O tema das dízimas infinitas periódicas já foi objeto de análise neste blog por ser um tema que pode servir de base a interessantes investigações matemáticas. Desta vez vou conectá-lo ao tema das regularidades numéricas e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

Para tal, começo por desafiar os meus leitores a investigarem se há algo de comum no conjunto das seguintes dízimas infinitas periódicas seguintes:

 

0,(142857)

0,(285714)

0,(428571)

0,(571428)

0,(714285)

0,(857142)

 

 

Provavelmente será fácil perceber-se que existe uma regularidade nos seis dígitos que compõem o período de cada uma das dízimas, pois são sempre os mesmos, mas dispostos em posições diferentes.

 

O desafio seguinte será o de se investigar para cada caso a fração que lhes dá origem.

 

Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem recorrer ao artifício matemático explorado neste blog sobre este assunto. A referência eletrónica do respetivo artigo é a seguinte: http://recreamat.blogs.sapo.pt/32824.html

 

Recorrendo a esse artifício vamos, passo a passo, descobrir a fração simplificada que dá origem à primeira dessas dízimas infinitas periódicas. Vejamos:

 

x = 0,(142857) <=>

<=> 1000000x = 142857,(142857) <=>

<=> 1000000x - x = 142857,(142857) - 0,(142857) <=>

<=> 999999x = 142857 <=>

<=> x = 142857 : 999999 <=>

<=> x = 15873 : 111111 <=>

<=> x = 5291 : 37037 <=>

<=> x = 1 : 7

 

Logo, a fração que dá origem à dízima infinita periódica 0,(142857) é 1/7.

Vamos fazer um procedimento idêntico para o caso da segunda dízima. Vejamos:

 

x = 0,(285714) <=>

<=> 1000000x = 285714,(285714) <=>

<=> 1000000x - x = 285714,(285714) - 0,(285714) <=>

<=> 999999x = 285714 <=>

<=> x = 285714 : 999999 <=>

<=> x = 31746 : 111111 <=>

<=> x = 10582 : 37037 <=>

<=> x = 2 : 7

 

Fica, pois, encontrada a fração 2/7 como origem da dízima infinita periódica 0,(285714). Ora, em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos descobrissem os restantes números racionais que originam as restantes dízimas infinitas periódicas:

 

0,(142857) = 1/7

0,(285714) = 2/7

0,(428571) = 3/7

0,(571428) = 4/7

0,(714285) = 5/7

0,(857142) = 6/7

 

Centremos agora a nossa atenção no período da primeira dízima: 142857. Multiplicando este valor por 7 origina-se o valor 999999. Contudo se o multiplicarmos por 14, o produto obtido já será 199998 e se o multiplicarmos por 21, o produto obtido será 2999997.

 

Tendo em conta estas três multiplicações, infira, sem recurso à operação inversa da multiplicação, qual o fator que se deve multiplicar pelo valor 142857 para se obter o produto 499995. Qual o raciocínio por si empregue?

 

E para o produto 6999993, qual o fator a multiplicar por 142857? Que regularidades podem ser detetadas neste conjunto de multiplicações?

 

Nota: Sobre este assunto aconselho uma leitura complementar no blog do meu colega e amigo José Filipe: http://maismat.blogspot.pt/2011/02/um-setimo.html

Conectar figuras geométricas a actividades que promovam o pensamento algébrico pode servir de contexto para se estabelecerem relações entre a Matemática Recreativa e a Matemática dita mais formal. O exemplo que trago para se reflectir sobre este tema baseia-se em pentágonos não regulares.

 

Uma primeira tarefa passa por se compararem as seguintes figuras, no sentido de se identificarem aspectos comuns a ambas:

 

Uma primeira apreciação não pode deixar de salientar o tipo de figuras que está em causa. Trata-se de dois pentágonos irregulares. Além disto, poder-se-á descrever a forma como cada figura é constituída. A este nível poder-se-á referir o seguinte:

 

a) o lado de cima a figura da esquerda tem dois elementos e o da direita tem mais um;

b) nos lados adjacentes ao lado acabado de analisar, em ambas as figuras contabilizam-se três elementos em cada um destes lados;

c) nos dois restantes lados de cada figura constata-se que os da figura da esquerda têm quatro elementos e os da figura da direita têm mais um elemento cada.

 

Em termos de número de elementos que compõem cada figura, a da esquerda é formada por uma fronteira composta por 11 elementos e com um interior formado por 4 elementos. Isto perfaz um total de 15 elementos. Já a figura da direita possui uma fronteira com 14 elementos e um interior com 8 elementos. No total há, pois, 22 elementos.

 

Face a esta análise, será possível prever a constituição da próxima figura, que dê continuidade a estas duas? Como será ela formada?

 

O que poderá ser legítimo que se diga em relação à próxima figura é que o lado de topo terá 4 elementos, pois será sempre mais um do que o mesmo lado da figura anterior. Relativamente aos dois lados que se unem a este, ambos voltarão a ser formados por três elementos cada, à semelhança das duas figuras já analisadas. Por último, os restantes dois lados da nova figura serão formados por 6 elementos cada um, pois terão de ter mais um elemento do que os respectivos lados da figura anterior.

 

Relativamente à composição da fronteira e do interior da nova figura, será um pouco mais difícil de prever, pois só temos dois exemplos analisados, o que pode ser manifestamente pouco para que se proponha, de imediato, uma boa conjectura. Contudo, penso que seria desejável que, em contexto de sala de aula, os alunos avançassem com um raciocínio do seguinte tipo: "ora se da fronteira da primeira figura se passou de 11 elementos para 14 da segunda, então se calhar continuará a haver um aumento de 3 unidades, o que leva a que a próxima figura tenha 17 elementos na fronteira". Relativamente ao interior, e fazendo-se um raciocínio semelhante ao acabado de expor, "haverá 12 elementos, porque aumentará o seu número em 4 unidades relativamente ao interior da figura anterior. Se assim for, a nova figura terá um total de 29 elementos".

 

Vejamos a figura no sentido de se testarem todas estas previsões:

 

Relativamente à figura anterior, confirma-se que:

a) o lado de topo é formado por 4 elementos;

b) cada lado unido a este é formado por 3 elementos;

c) cada um dos restantes dois lados do pentágono é formado por 6 elementos.

 

Analisemos, agora a composição da fronteira e do interior da figura:

a) fronteira formada por 17 elementos;

b) interior formado por 13 elementos;

c) a figura possui um total de 30 elementos.

 

Conclusão:

- das seis conjecturas formuladas, não se confirmam apenas duas; o número de elementos do interior da figura e o respectivo número total de elementos. De facto não são 12 os elementos do seu interior, mas, sim, 13; perfazendo um total de 30 elementos e não de 29 como previsto.

 

Um desafio interessante a fazer-se agora seria o de se tentar perceber a lei de crescimento e formação deste tipo de figuras, tendo em conta apenas o número de elementos existentes no lado de topo. Vejamos a tabela:

 

Nº de elementos no lado de topo	Nº de elementos da fronteira	Nº de elementos do interior	Nº total de elementos da figura
2 3 4	11 14 17	4 8 13	15 22 30

 

Se a nossa atenção incidir nas colunas inicial e final, podemos concluir que quando a figura tem 2 elementos no lado do topo, o número total de elementos da figura é 15; por sua vez, quando o número de elementos do topo é 3, o total de elementos da figura é 22, isto é, 15 + 7; por último, quando o número de elementos do top é 4, o total de elementos da figura é 30, isto é, 15 + 7 + 8.

 

Relativamente à análise dos valores da coluna dos elementos da fronteira, podemos lê-los da seguinte forma: 11; 11 + 1 x 3; 11 + 2 x 3.

 

Por sua vez, os valores da coluna dos elementos do interior podem ter a seguinte leitura: 4; 4 + 4; 4 + 4 + 5.

 

Tendo em conta estas relações numéricas será fácil descobrir os valores para as duas próximas figuras que dêem continuidade a estas três acabadas de analisar?

 

 

Nº de elementos no lado de topo	Nº de elementos da fronteira	Nº de elementos do interior	Nº total de elementos da figura
2 3 4 5 6	11 14 = 11 + 1 x 3 17 = 11 + 2 x 3 20 = 11 + 3 x 3 23 = 11 + 4 x 3	4 8 = 4 + 4 13 = 4 + 4 + 5 19 = 4 + 4 + 5 + 6 26 = 4 + 4 + 5 + 6 + 7	15 22 = 15 + 7 30 = 15 + 7 + 8 39 = 15 + 7 + 8 + 9 49 = 15 + 7 + 8 + 9 + 10

  

A título de exemplo, confirmemos os valores avançados para a figura que tem 6 elementos no lado de topo:

 

Esta figura tem, de facto, 23 elementos na fronteira e 26 elementos no interior, perfazendo um total de 49 elementos. Contudo, falta inferir uma lei geral que descreva o "comportamento" matemático deste tipo de figuras. Para tal centremos agora a nossa atenção no total de elementos que compõe cada figura: 15, 22, 30, 39, 49. Haverá algo de semelhante neste conjunto de valores?

 

Vejamos:

 

15 = 16 -1 = 4² - 1

22 = 25 - 3 = 5² - 3

30 = 36 - 6 = 6² - 6

39 = 49 - 10 = 7² - 10

49 = 64 - 15 = 8² - 15

 

Analisando-se os valores acima, conclui-se que o total de elementos de cada figura não é mais do que a diferença entre um número quadrado (4², 5², 6², 7², 8², ...) e um número triangular (1, 3, 6, 10, 15, ...).

 

Tendo em conta esta conclusão, importa operacioná-la no sentido de se conseguir obter o total de elementos (t) de cada figura a partir do respectivo número de elementos (e) do lado do topo. Recordando que a lei geral da sequência dos números quadrados é "n²" e que a lei geral da sequência dos números triangulares é "(n² + n) : 2", então para o caso destas figuras, a lei geral é a seguinte:

t = (e + 2)² - [(e² - e) : 2], porque temos de ter em consideração que o menor valor de "e" tem de ser o 2.

 

A título de exemplo, testemos esta lei para o caso de uma figura com 6 elementos no lado do topo, isto é, "e = 6", então:

 

t = (6 + 2)² - [(6² - 6) : 2] = 8² - [(36 - 6) : 2] = 64 - 15 = 49.

 

E se as figuras em análise fossem as seguintes:

 

 

Haverá semelhanças entre elas? Quais? Caracterize o que se passa ao nível dos elementos da fronteira e ao nível dos elementos do interior. Haverá uma lei geral que explica a relação eventualmente existente entre estas figuras?

O tema das regularidades numéricas tem vindo a ser objecto de reflexão neste espaço virtual. Muito associado ao tema do pensamento algébrico, as regularidades de natureza numérica e/ou geométrica contribuem decisivamente para a estruturação deste tipo de pensamento.

 

O exemplo que trago agora para partilhar passa por solicitar uma análise ao seguinte conjunto de números no sentido de se encontrar alguma regularidade entre eles:

 

 

De entre várias possibilidades de resposta, destacamos a análise a cada linha horizontal. Para cada uma das três linhas verifica-se a existência do conceito matemático "o dobro de ou 2x". Vejamos:

 

 

Existe, pois, uma regularidade segundo este nível de análise. Centremos agora a nossa atenção ao nível das colunas. Outras regularidades passam a ser evidenciadas:

 

 

Note-se que o operador aditivo em cada caso é sempre igual e de caso para caso vai dobrando o seu valor sucessivamente.

 

Se a análise incidir em alguns valores colocados não em linha nem em coluna mas, sim, em linha oblíqua, eis outras regularidades interessantes a destacar:

 

 

Analisando-se as várias igualdades numéricas, constata-se que as somas obtidas são dobros sucessivos a partir do valor 4, isto é: 4, 8 e 16. Por sua vez, os produtos obtidos também são dobros sucessivos a partir do valor 12, ou seja: 12, 24 e 48. Além disto, cada parcela envolvida em cada adição também obedece a esta regularidade do "dobro de": (1, 2 e 4; 3, 6 e 12). Já ao nível dos factores, há sempre um que se mantém, que é o valor 3 e o outro factor continua na lógica do "dobro de": (4, 8 e 16).

 

Voltando ao conjunto inicial:

 

Seria desejável que em situação de sala de aula se tentasse perceber qual a lei geral que permitia descrever o comportamento dos valores existentes em cada linha horizontal. Qual será essa lei?

 

Obviamente que se percebe facilmente que os valores da primeira linha são as cinco primeiras potências de base dois, de expoente inteiro, cuja lei geral é 2ⁿ. Uma análise mais detalhada aos restantes valores permite que se identifique uma extensão desta lei geral para 2 x 2ⁿ e 3 x 2ⁿ, respectivamente:

 

 

Ora, como ja tive oportunidade de referenciar em outros artigos, as potências de base dois podem ser associadas ao triângulo de Pascal. Recordemos esta conexão matemática:

 

 

De facto, adicionando os valores em cada linha horizontal neste tipo de triângulo, obtém-se o conjunto destas potências. Esta é, pois, uma figura triangular que pode ser associda à lei geral 2ⁿ que gera estas potências de base dois. Como será a figura triangular que poderá ser associada a lei geral seguinte: 2 x 2ⁿ?

 

Certamente que será fácil conjecturar uma figura tipo a do triângulo de Pascal em que os valores dos lados passam de 1 para 2. vejamos a figura:

 

 

Confirmam-se, pois, os valores 2, 4, 8, 16 e 32 como sendo as somas dos valores colocados em linha horizontal nesta figura. Pela mesma ordem de ideias, a lei geral 3 x 2ⁿ materializa-se na seguinte figura:

 

 

Note-se que os valores do início e do final de cada linha passaram a ser o número 3.

 

Tendo em conta este tipo de análise qual será a figura que está associada à seguinte lei geral: 10 x 2ⁿ?

O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas actividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenómeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.

  

O exemplo que trago para reflexão assenta em figuras de natureza geométrica que obedecem a um determinado tipo de regularidade ou padrão de crescimento. Qual será a figura que dará continuidade a esta sequência de figuras?

 

 

Como a pergunta é de natureza geométrica, será muito fácil perceber-se que a próxima figura terá de ter uma nova fronteira de quadrados que respeita a colocação das "fronteiras" anteriores, isto é:

 

 

Contudo, outro tipo de estratégia de resolução poderia passar pela contagem dos quadrados unitários existentes em cada figura anterior. O objectivo seria o de se verificar se existia algum tipo de regularidade, de modo a que fosse mais fácil continuar essa eventual regularidade.

 

Façamos a contagem: 1, 5, 13, 25,...

 

Esta sequência numérica permite que relacionemos os vários números da seguinte forma:

 

1 = 1 + 0 x 4

5 = 1 + 1 x 4

13 = 1 + 3 x 4

25 = 1 + 6 x 4

 

Verifiquemos o tipo de números que estão a multiplicar o factor 4. Exceptuando o 1º caso, os números 1, 3  e 6 fazem parte da sequência de números triangulares, tema ao qual já dediquei alguns artigos neste blog. Como sabemos, a lei geral que gera este tipo de números figurados (f) é a seguinte: f = (n² + n) : 2. Logo, substituindo o "n" por 4, por ser a 5ª figura, o valor de "f" será o seguinte: (4² + 4) : 2 = 10. Sendo assim, a próxima figura teria 1 + 10 x 4 quadradinhos unitários, isto é, 41 quadradinhos:

 

 

Como confirmação, e atendendo às cores, temos, pois, 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 45 quadradinhos unitários. Sendo assim, qual será a lei geral que nos permite obter o número de quadradinhos de qualquer figura que dê continuidade a estas?

 

Pela exposição acima, o total de quadradinhos (t) de uma figura deste tipo resulta da seguinte lei geral: t = 1 + [(n² + n) : 2] x 4, sendo "n" o número de ordem da figura que se pretende investigar menos uma unidade. Isto é, se a figura a estudar for a 20ª, o valor der "n" será 19, o que dará o valor do 19º número triangular.

 

Sendo assim, qual o total de quadradinhos que compõem a 9ª figura deste tipo? Aplique a generalização acabada de inferir e confirme com a construção da figura.

Conectar a Álgebra à Geometria, e vice-versa, costuma ser usual no âmbito de actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para reflexão também apela a este tipo de conexão matemática e visa contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

De facto, irei utilizar o objecto matemático - Pirâmide quadrangular - e desafiarei os meus leitores a descobrir o número a colocar na base deste tipo de sólido tendo em conta que esse valor será a soma de quatro outros números, cada um deles a colocar em cada uma das faces laterais do sólido. Contudo, há uma regra para a colocação destes quatro números. Conhecendo-se o primeiro deles, o segundo será sempre o dobro dele acrescido de uma unidade; já o terceiro será o dobro do segundo, também acrescido de uma unidade e o quarto será o dobro do terceiro, acrescido de uma unidade também. Os números poderão ser colocados de acordo com o sentido dos ponteiros do relógio e a planificação do sólido em causa é a seguinte:

 

Se o menor dos números for o 1, quais os restantes?

 

Trata-se de uma tarefa de simples resolução e eis a figura plana que lhe dá resposta:

 

Temos, pois, que o dobro de 1, mais 1 é 3; o dobro de 3, mais 1 é 7; o dobro de 7, mais 1 é 15 e o dobro de 15, mais 1 é 31. Logo, o valor a colocar na base desta pirâmide seria o número 26, pois 26 = 1 + 3 + 7 + 15.

 

Como tarefa simples que é, alarguemos o estudo a três novas pirâmides, iniciadas, respectivamente pelo valor 2, pelo valor 3 e pelo valor 4. Eis as soluções:

 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula, levar os alunos a investigarem possíveis relações existentes entre estas quatro planificações, em termos dos valores numéricos das faces laterais e das respectivas bases. 

 

Uma conclusão possível seria a de que o valor que inicia a figura seguinte é sempre o número que sucede ao menor número que iniciou a figura anterior (1 - 2 - 3 - 4). Já a segunda posição, aquela que é o resultado de se dobrar o primeiro valor em cada figura acrescido de uma unidade, é sempre maior em duas unidades do que o respectivo valor da figura anterior (3 - 5 - 7 - 9). Este tipo de raciocínio também poderia ser feito para o terceiro valor de cada figura, como sendo sempre maior em quatro unidades relativamente ao valor da figura imediatamente anterior (7 - 11 - 15 - 19). Por sua vez, os maiores números de cada planificação também obedecem a uma regularidade numérica. De facto o valor da figura seguinte nessa posição é sempre maior em oito unidades relativamente ao respectivo valor da figura anterior (15 - 23 - 31 - 39).

 

Ora, nestas condições de evidência de várias relações numéricas entre as diferentes planificações das pirâmides, também seria desejável que os alunos tentassem averiguar se os valores das bases se podem relacionar entre si. Será que sim?

 

Uma possível análise, de natureza mais algébrica, poderia ser a que a figura seguinte evidencia:

 

Note-se que se o 1º valor for "x", o segundo será o seu dobro mais uma unidade "2x + 1". Por sua vez, o 3º número será o dobro do 2º, acrescido de uma unidade, isto é: 2 (2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3. Já o 4º número será o dobro do 3º, acrescido de uma unidade, ou seja: 2 (4x + 3) + 1 = 8x + 6 + 1 = 8x + 7. Logo, o valor da base resulta da soma de todos os valores das faces laterais: x + (2x + 1) + (4x + 3) + (8x + 7), onde os parêntesis só servem para evidenciar cada uma das quatro somas. Logo, o seu valor será 15x + 11, que mais não do que o produto do valor inicial por 15, acrescido de 11 unidades.

 

Testemos esta lei geral ou algoritmo para o caso de "x", isto é, o valor inicial ser 5:

 

O valor da base será 15 x 5 + 11 = 86.

 

No sentido de se confirmar este valor através da construção da planificação e seguindo as regras acima enunciadas para a escrita dos quatro números laterais, sabe-se que:

 

1º valor ----- 5

2º valor ----- 2 x5 + 1 = 11

3º valor ----- 2 x 11 + 1 = 23

4º valor ----- 2 x 23 + 1 = 47

 

Logo, a soma será 5 + 11 + 23 + 47 = 86:

 

Outra possibilidade de se poder chegar à soma da base passa por se investigar um outro tipo de relação numérica existente entre cada valor inicial e cada soma respectiva das figuras analisadas:

 

Valor inicial	Soma da base
1	26
2	41
3	56
4	71
n	?

 

Note-se que a tabela anterior evidencia que cada soma é igul à soma anterior mais 15 unidades. Logo a mesma pode ser reescrita da seguinte forma:

 

Valor inicial	Soma da base
1	26 = 26 + 0 x 15
2	41 = 26 + 1 x 15
3	56 = 26 + 2 x 15
4	71 = 26 + 3 x 15
n	26 + (n - 1) x 15

 

Logo, testando este algoritmo para o valor "n" inicial 5, confirma também a soma 86, pois: 26 + (5 - 1) x 15 = 26 + 4 x 15 = 26 + 60 = 86.

 

Tirando partido desta reflexão, será capaz de averiguar se o valor 161 pode ser um valor válido a colocar na base de uma pirâmide deste tipo, em que os quatro valores laterais obedecem às regras acabadas de analisar. No caso de ser um valor válido, quais serão os quatro valores a colocar nas faces laterais da pirâmide?

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O exemplo que trago à reflexão desta vez prende-se com essa ideia e, com isso, viso abordar o tema dos padrões de repetição.

 

Utilizando os números de 1 a 8, inclusive, colocá-los nos círculos seguintes, todos e apenas uma só vez, de modo que a soma de b + d + f + h seja o dobro da soma de a + c + e + g e que a soma em cada lado da figura exterior seja sempre a mesma:

Este desafio implica que se tenha em conta a soma total que está em jogo ao usarem-se estes oito números. Esta soma é 36, pois 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.

 

Por outro lado teremos de distribuir estes oito números de modo que b + d + f + h = 2 (a + c + e + g).

 

Sendo assim, teremos de ver se a soma 36 é divisível por 3, para que ao juntarem-se duas dessas três partes se obtenha um valor que é dobro da outra terça parte. Como a soma dos seus dígítos é um múltiplo de três (3 + 6 = 9), logo o 36 é divisível por 3. Origina um quociente 12.

 

Tendo em conta esta reflexão teórica resta tentar obter o valor 12 através da adição de quatro desses oito números disponíveis.

 

Vejamos:

a) 6 + 3 + 2 + 1 = 12

b) 5 + 4 + 2 + 1 = 12 

 

Existem, pois, duas possibilidades de obtenção de soma 12 nas condições enunciadas acima.

 

De seguida teremos de testar se os outros quatro números restantes permitem obter uma soma que é dobro de 12, isto é, 24. Vejamos para cada um dos casos anteriores:

 

a) 4 + 5 + 7 + 8 = 24

b) 3 + 6 + 7 + 8 = 24

 

Em ambos os casos se obtém a soma 24 pretendida. Testemos, então, a sua distribuição nos oitos espaços da figura, tendo também em conta que a soma dos valores em cada lado da figura exterior seja sempre igual. Vejamos os primeiros valores:

 

 

Confirma-se que a soma dos valores existentes nos quatro vértices da figura inscrita é o dobro da soma dos valores existentes nos vértices da figura que inscreve aquela e que a soma dos valores de cada lado da figura exterior é sempre a mesma. 

 

Testemos, agora, os segundos valores (5 + 4 + 2 + 1 e 3 + 6 + 7 + 8):

 

Note-se que para a distribuição dos valores nos vértices da figura exterior existem 3 possibilidades, isto é, o 5 pode ficar anexo do 4 e do 2, ou do 1 e do 4 ou do 2 e do 1:

 

 

Testando a distribuição dos outros quatro números, não é possível em qualquer caso obter-se para os quatro valores da figura inscrita uma soma que seja o dobro daqueles quatro valores, de modo a que a soma dos valores da figura exterior seja sempre a mesma. Eis a melhor aproximação possível, onde se evidencia, pois, a impossibilidade desta opção:

 

 

A tarefa colocada tem, pois, uma única solução.

 

Imaginemos a replicação da figura de sucesso de modo a obter-se a figura seguinte:

Que aspectos matemáticos interessantes poderia destacar?

 

Veja, por exemplo, que as somas dos valores envolvidos nos dois eixos de simetria são números ímpares consecutivos, respectivamente 21 e 23.

 

Por outro lado, as somas dós valores envolvidos nas linhas oblíquas obedece à seguinte regularidade: 9, 24, 24, 9.

 

Note-se, ainda que estes quatro valores (9, 24, 24, 9) coincidem com as somas dos valores existentes nos lados dos dois rectângulos que se intersectam.

 

E no caso de este padrão se repetir, de forma a fazer crescer a pavimentação? Veja-se a figura resultante:

 

 

 

Que regularidades matemáticas podem ser agora evidenciadas?

 

Veja, por exemplo, que a a soma dos valores existentes em cada linha horizontal obedece à seguinte regularidade: (38, 40, 38, 40, 38). Já a nível vertical, a regularidade é a seguinte: (38, 41, 38, 41, 38).

 

Por sua vez, em termos de linhas oblíquas, a regularidade numérica verificada é a seguinte: (9, 24, 33, 48, 48, 33, 24, 9).

 

Faça um estudo, em todo semelhante ao que acabei de fazer, para o caso de os oito números envolvidos passarem a ser os oito primeiros números pares. Será que as regularidades e possibilidades de pavimentação agora obtidas se mantêm? Haverá padrões de crescimento?