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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Um caso prático de números tetraédricos - empilhando esferas

Fevereiro 08, 2010

Paulo Afonso

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

 

 

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

 

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

 

 

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

 

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

 

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

  

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

 

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

 

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n2 + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (62 + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

 

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

 

Eis a respectiva figura:

 

 

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

 

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

 

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

 

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

 

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações, tal como já tive oportunidade de analisar num dos artigos deste blog: (3C3, 4C3, 5C3, 6C3, 7C3, 8C3, 9C3, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

 

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

 

 

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido. 

Números tetraédricos e conexão ao triângulo de Pascal e ao tema das combinações

Junho 22, 2009

Paulo Afonso

Os números figurados já foram várias vezes objecto de reflexão neste blog. Hoje não vou escrever exclusivamente ao nível da geometria do plano mas, também, ao nível do espaço.

Assim, como actividade de recreação matemática tente dar continuidade à seguinte sequência numérica:

1     4     10     20     ____

Provavelmente descobrirá a relação numérica evidenciada na tabela seguinte:

Números da sequência Sua obtenção
1 1
4 1 + 3
10 1 + 3 + 6
20            1 + 3 + 6 + 10         

Os valores existentes na coluna da direita da tabela permitem concluir que os números da sequência inicial podem ser obtidos através de adições de um determinado tipo de números figurados, os números triangulares (1, 3, 6, 10, etc.).

Tendo em conta que o próximo número triangular é o 15, isso significa que o número que dá continuidade à sequência inicial será o resultado de 1 + 3 + 6 + 10 + 15, isto é, o 35.

Tal como no caso dos números triangulares, o triângulo de Pascal também contempla a sequência numérica aqui proposta:

Esta figura permite confirmar que é o 35 o número que dá continuidade à sequência inicial. Além disto, como a seguir ao 35 surge o 56, isto quererá dizer que o 56 é a soma dos seis primeiros números triangulares (1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21), aliás como confirma o padrão stick do triângulo de Pascal.

Note que com uma forma parecida ao stick de hóquei em patins, qualquer adição envolvendo números triangulares consecutivos origina uma soma que é um número que faz parte da nossa sequência inicial:

Em contexto de sala de aula, além das conexões agora estabelecidas envolvendo esta sequência numérica, será desejável que os alunos descubram o nome deste fascinante conjunto numérico.

As imagens seguintes pretendem ajudar nessa designação:

1 4 10

As imagens anteriores evidenciam a configuração de figuras tetraédricas, pelo que esta sequência numérica deve ser designada como sendo a sequência de números tetraédricos.

Tendo em conta a explanação agora feita, a próxima figura tetraédrica corresponde ao valor 20:

Para além do estabelecimento desta conexão numérica e geométrica, também seria desejável que os alunos pudessem associar estes números ao tema das combinações. Aliás, num artigo anterior associei o triângulo de Pascal às combinações, pelo que é fácil perceber como se obtém cada um destes números por essa via:

 

 

De facto, a lei geral que origina os números tetraédricos assenta nas combinações de "n", três a três, com "n" maior ou igual a 3.

Tendo em conta as reflexões que suportam este texto, como proceder para encontrar o valor do décimo número tetraédrico? Quais os números triangulares sucessivos que lhe darão origem?

 

Informação aos meus leitores: Como entramos em período de férias lectivas, apenas retomarei a escrita neste blog na primeira semana de Setembro de 2009. Até lá limitar-me-ei a publicar alguns comentários que entendam enviar-me, ou responder a algumas dúvidas ou sugestões de temas para o blog.

Agradeço a todos a paciência de lerem os meus escritos, produzidos ao longo deste último ano, que representou mais de 61 mil entradas no blog.

Gostaria de agradecer individualmente a todos que o visitam, desde todo o Portugal e passando por Japão, Angola, Moçambique, Polónia, Brasil, México, Espanha, Perú, Bélgica, República Dominicana, Canadá, EUA, entre outros, e, sobretudo, àqueles que me deixam comentários, sugestões, opiniões, etc.

Um grande abraço para todos e até Setembro!

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

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