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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Relógios matemáticos

Janeiro 28, 2012

Paulo Afonso

A Matemática, como ciência, possibilita que muitos dos seus conceitos, de natureza abstrata, possam ser aplicados a situações da vida quotidiana das pessoas. Não me refiro exclusivamente ao cálculo mental, tão necessário para a realização de estimativas na hora de fazermos algumas compras num eventual supermercado, mas sim a múltiplas outras aplicações da Matemática nas nossas rotinas diárias.

 

Baseado neste pressuposto, e dando-lhe um cunho marcadamente investigativo e lúdico, gostaria de desafiar os leitores deste blog à realização de uma pequena investigação envolvendo apenas quatro vezes o número 3 para se obter o valor 3. Para tal é permitido a utilização do cálculo aritmético simples (adições, subtrações, multiplicações e divisões), parêntesis curvos e retos, a raíz cúbica, o fatorial, a junção de alguns destes números 3 para obter, por exemplo, 33 ou 333 ou potências de base três e expoente três.

 

A título de exemplo, o 3 pode ser obtido através dos seguintes cálculos:

 

 

 

 

 

De facto, usando-se apenas as operações aritméticas (exemplo da esquerda) ou o fatorial (exemplo do meio) ou o radical de índice 3 (exemplo da direita), obtém-se sempre o valor 3.

 

E se o desafio fosse, agora, o de se obter o valor 11, usando o mesmo critério anterior?

 

Eis três exemplos, que voltam a utilizar alguns conceitos matemáticos, além da priorização de algumas operações aritméticas em relação a outras. Refiro-me ao conceito de fatorial de um número e às potências de base três com expoente três:

 

11 = 3! + 3! - 3 : 311 = (33 + 3!) : 311 = 3 x 3 + (3! : 3)

 

Será que este desafio também obtém resposta favorável para os restantes números pertencentes a um mostrador de relógio, isto é, será possível obter os números, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12 usando o critério agora utilizado para a obtenção dos números 3 e 12?

 

Esta tarefa de recreação matemática, em conceito de sala de aula, pode suscitar a divisão da turma em pequenos grupos, de modo que haja divisão dos números que são objeto de investigação.

 

Eis uma possível solução para a tarefa proposta:

 

1 = (3 + 3) : ( 3 + 3)

 

2 = 3 : 3 + 3 : 3

 

4 = 3 + 33 - 3

 

5 = (3 + 3) : 3 + 3

 

6 = 3 + 3 + 3 - 3

 

7 = 3 : 3 + 3 + 3

 

8 = 3 x 3 - (3 : 3)

 

9 = 3 x 3 + 3 - 3

 

10 = 3 x 3 + (3 : 3)

 

12 = 3 + 3 + 3 + 3

 

Sendo assim, eis como poderia ficar um hipotético relógio de parede de uma sala de aula de Matemática, elaborado apenas com quatro vezes o número 3 para cada valor do mostrador:

 

 

Será que é possível conceber um relógio semelhante a este, mas envolvendo sempre quatro vezes o valor 4 para cada valor do respetivo mostrador?

 

Após investigação aturada, seria interessante que surgisse uma proposta semelhante a esta:

 

 

 

 

Faça um estudo semelhante para um novo mostrador de relógio, formado apenas por quatro vezes o número 5 para cada valor desse mostrador.

 

Estratégias de cálculo mental em multiplicações e divisões

Janeiro 04, 2010

Paulo Afonso

Dando continuidade ao artigo anterior, esta semana vou sugerir algumas estratégias de cálculo mental para o caso de os cálculos envolverem multiplicações e divisões. Uma vez mais, reitero a ideia de que o cálculo mental tem de ser um acto compreensivo. Prever ou antecipar resultados operatórios contribui substancialmente para o desenvolvimento do sentido crítico de apreciação da razoabilidade dos resultados obtidos por via do cálculo mental.

 

Iniciemos pela multiplicação. Como obter rapidamente o produto da seguinte operação: 5 x 86? Ora, recorrendo à estratégia de se obter uma dezena, podemos multiplicar o 86 por 10 e dividir o produto por 2. Vejamos 5 x 86 = 86 x 5 = 86 x (10 : 2) = 860 : 2 = 430. Já no caso seguinte, a estatégia passa por se obter uma centena: 86 x 50. Vejamos: 86 x 50 = 86 x (100 : 2) = 8600 : 2 = 4300.

 

Decompor um dos factores envolvidos na multiplicação é também uma poderosa estratégia de cálculo mental. Vejamo-la aplicada no seguinte caso: 8 x 33. Decompondo o 33 em 30 + 3, vem: 8 x 33 = 8 x 30 + 8 x 3 = 240 + 24 = 264. Veja-se uo seguinte caso semelhante: 4 x 59. A sua resolução pode ser a seguinte: 4 x (60 - 1) = 240 - 4 = 236.

 

Como proceder para o seguinte caso: 132 x 5?

 

Vejamos agora o caso da operação divisão. Como efectuar a divisão de 180 por 12? Veja-se que estes dois números permitem ser simplicados sucessivamente. Logo a estratégia de se fazerem simplificações sucessivas pode ser muito útil para casos como este. Vejamos:  180 : 12 = 90 : 6 = 45 : 3 = 15.

 

Casos há em que multiplicar pelo inverso de um dos factores é uma estratégia muito adequada. Eis dois exemplos:

(a) 37 : 0,5 = 37 x 2 = (35 + 2) x 2 = 70 + 4 = 74.

(b) 45: 0,2 = 45 x 2 = 90.

 

Como será para o seguinte caso: 184 : 5? 

Multiplicar com o minicomputador papy

Dezembro 14, 2009

Paulo Afonso

Depois dos três artigos anteriores dedicados sempre ao minicomputador papy, eis que o vou explorar agora para o caso da operação multiplicação. A melhor forma de o fazer é usar um exemplo.

Imaginemos que pretendíamos encontrar o triplo de 33. Como fazê-lo com este material estruturado?

A primeira coisa a fazer será registar o valor 33:

De seguida como se pretende multiplicar este valor por 3, então dever-se-á multiplicar por esse valor (3) cada uma das marcas já existentes no minicomputador papy:

Por fim, ter-se-á que analisar se a quantidade de marcas em cada célula respeita as regras de utilização deste material. Como referi nos artigos anteriores, em cada célula só poderá haver uma marca no máximo. Sendo assim, duas das marcas na casa branca da ordem das unidades, valendo cada uma um ponto, deverão originar uma marca de valor dois, a colocar na célula vermelha:

Logo, na célula branca só fica uma marca. De seguida, cada duas marcas da célula vermelha (valendo 2 + 2) deverão originar uma marca de valor quatro, a colocar na célula rosa:

Na célula vermelha da ordem das unidades não ficará qualquer marca e as duas marcas da célula rosa, valendo 4 + 4, deverão ser substituídas por uma marca de valor 8, a coloca na célula castanha:

Após estas movimentações das marcas na ordem das unidades, resulta nesta ordem apenas uma marca na célula castanha e outra na célula branca, representando, pois, a quantidade 9.

Façamos um processo análogo para o caso das ordem das dezenas:

 

Vejamos que na ordem das dezenas também só ficou uma marca na célula castanha, representando a quantidade 80 e outra na branca, representando a quantidade 10. Assim, o resultado final é 99, isto é, o triplo de 33 é 99:

Como usar este material para o caso de se pretender obter o produto de 765 por 2? 

Utilizar o minicomputador papy para a realização de subtracções

Dezembro 07, 2009

Paulo Afonso

Nos dois artigos anteriores tive a oportunidade de reflectir acerca da utilização do minicomputador papy tanto no registo de qualquer quantidade inteira, como na realização de adições envolvendo ou não transporte.

Desta vez irei evidenciar a sua importante utilização para o cálculo de subtracções com e sem empréstimo.

Vejamos o exemplo simples de se obter o resto, excesso ou diferença de 67 menos 25.

Porque o conceito de subtracção pressupõe que o aditivo vá anulando o subtractivo para que haja resto, excesso ou diferença, então teremos de recorrer a dois tipos de marcas diferentes: as do aditivo serão negras e as do subtractivo serão brancas. Na linha respeitante ao resto, excesso ou diferença começaremos por colocar a totalidade das marcas envolvidas na subtracção. vejamos a figura explicativa:

Repare-se que no resto, excesso ou diferença existem três células com os dois tipos de marcas. Logo, podem anular-se. Vejamos a figura:

Consta-se, pois, que o resultado desta subtracção é 42. De facto, 67 - 25 = 42. Assim, o esquema final será este:

Como será o caso de 67 - 35?

Façamos o esquema inicial:

Note-se que já podemos anular as marcas em três células. Contudo ainda fica uma marca do subtractivo por anular. Logo teremos de arranjar uma maneira de uma das marcas negras, colocada a representar um valor maior do que esssa marca branca, se transformar em marcas que lhe deram origem, para que se possa proceder à anulação da marca branca. Ora sabemos que a marca situada na célula dos "quarenta" se pode converter em duas marcas na célula dos "vinte". façamos esta conversão:

 

De seguida desaparece do minicomputador papy a marca dessa célula dos "quarenta" e uma das marcas da célula dos "vinte" terá de converter-se em duas marcas na célula das dezenas. Façamos esta nova conversão:

Fica, então, apenas uma marca na célula dos "vinte" e já podemos proceder à anulação da marca branca através de uma das duas marcas negras que passaram a existir na célula das dezenas. Façamos, pois, esta anulação:

Em síntese, o resto, excesso ou diferença desta subtracção é, pois, o valor 32. De facto, 67 - 35 = 32. O esquema final é, então, o seguinte:

Concluimos, assim, que este material estruturado pode ter muita utilizade na realização de subtracções simples, onde não haja a necessidade de envolver o conceito do empréstimo. Contudo, como poderá utilizar-se este material para a seguinte subtracção: 67 - 19?

Façamos o esquema inicial:

Constata-se que em apenas uma célula é possível fazer uma anulação de imediato:

A marca que vale 20 tem de se converter em duas de valor 10 devido à marca branca que está situada na célula dos grupos de dez:

Pode-se agora anular essa marca branca:

De seguida, a marca negra que ainda existe na célula dos grupos de dez terá de ser convertida em 8 + 2, devido à marca branga que vale 8:

Anulemos, então, a última marca branca:

Após a anulação de todas as marcas brancas convém ver se o que resta pode ficar como está ou se ainda carece de alguma alteração. Eis o que resta:

Ora, como sabemos que uma célula só pode ter uma carca de cada cor, significa que as duas marcas na célua do 2 terão de originar uma nova marca na célula do 4. Vejamos o esquema:

Por sua vez, ao haver algora duas marcas na célula do 4 deverão originar uma marca n acélula do 8:

Logo, o esquema final terá como rexultado o valor 48. De facto, 67 - 19 = 48. Eis o esquema final:

 

Teste, agora, este material na seguinte subtracção: 125 - 66.

Registar os números inteiros com o minicomputador Papy

Novembro 23, 2009

Paulo Afonso

Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:

Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.

Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:

Quantidade 1 Quantidade 2 Quantidade 4 Quantidade 8

Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:

3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 9 = 1 + 8

Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:

Quantidade 10 (10 + 0) Quantidade 12 (10 + 2)

Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?

A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:

Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?

Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:

1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:

Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:

Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:

 

 Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:

 

Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:

Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:

Eis o resultado final de 203 ovelhas:

Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte:

Faça uma resolução do mesmo tipo para a seguinte disposição incorrecta de marcas:

Explorando o número 666 - o número da besta!

Setembro 15, 2009

Paulo Afonso

Quem é conhecedor dos escritos biblícos, designadamente o Apocalipse de São João, conhece, certamente, o número da besta - 666.

Contudo, a minha reflexão não vai incidir em princípios mais ou menos exotéricos a que este número tem vindo a ser associado; antes prefiro associá-lo a aspectos matemáticos.

No livro de Philip Carter e Ken Russell (2006)* podemos constatar algumas curiosidades matemáticas em torno a este número, como sejam:

a) 666 = 6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63.

b) 666 = 16 - 26 + 36.

c) 666 = DCLXVI = X + C + D + V + I + L, etc.

 

* - Carter, P. e Russel, K. (2006). Matemática Divertida. Lisboa: Gradiva.

 

O desafio de recreação matemática que proponho é obter-se o o dígito que se repete no número da besta (6), usando-se as operações aritméticas básicas, os radicais ou outros conceitos matemáticos, como seja o factorial, nos seguintes casos:

a) 1   1   1 = 6

b) 2   2   2 = 6

c) 3   3   3 = 6

d) 4   4   4 = 6

e) 5   5   5 = 6

f)  6   6   6 = 6

g) 7   7   7 = 6

h) 8   8   8 = 6

i) 9   9   9 = 6

Eis uma possível solução para o primeiro caso: (1 + 1 + 1)! = 6. Quais os restantes casos?

Quadrados mágicos e a operação divisão

Junho 01, 2009

Paulo Afonso

Tal como no artigo anterior, vou dedicar esta nova reflexão ao tema dos quadrados mágicos devido ao excelente livro que me tem ocupado ultimamente o meu tempo dedicado à Matemática Recreativa. Refiro-me à tradução para Castelhano do livro de Henry Dudeney, intitulado - Acertijos, Desafíos e Tableros Matemáticos. Este livro foi publicado em 2007 pela editora RBA e o tema dos quadrados mágicos aparece com alguma frequência. Desta vez associá-lo-ei à operação divisão. Vejamos o seguinte exemplo:

Qual a razão pela qual o quadrado anterior pode ser rotulado de quadrado mágico?

Repare-se que:

a) 6 x 4 : 2 = 12

b) 18 x 8 : 12 = 12

c) 36 x 24 : 72 = 12

d) 6 x 36 : 18 = 12

e) 2 x 72 : 12 = 12

f) 4 x 24 : 8 = 12

g) 6 x 24 : 12 = 12

h) 36 x 4 : 12 = 12

A magia existe ao multiplicarem-se os dois valores extremos de uma qualquer linha horizontal, vertical ou oblíqua e dividir o produto obtido pelo respectivo valor central dessa linha. Neste caso, o valor mágico é 12.

O que acontecerá se se duplicar cada valor das nove células desta figura? Será que o quadrado resultante também será mágico? A sê-lo, qual será o valor mágico?

Vejamos a figura resultante:

Eis a operações a fazer e os respectivos resultados:

a) 12 x 8 : 4 = 24

b) 36 x 26 : 24

c) 72 x 48 : 144 = 24

d) 12 x 72 : 36 = 24

e) 4 x 144 : 24 = 24

f) 8 x 48 : 16 = 24

g) 12 x 48 : 24 = 24

h) 72 x 8 : 24 = 24

O valor mágico ao ser 24 permite que se conclua que a duplicação de cada valor da figura inicial implica obter um valor mágico que é o dobro do valor mágico inicial.

Sendo assim, quais serão os nove valores do quadrado mágico destas características quando o valor mágico for 120? 

Explorando operações aritméticas codificadas

Novembro 18, 2008

Paulo Afonso

Resolver operações aritméticas cujos valores foram substituídos por símbolos ou por letras é uma tarefa que frequentemente está associada à Matemática Recreativa.

Tendo em conta as palavras de David Wells (1999)*, "Loyd foi o primeiro a inventar «criptaritmos», enigmas em que deve ser completada uma adição onde alguns algarismos estão apagados, mas Dudeney foi o primeiro a substituir os algarismos desaparecidos por letras, formando uma mensagem com sentido - deu-lhe o nome de Aritmética Verbal [...]" (p. 108).

 

* - Wells, D. (1999). Antologia de Puzzles. Lisboa: Replicação.

 

Veja o seguinte exemplo "SEND + MORE = MONEY", aliás muito conhecido nesta área, e a respectiva resolução: 

                      SEND

                  + MORE


                   MONEY

                      9567

                  + 1085


                   10652

Possível explicação: Como a soma tem mais um dígito do que qualquer uma das parcelas, implica que o M seja necessariamente o 1. Já o S poderia ser o 8 ou o 9. Contudo, se se experimentar o valor 8 para o S, conclui-se que isso não é possível, pelo que se escolhe para esta letra o valor 9. Para que o O seja diferente do M, o valor de O não pode ser 1, mas, sim, zero. Descoberto que estiver o valor 5 para o E, os restantes valores serão fáceis de descobrir. 

Cada número seguinte é o resultado da adição dos valores envolvidos em linha ou em coluna. Descubra, agora, o valor de cada símbolo: 

J

#

O

$

10

J

J

J

#

5

O

O

J

J

8

O

O

O

$

13

$

$

$

$

16

$

$

#

#

12

16

17

14

17

 

O início da análise da tabela anterior pode ocorrer em vários sítios. Desde logo, a linha dos quatro óculos permite concluir, de imediato, que o valor de cada par de óculos é 4. Por outro lado, a segunda linha permite concluir que cada sorriso vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, conhecendo-se os valores destes três símbolos, é fácil concluir que cada bandeira vale 3. 

Descubra, agora, o valor de cada um desses quatro símbolos se: 

 J  +  $ =  O#  $      J   $    # =  O

Note que a operação multiplicação é determinante nesta actividade, pois permite experimentar todos os casos de um factor a multiplicar por si próprio, não perfazendo uma dezena. Temos os seguintes casos: 2 x 2 = 4 e 3 x 3 = 9. Contudo, só adicionando 9 a 3 é que ultrapassa a dezena, que é o exigido na adição existente na primeira coluna da tabela. Sendo assim, os óculos valem 3, o sorriso vale 9, a bandeira vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, a operação subtracção aí existente permite confirmar que 3 - 2 = 1. 

Altere, agora, a posição de cada número em cada uma das quatro operações seguintes para que as mesmas passem a estar correctas:

ADIÇÃO

SUBTRACÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

                  58            

                +  8


                  50

          56

         -  2


         76

            46

          x  5


            10

    41 : 64 = 6    

Uma possível estratégia de resolução passa por se fazer o estudo exaustivo das posições dos números. Faço-o apenas para o caso da adição, mas as restantes operações podem ser objecto de estudos semelhantes:

88 + 5 = 93

88 + 0 = 88

85 + 8 = 93

85 + 5 = 90

85 + 0 = 85

58 + 8 = 66

58 + 5 = 63

58 + 0 = 58

55 + 8 = 63

55 + 0 = 55

50 + 8 = 58

50 + 5 = 55

A tabela anterior permite concluir que existem três casos possíveis de a adição poder ser resolvida correctamente. Contudo, não parece razoável que uma das parcelas seja o zero, pelo que a resposta correcta é 50 + 8 = 58.

Termino com mais uma situação de Aritmética Verbal envolvendo, desta vez, as palavras AMOR e ROMA, em que a primeira é operada por um factor I (inverso), originando a segunda:

A  M  O  R

      x       I


R  O  M  A

Encontre, pois, o valor numérico de cada letra e explique o raciocínio empregue!

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