = 13

b) 8 = 23

c) 27 = 33

d) 64 = 43

e) 125 = 53

f) ... 

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

Relações aritméticas e pensamento algébrico

Novembro 09, 2009

Paulo Afonso

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:

 

 

* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.

 

 

Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:

 

 

De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:

 

 

A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.

Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5  por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.

Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?

Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:

 

Nº da Coluna Respectivo Valor Central
1 1
2 3
3 7
4 13
5 21
... ...
n ?

 

Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!

Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:

12 - 0 = 1

22 - 1 = 3

32 - 2 = 7

42 - 3 = 13

52 - 4 = 21

Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n2 - (n - 1).

Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n2 - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.

A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!

Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).

A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:

 

Número da Coluna Respectivo Valor Inicial
1 1
2 2
3 5
4 10
5 17
... ...
n ?

 

Note-se que:

1 = 12 - 2 x 1 + 2

2 = 22 - 2 x 2 + 2

5 = 32 - 2 x 3 + 2

10 = 42 - 2 x 4 + 2

17 = 52 - 2 x 5 + 2

Assim n2 - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).

Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?

Pensamento algébrico

Outubro 15, 2009

Paulo Afonso

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.

Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

b) 1, 8, 27, 64, ... 

c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:

Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.

Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:

1

3          5

7          9          11

13          15          17          19

...

Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?

Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.

Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.

Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3 números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.

Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.

Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.

Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.

Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?

Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte: 

 Nº da fila  Último número da fila
 1  1
 2  5
 3  11
 4  19
 ...  ...

Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:

1 = 1 x 2 - 1

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 11

19 = 4 x 5 - 1

Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.

Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.

Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?

2

4          6          8

10          12          14          16          18

20          22          24          26          28          30          32

...

Regularidades envolvendo números quadrados

Janeiro 12, 2009

Paulo Afonso

Como tenho vindo a referir em artigos anteriores, as regularidades, sequências ou padrões numéricos são um tema muito apreciado no âmbito da recreação matemática.

O exemplo que escolhi para reflexão, a propósito deste tema, é adaptado, e expandido, a partir de uma tarefa proposta por Carlo Fabretti, no livro intitulado "El libro del genio matemático", publicado pelas Ediciones Martínez Roca (Barcelona) em 1999.

Imagine-se solicitado(a) a interpretar o padrão numérico que a seguir apresento. Como prova da sua compreensão dê-lhe continuidade: 

11 - 2 = 9

1111 - 22 = 1089

111111 - 222 = 110889

11111111 - 2222 = 11108889

...

Num contexto de recreação matemática a resposta correcta  (111111111 - 22222 = 1111088889) para esta tarefa poderia surgir com maior ou menor fundamentação teórica.

Parece-me que uma aproximação interessante, e que não exigia grandes conhecimentos matemáticos, passaria pela análise da disposição dos três conjuntos de algarismos envolvidos em cada igualdade. Assim, (a) percebe-se que o aditivo é sempre formado por um número par de uns; (b) o subtractivo, formado exclusivamente por números dois, vai aumentando uma unidade em cada nova igualdade que surge; (c) o resto, excesso ou diferença, com a excepção do primeiro caso, apresenta sempre o valor zero como ponto médio entre o conjunto de uns e o conjunto de oitos, ambos com o mesmo número de elementos, seguidos sempre do número nove.

A tabela seguinte pode evidenciar as regularidades envolvidas: 

ADITIVO SUBTRACTIVO RESTO, EXCESSO OU DIFERENÇA
Nº de uns Nº de dois Nº de uns Nº de zeros Nº de oitos Nº de noves
2 11 1 2 0   0   0   1 9
4 1111 2 22 1 1 1 0 1 8 1 9
6 111111 3 222 2 11 1 0 2 88 1 9
8 11111111 4 2222 3 111 1 0 3 888 1 9
10 1111111111 5 22222 4 1111 1 0 4 8888 1 9

A última linha da tabela anterior evidencia, pois, a continuidade do padrão aí descrito: 1111111111 - 22222 = 1111088889.

Remetendo esta situação para o contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos pudessem constatar que o número de dois de cada subtractivo é sempre metade do número de uns do respectivo aditivo, pelo que este valor tem sempre um número par de elementos.

Além disto, também seria interessante concluir que o resultado de cada subtracção representa sempre um número que é múltiplo de nove.

Contudo, porventura o mais interessante seria concluírem que cada um desses resultados se trata de um número quadrado, pois: 9 = 32, 1089 = 332, 110889 = 3332, 11108889 = 33332.

De facto, pegando-se no exemplo 111 - 22, podemos estabelecer o seguinte desenvolvimento numérico:

1111 - 22 =

= 1111 - 2 x 11 =

= 1111 - 11 - 11 =

= 1100 - 11 =

= 11 x (100 - 1) =

= 11 x 99 =

= 11 x 9 x 11 =

= 11 x 11 x 9 =

= 112 x 9 =

= 112 x 32 =

= (11 x 3)2 =

= 332 = (número quadrado)

= 1089

Percebida esta demonstração, facilmente se percebe o caso seguinte:

111111 - 222 =

= 111111 - 2 x 111 =

= 111111 - 111 - 111 =

= 111000 - 111 =

= 111 x (1000 - 1) =

= 111 x 999 =

= 111 x 9 x 111 =

= 1112 x 32 =

= (111 x 3)2 =

= 3332 (número quadrado)

= 110889

Como extensão deste desafio os alunos poderiam ser desafiados a comparar os resultados obtidos agora com estes novos que apresento a seguir:

18

2178

221778

22217778

...

Admitindo que descobriam facilmente que este novo padrão numérico representava o dobro de cada resultado da tarefa acabada de analisar, investigue quais seriam, para cada caso, os respectivos aditivos e subtractivos?

Explorando números ímpares

Novembro 12, 2008

Paulo Afonso

As seguintes figuras geométricas são formadas por vários triângulos. O número de triângulos existentes em cada fila é sempre ímpar:  

Continuando o padrão geométrico anterior, quantos triângulos formarão a décima figura?

Como actividade de recreação matemática, os resolvedores poderão resolvê-la através do desenvolvimento do  seguinte padrão numérico:

Figuras

Nº de triângulos envolvidos na sua construção

                                                   1

                                                   4 = 1 + 3

                                                   9 = 4 + 5

                                                 16 = 9 + 7

                                                 25 = 16 + 9

                                                 36 = 25 + 11

                                                 49 = 36 + 13

                                                 64 = 49 + 15

                                                 81 = 64 + 17

10ª

                                               100 = 81 + 19

Contudo, em contexto de sala de aula, os alunos terão que ser levados a concluir que o número de triângulos existentes em cada figura triangular coincide com o respectivo número da sequência de números quadrados, cuja lei de formação é n2, sendo n um número natural.

Sendo assim, para se encontrar de imediato o número de triângulos envolvidos numa destas figuras quaisquer, basta elevar ao quadrado o número de ordem dessa figura.

Centrando a nossa atenção nos números quadrados, podemos concluir, pois, que todos eles resultam da adição de números ímpares consecutivos:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Por sua vez, cada um desses valores pode ser obtido através das mesmas parcelas, mas agrupadas de forma diferente da anterior:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + ( 1 + 5)

16 = (1 + 5) + ( 3 + 7)

25 = (3 + 7) + ( 1 + 5 + 9)

36 = (1 + 5 + 9) + ( 3 + 7 + 11)

49 = (3 + 7 + 11) + (1 + 5 + 9 + 13)

...

Se a nossa atenção passar a incidir sobre os valores das somas parcelares que originam os números quadrados, verificaremos que os valores envolvidos são os seguintes:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + 6

16 = 6 + 10

25 = 10 + 15

36 = 15 + 21

49 = 21 + 28

...

Ora, como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, os valores 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... fazem parte da fantástica sequência de números triangulares, pois originam as seguintes figuras:

Destas observações conclui-se, pois, que qualquer número quadrado também resulta da adição de números triangulares consecutivos, cuja lei geral é (n2 + n) : 2.

Voltando aos números ímpares, os mesmos podem sem escritos da seguinte forma:

1

3 + 5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 29

...

Nestas circunstâncias, a soma em cada linha também origina um regularidade ou padrão muito interessante:

1

8

27

64

125

...

Trata-se da sequência dos números cúbicos, de lei geral n3, pois:

1 = 13

8 = 23

27 = 33

64 = 43

125 = 53

...

Perante este padrão como poderia resolver a seguinte situação problemática: "Quais os números ímpares consecutivos cuja soma origina o décimo número cúbico?"

Sugestão: associe a ordem de cada número cúbico ao número de parcelas de números ímpares que irá usar, bem como à forma como vários números ímpares consecutivos se relacionam entre si.

 

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