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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Conexões matemáticas envolvendo o conceito de metade, o conceito de combinações, o conceito de decomposição de números através de adições e o conceito de número triangular

Novembro 19, 2011

Paulo Afonso

Num dos artigos deste blog (http://recreamat.blogs.sapo.pt/16342.html) refleti há tempos acerca de como se poderiam arrumar três ovos numa caixa de ovos com a capacidade para meia dúzia de ovos. Na altura pude associar este desafio ao conceito de números triangulares que, como sabemos, resultam da lei geral (n2 + n) : 2. Recordando alguns destes números, destaco os primeiros quatro por voltarem a estar envolvidos na reflexão que vou apresentar neste meu novo artigo. Aqui estão: 1, 3, 6 e 10.

 

Desta vez, o desafio é encontrar todas as de pintar metade de um painel retangular, formado por seis quadriculas geometricamente iguais, como ilustra a figura seguinte:

 

 

Esta tarefa pode permitir várias sugestões, como sejam as seguintes:

 

 
  
  

 

Como podemos observar nas figuras acima, poder-se-á (a) pintar um linha inteira, (b) pintar os extremos de uma linha e o quadrado central da outra linha, (c) pintar a coluna do meio e a quadrícula da esquerda da linha de cima, (d) pintar a coluna da direita e a quadrícula do meio da linha de baixo, (e) pintar a coluna da esquerda e a quadrícula da direita da linha de baixo ou (f) pintar na linha de cima a quadrícula da esquerda e pintar na linha de baixo a quadrícula do meio e a da direita. 

 

Claro está que em sala de aula esta tarefa poderia constituir-se como sendo uma tarefa de investigação, por forma a que os alunos, em trabalho de pequenos grupos, pudessem investigar todas as possibilidades de resposta.

 

Ora, uma aproximação por tentativa e erro poderia ser uma abordagem que levasse os alunos ao sucesso da tarefa, descobrindo as 20 possibilidades de realizar este desafio. Contudo seria interessante incutir nos alunos uma forma organizada de apresentar os resultados do seu trabalho. Por isso, vou sugerir uma possível apresentação dos mesmos, com base em algum critério, que explicarei a seguir.

 

Assim, um primeiro conjunto de figuras será o que levar em linha de conta a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio, da linha de cima. Já a terceira quadrícula deste primeiro conjunto de imagens não será fixa, pois será uma das restantes. Teremos, pois, 4 figuras com base neste critério:

 

   

 

De seguida apresento mais três figuras em que as quadrículas fixas são a do canto superior esquerdo e a do canto superior direito:

 

  

 

Por sua vez, as duas próximas figuras mantêm fixas as quadrículas do canto superior esquerdo e do canto inferior direito:

 

 

 

Por último falta uma figura que mantém fixas a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio da linha de baixo:

 

 

Ora, usando-se sempre a quadrícula do canto superior direito resultam, pois, 10 figuras diferentes.

 

Passemos, agora, a fazer um estudo semelhante para todas as figuras que mantêm fixa a quadrícula do meio da linha de cima. Se além desta se fixar a do canto superior direito, eis que resultam mais três novas figuras:

 

  

 

Fixemos, agora, além da quadrícula do meio da linha de cima, a quadrícula do canto inferior direito. Originar-se-ão duas novas imagens:

 

 

 

Por último, fixando-se ainda a quadrícula do meio da linha de cima e, agora, a quadrícula do meio da linha de baixo, eis que surge uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se sempre a quadrícula do meio da linha de cima originaram-se mais 6 figuras.

 

Passemos, agora, a fixar a quadrícula do canto superior direito. Eis que se também se fixar a do canto inferior direito surgem duas novas figuras:

 

 

 

Por último, fixando-se novamente a quadrícula do canto superior direito e, agora, a do meio da linha de baixo, eis que temos uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se a quadrícula do canto superior direito obtiveram-se mais 3 figuras.

 

Para finalizar esta apresentação de resultados, falta apenas fixar a coluna do canto inferior esquerdo. Eis a figura que resulta:

 

 

Em síntese, obtivemos mais 1 figura. Sendo assim, no total temos 10 + 6 + 3 + 1 = 20 figuras diferentes.

 

Note-se, pois, que cada parcela desta adição é um número triangular, como foi referido ao início desta reflexão.

 

Claro que dependendo do tipo de alunos, este valor 20 poderia ser obtido pelo cálculo das combinações de seis quadrículas, três a três:

 

 

Mas esta mesma tarefa poderia conectar-se a outros conteúdos matemáticos, como seja a decomposição de números através de adições. Para tal vamos investigar quantas somas diferentes conseguimos obter a partir de três parcelas diferentes, tendo por base a figura seguinte:

 

 

Obviamente que será fácil percebermos que a menor soma é 6, que resulta da seguinte adição: 1 + 2 + 3:

 

 

De seguida, surge a soma 7 através de uma nova adição 1 + 2 + 4:

 

 

para a soma 8, temos duas adições diferentes:

 

 1 + 2 + 5 1 + 3 + 4
 

 

Vejamos agora a soma 9. Podemos obtê-la através de três adições diferentes:

 

 1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 2 + 3 + 4
  

 

A soma 10 também pode ser obtida através de três diferentes adições:

 

 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5 2 + 3 + 5
  

 

O mesmo se passa com a soma 11:

 

 1 + 4 + 6 2 + 3 + 6 2 + 4 + 5
  

 

Para a soma 12 voltamos a ter só duas adições:

 

 1 + 5 + 6 3 + 4 + 5
 

 

O mesmo se passa para a soma 13:

 

 2 + 5 + 6 3 + 4 + 6
 

 

Para a soma 14 só existe uma adição possível: 3 + 5 + 6:

 

 

Por último, a soma 15 também só admite uma adição: 4 + 5 + 6:

 

 

Em síntese, tratou-se de outra forma o encontrar das 20 formas diferentes de obter metade da figura, neste caso conectada à operação adição, associando-a à decomposição de todas as somas possíveis de serem obtidas nas condições enunciadas nesta tarefa.

 

Note-se, também, que estas 20 formas diferentes de se obterem as dez somas possíveis obedecem a uma regularidade de natureza geométrica, que a figura seguinte permite evidenciar:

 

 

Fazer um estudo semelhante para todos os produtos que se poderão obter a partir da mesma figura, utilizando-se sempre três fatores diferentes:

 

Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

Setembro 17, 2011

Paulo Afonso

Quando somos confrontados com situações de Matemática Recreativa, nem sempre conseguimos dar resposta imediata aos desafios colocados. Apostar na nossa capacidade de persistência acaba, muitas vezes, por ser uma boa tomada de decisão. O exemplo com que inicio mais um ano letivo, refletindo sobre esta importante área da recreação matemática, pretende debater este aspeto. Eis o desafio que coloco aos meus leitores:

 

Analise o conjunto de dados numéricos que compõem a figura seguinte e proponha os valores da próxima linha. Qual o critério para a essa sua seleção?

 

 

Provavelmente terá dificuldade, no imediato, de avançar com uma resposta válida, pois aparentemente os números da figura poderão parecer não ter relação entre si. Contudo, muitas poderão ser as abordagens a realizar e, o importante é que, enquanto resolvedores motivados para este tipo de desafios, não desistamos face a esta eventual dificuldade inicial.

 

Uma possível estratégia de resolução poderá passar por se calcular a soma em cada linha, no sentido de se averiguar se existe algum tipo de padrão ou regularidade numérica. Façamo-lo, então:

 

 

Curiosamente poderemos constatar que existe uma regularidade numérica entre as somas obtidas. De fato, de uma soma para a seguinte incrementa-se um valor que é sempre um número quadrado (22, 32, 42 e 52). Ora, continuando com este critério, saber-se-á a soma da linha seguinte, pois basta acrescentar à soma da última linha o valor 36, que é o quadrado de 6. Essa soma será, pois, o valor 91.

 

Significa isto, que os valores da figura inicial poderão ser substituídos exclusivamente por números quadrados:

 

 

Face a esta importante descoberta, ficará fácil avançar com uma proposta de valores para a linha que é solicitada na tarefa. A figura seguinte elucida a continuidade do padrão descoberto, confirmando a soma inferida acima:

 

 

Fica, pois, resolvida uma tarefa que inicialmente parecia ter um grau de dificuldade elevado. Desenvolver em cada um de nós a capacidade de persistência é, pois, um dos objetivos deste tipo de tarefas que proponho para reflexão conjunta.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos, além de descobrirem este tipo de estratégia de resolução, não ficassem satisfeitos com ela e tentassem outras abordagens que a tarefa suscita.

 

Uma possível abordagem, diferente da sugerida acima, passa por se estabelecer uma relação aritmética a partir dos valores iniciais da tarefa:

 

Note-se que a relação estabelecida na figura acima possibilita o evidenciar de uma importante conexão matemática aos números triangulares. De fato, todos os fatores que multiplicam o valor 2, e o último valor de cada linha (1, 3, 6, 10, 15, ...), fazem parte deste conjunto de números figurados, tema ao qual já dedicámos muitos artigos neste blog.

 

Há, pois, uma lógica numérica que pode ser aplicada em todos os casos. De uma linha para a seguinte dobra-se o último número (triangular) da linha anterior e adiciona-se o próximo número triangular. Ora, tendo em conta este raciocínio, será fácil propor a próxima linha, que contempla já o próximo número triangular - 21:

 

 

Seria, pois, interessante, em sala de aula, que os alunos percebessem o "comportamento matemático" dos números envolvidos na figura inicial, assim trabalhada:

 

Saliente-se, então, que os valores a, c, d, e e f pertencem todos ao conjunto dos números triangulares, pelo que a próxima linha terá de ser a seguinte:

 

Sendo assim, substituindo as letras pelos respetivos valores numéricos, eis a confirmação dos números da última linha, bem como  da soma 91:

 

 

Em jeito de síntese, poder-se-á concluir que esta tarefa, aparentemente difícil, suscitou estes dois tipos de abordagem interessantes e complementares, permitido uma visão da Matemática como sendo a ciência dos padrões e em que os conceitos se conetam entre si!

 

Como sugestão, analise qual o conjunto de números a acrescentar na próxima linha da figura seguinte. Explique o critério de seleção:

 

 

Pontes geométricas - conexão aos números triangulares

Outubro 07, 2010

Paulo Afonso

Atravessar um rio dispondo apenas de uma pequena barcaça costuma estar associado a vários desafios de recreação matemática. De facto, uma rápida pesquisa na Internet, sobre (a) o pastor, o lobo, a ovelha e a couve, (b) o pastor, o gato, o canário e o saco de alpista, ou (c) os canibais e os missionários, entre outros, permite constar que são apenas alguns dos desafios de travessia de um rio que existem. Por norma exigem uma apurado raciocínio e a escolha de uma boa estratégia de resloução, como seja o esquema ou figura.

 

Contudo, a minha reflexão não irá incidir nesse tipo de modo de atravessar um rio, pois em vez de uma barcaça pretende-se atravessá-lo a pé através de pontes flutuantes, formadas exclusivamente por objectos geométricos.

 

Veja-se a ponte seguinte e tente atravessar para a margem direita do rio seguindo a seguinte regra: só se pode deslocar para baixo, sempre no sentido esquerda, direita. Quantas são as possibilidades que existem?

 

Numa perspectiva de resolução sistematizada, seria interessante atribuir a cada círculo uma referência, como seja um número ou uma letra:

 

De seguida poder-se-á fazer uma lista organizada, evidenciando todas as possibilidades que existem:

 

A-E-I

B-F-J

C-G-K

 

A-E-F-J

B-F-G-K

 

A-E-F-G-K

 

Existem, pois, 3 + 2 + 1 possibilidades, isto é, 6 possibilidades diferentes de atravessar esta ponte, de acordo com as regras estipuladas.

  

Imaginemos, agora, que se aumentava um novo objecto em cada uma das margens, bem como na coluna central, como ilustra a figura seguinte:

  

 

Mantendo as condições ou regras do enunciado anterior, quantas serão, agora, as possibilidades da travessia do rio?

  

Eis novamente a figura referenciada em cada um dos objectos geométricos:

  

  

Vejamos as possibilidades:

  

A-F-K

B-G-L

C-H-M

D-I-N

  

A-F-G-L

B-G-H-M

C-H-I-N

  

A-F-G-H-M

B-G-H-I-N

  

A-F-G-H-I-N

  

Note-se que as possibilidades passaram a ser 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

  

Continuando a aumentar um objecto geométrico em cada margem e na coluna central, eis como fica a figura:

 

Atribuindo as respectivas marcas:

 

Vejamos a análise:

 

A-G-M

B-H-N

C-I-O

D-J-P

E-K-Q

 

A-G-H-N

B-H-I-O

C-I-J-P

D-J-K-Q

 

A-G-H-I-O

B-H-I-J-P

C-I-J-K-Q

 

A-G-H-I-J-P

B-H-I-J-K-P

 

A-G-H-I-J-K-Q

 

Verificam-se, pois, 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 possibilidades.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos fossem solicitados a identificar ou descobrir a regularidade numérica que suporta este conjunto de tarefas. Seria desejável que estabelecessem a seguinte relação: 6 + 4 = 10 e 10 + 5 = 15, no sentido de proporem a seguinte solução que seria 15 + 6 = 21 possibilidades de atravessar o rio na condição de se aumentar mais um objecto geométrico em cada margem e na coluna do meio.

 

Além disto, também seria desejável conectar esta regularidade ou padrão numérico ao tema dos números figurados, designadamente os números triangulares. De facto, como já tive oportunidade de reflectir em artigos anteriores, a sequência de números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...) é gerada pelo seguinte algoritmo (n2 + n) : 2, sendo "n" um número natural.

 

Sendo assim, poder-se-á reflectir acerca de como será a disposição dos objectos geométricos nas margens e na coluna centraldo rio, de modo a que o número de possibilidades de o atravessar coincida com o 10º número triangular. Qual a sua sugestão?

Análise numérica de padrões de natureza geométrica

Fevereiro 22, 2010

Paulo Afonso

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

 

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

 

Eis as figuras:

 

  

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

 

 

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

 

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

 

3     9     18     30

 

Vejamos a seguinte regularidade:

 

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

 

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

 

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

 

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

 

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

 

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

 

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

 

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n2 + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

 

Em síntese, poder-se-á concluir que cada  figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

 

1

+

1 x 2

3

+

2 x 3

6

+

3 x 4

10

+

4 x 5

 

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n2 + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n2 + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n2 + n) / 2 + n2 + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n2 + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (102 + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

55

+

10 x 11

 

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?

Um caso prático de números tetraédricos - empilhando esferas

Fevereiro 08, 2010

Paulo Afonso

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

 

 

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

 

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

 

 

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

 

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

 

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

  

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

 

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

 

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n2 + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (62 + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

 

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

 

Eis a respectiva figura:

 

 

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

 

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

 

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

 

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

 

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações, tal como já tive oportunidade de analisar num dos artigos deste blog: (3C3, 4C3, 5C3, 6C3, 7C3, 8C3, 9C3, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

 

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

 

 

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido. 

Arrumação de ovos e números triangulares

Abril 13, 2009

Paulo Afonso

Aparentemente a simples tarefa de arrumar ovos na respectiva caixa não tem por trás uma grande preocupação matemática, pois arruma-se se houver espaço e não se arruma se o espaço não existir, isto é, se a caixa já estiver completa.

Numa caixa onde se pode arrumar meia dúzia de ovos permite a opção de se arrumar um único ovo em 6 posições distintas (A, B, C, D, E, F):

 

E no caso de se pretenderem arrumar 3 ovos? Quantas possibilidades existem?

Repare-se que utilizando-se as posições A e duas das outras, existem 10 possibilidades:

 

 

 

 

Contudo, os ovos podem ser arrumados usando-se a posição B e duas das restantes, excepto a posição A. Logo, há mais 6 possibilidades:

 

  

Por sua, vez, se os ovos forrem arrumados na posição C e em duas outras posições, excepto as posições A e B, originam-se mais 3 possibilidades de arrumação:

  

Por fim, usando-se a posição D, a E e a F, ainda surge uma outra possibilidade de se arrumarem os três ovos:

Em síntese, existem 20 possibilidades de arrumar três ovos numa vulgar caixa com capacidade para meia dúzia de ovos. Repare-se na curiosidade matemática de as possibilidades estudadas em função da posição inicial ser a A, a B, a C ou a D estarem associadas à sequência de números triangulares (..., 10, 6, 3, 1).

E se em vez de se pretenderem arrumar 3 ovos, fossem 4? Quantas possibilidades existem? Também têm relação com os números triangulares?

O mundo mágico das conexões matemáticas

Dezembro 28, 2008

Paulo Afonso

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

 

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

 

B: - Sabendo que existem cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

 

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

 

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

 

Qual a resolução de cada um?

Explorando números ímpares

Novembro 12, 2008

Paulo Afonso

As seguintes figuras geométricas são formadas por vários triângulos. O número de triângulos existentes em cada fila é sempre ímpar:  

Continuando o padrão geométrico anterior, quantos triângulos formarão a décima figura?

Como actividade de recreação matemática, os resolvedores poderão resolvê-la através do desenvolvimento do  seguinte padrão numérico:

Figuras

Nº de triângulos envolvidos na sua construção

                                                   1

                                                   4 = 1 + 3

                                                   9 = 4 + 5

                                                 16 = 9 + 7

                                                 25 = 16 + 9

                                                 36 = 25 + 11

                                                 49 = 36 + 13

                                                 64 = 49 + 15

                                                 81 = 64 + 17

10ª

                                               100 = 81 + 19

Contudo, em contexto de sala de aula, os alunos terão que ser levados a concluir que o número de triângulos existentes em cada figura triangular coincide com o respectivo número da sequência de números quadrados, cuja lei de formação é n2, sendo n um número natural.

Sendo assim, para se encontrar de imediato o número de triângulos envolvidos numa destas figuras quaisquer, basta elevar ao quadrado o número de ordem dessa figura.

Centrando a nossa atenção nos números quadrados, podemos concluir, pois, que todos eles resultam da adição de números ímpares consecutivos:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Por sua vez, cada um desses valores pode ser obtido através das mesmas parcelas, mas agrupadas de forma diferente da anterior:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + ( 1 + 5)

16 = (1 + 5) + ( 3 + 7)

25 = (3 + 7) + ( 1 + 5 + 9)

36 = (1 + 5 + 9) + ( 3 + 7 + 11)

49 = (3 + 7 + 11) + (1 + 5 + 9 + 13)

...

Se a nossa atenção passar a incidir sobre os valores das somas parcelares que originam os números quadrados, verificaremos que os valores envolvidos são os seguintes:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + 6

16 = 6 + 10

25 = 10 + 15

36 = 15 + 21

49 = 21 + 28

...

Ora, como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, os valores 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... fazem parte da fantástica sequência de números triangulares, pois originam as seguintes figuras:

Destas observações conclui-se, pois, que qualquer número quadrado também resulta da adição de números triangulares consecutivos, cuja lei geral é (n2 + n) : 2.

Voltando aos números ímpares, os mesmos podem sem escritos da seguinte forma:

1

3 + 5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 29

...

Nestas circunstâncias, a soma em cada linha também origina um regularidade ou padrão muito interessante:

1

8

27

64

125

...

Trata-se da sequência dos números cúbicos, de lei geral n3, pois:

1 = 13

8 = 23

27 = 33

64 = 43

125 = 53

...

Perante este padrão como poderia resolver a seguinte situação problemática: "Quais os números ímpares consecutivos cuja soma origina o décimo número cúbico?"

Sugestão: associe a ordem de cada número cúbico ao número de parcelas de números ímpares que irá usar, bem como à forma como vários números ímpares consecutivos se relacionam entre si.

 

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