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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Conexões matemáticas envolvendo os números de fibonacci

Maio 12, 2012

Paulo Afonso

Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.

 

Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.

 

Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:

 

"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".

 

 

* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.

 

Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b) 1 + 1 + 1 + 2 = 5

c) 1 + 1 + 2 + 1 = 5

d) 1 + 2 + 1 + 1 = 5

e) 2 + 1 + 1 + 1 = 5

f) 1 + 2 + 2 = 5

g) 2 + 1 + 2 = 5

h) 2 + 2 + 1 = 5

 

Contudo, quando eu estava a tentar resolver a tarefa questionei-me acerca de quantas seriam as possibilidades de o gato subir a escada se a mesma só tivesse quatro degraus, ou três, ou dois, ou um degrau? Será que descobriria alguma regularidade? - pensei eu para mim mesmo.

 

Eis o resultado da minha investigação:

 

4 degraus - 5 casos possíveis3 degraus - 3 casos possíveis2 degraus - 2 casos possíveis1 degrau - 1 caso possível

a) 1 + 1 + 1 + 1 = 4

b) 1 + 1 + 2 = 4

c) 1 + 2 + 1 = 4

d) 2 + 1 + 1 = 4

e) 2 + 2 = 4

a) 1 + 1 + 1 = 3

b) 1 + 2 = 3

c) 2 + 1 = 3

a) 1 + 1 = 2

b) 2 = 2

a) 1 = 1

 

Ora, analisando o número de casos possíveis que fui conseguindo obter, depressa constatei que estava perante alguns números de  fibonacci: 1, 2, 3, 5 e 8. Em bom rigor estimei logo que seriam 13 casos possíveis se a escada tivesse seis degraus. Fiquei profundamente feliz por ver confirmada a minha conjetura:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

c) 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6

d) 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6

e) 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6

f) 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

g) 1 + 1 + 2 + 2 = 6

h) 1 + 2 + 1 + 2 = 6

i) 1 + 2 + 2 + 1 = 6

j) 2 + 2 + 1 + 1 = 6

k) 2 + 1 + 2 + 1 = 6

l) 2 + 1 + 1 + 2 = 6

m) 2 + 2 + 2 = 6

 

Claro está que esta situação poderia ser levada à sala de aula de matemática (porventura a partir de um 2º ano de escolaridade) como sendo uma potencial tarefa de investigação e seria desejável que os alunos pudessem analisar em conjunto o número de casos resultante para cada situação, de modo a poderem continuar a fazer previsões. Uma previsão seguinte seria o associar o próximo termo da sequência numérica de fibonacci a uma escada com mais um degrau do que o que acabei de descrever. Estaríamos, pois, a falar de 21 casos possíveis (8 + 13) para uma escada formada por 7 degraus.

 

Após a confirmação desta previsão seria interessante desafiar os alunos a responderem rapidamente a questões do tipo:

 

a) quantos degraus terá uma escada para que permita 55 formas diferentes de se poder subir?;

b) uma escada com dez degraus quantas formas diferentes existem de a poder subir?

 

Mas esta sequência numérica encerra outras surpresas, nomeadamente uma forte conexão a outra sequência numérica: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Qual poderá ser essa ligação forte?

 

Ora, esta tarefa carece de uma investigação cuidada, porque a única coisa que sabemos é que esta sequência deve resultar de operações matemáticas a exercer sobre os números de fibonacci.

 

Dependendo do tipo de resolvedor que se sinta desafiado por esta tarefa, espera-se que possa experimentar usar não a adição de dois números de fibonacci consecutivos mas, sim, o seu produto. Vejamos:

 

a) 1 x 1 = 1

b) 1 x 2 = 2

c) 2 x 3 = 6

d) 3 x 5 = 15

e) 5 x 8 = 40

f) 8 x 13 = 104

g)13 x 21 = 273

...

 

Confirma-se, pois, que cada termo da sequência numérica proposta para estudo resulta do produto de dois números de fibonacci consecutivos.

 

Sendo assim, qual será o décimo termo dessa sequência?

 

Esta tarefa torna-se, agora, fácil de resolver porque só teremos de identificar os 10º e o 11º números de fibonacci, porque a sua soma será a resposta à tarefa.

 

Vejamos:

 

Números fibonacci consecutivos

1 x 11 x 22 x 33 x 55 x 88 x 1313 x 2121 x 34 34 x 5555 x 89 
Produto126154010427371418704895 

 

Confirma-se, pois, que o produto do 10º número de fibonacci (55) com o 11º número de fibonacci (89) origina o 10º número (4895) da sequência em estudo.

 

Contudo, um outro resolvedor qualquer, num outro momento de resolução, pode propor adicionar os quadrados dos números de fibonacci de forma consecutiva, iniciando sempre no primeiro termo e acrescentando em cada adição o termo seguinte. Vejamos:

 

1 = 12

2 = 12 + 12

6 = 12 + 12 + 22

15 = 12 + 12 + 22 + 32

40 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52

104 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82

 

Logo, será legítimo testar se o próximo termo (273) será ou não a soma de 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132?

 

De facto, 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273.

 

Qual será a adição cuja soma é o valor 4895?

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

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