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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Regularidades envolvendo hexágonos numéricos

Abril 06, 2010

Paulo Afonso

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste blog. Desta vez vou conectar uma das mais importantes figuras geométricas  - o hexágono - a regularidades de natureza numérica.

 

A figura seguinte, iniciada pelos primeiros cinco números naturais é construída da seguinte forma: qualquer valor numérico, exceptuando os da linha de cima, resulta da soma dos dois números que estão sobre ele na fila imediatamente acima. Quando a soma de dois desses valores ainda tem dois dígitos, estes adicionam-se e apenas o valor desta soma é colocado na figura. A título de exemplo, 5 + 7 = 12 e 1 + 2 = 3. Logo, será o valor 3 a colocar sob os valores 5 e 7:

  

 

  

Investigar qual será o valor final se se substituírem os valores da linha de topo pelos respectivos dobros.

  

Este desafio suscita que se possa conjecturar que o valor final também será o dobro do valor final existente na figura anterior. Testemos esta conjectura:

 

 

Confirma-se, pois, a estimativa acabada de fazer, o que nos leva a pensar que se a linha de topo for formada por valores que são o triplo dos respectivos valores iniciais, o valor final também será triplo do primeiro valor final. Eis a figura que confirma esta ideia:

 

 

Como será o estudo semelhante para os cinco números naturais consecutivos iniciados pelo 2? E com os seus respectivos dobros e triplos também ocorrerão regularidades semelhantes a estas acabadas de verificar?

 

As três figuras seguintes permitem verificar-se que sim:

 

De facto, o valor final passou de 1 para o seu dobro (2) e para o seu triplo (3), respectivamente.

 

Tendo em conta a investigação acabada de realizar, explique a relação que existe entre as três figuras seguintes:

 

Regularidades envolvendo quadrados coloridos

Março 16, 2009

Paulo Afonso

Imaginemos que o módulo de mosaico quadrado, formado por quadrados, representado na figura seguinte, servia como unidade de pavimentação:

Uma possível pavimentação seria criada  a partir da junção de quatro desses módulos:

Se em vez de quatro se juntassem dezasseis módulos, a pavimentação resultante seria a seguinte:

Analisando-se o número de quadrados azuis (Z) e de quadrados amarelos (A) envolvidos em cada caso, bem como o total de quadrados (Q), constatam-se algumas regularidades:

Q Q Q
9 36 144
Z A Z A Z A
5 4 20 16 80 64

1ª - o número de quadrados azuis é sempre maior do que o número de quadrados amarelos;

2ª - o total de quadrados é sempre um número quadrado (9 = 32; 36 = 62 e 144 = 122);

3ª - de caso para caso o número de quadrados azuis ou amarelos aumenta quatro vezes;

4ª - o nº de quadrados amarelos é sempre uma potência de base dois, com expoente par (4 = 22; 16 = 24 e 64 = 26).

Com base nestas regularidades qual será o aspecto de uma pavimentação semelhante a estas, que tenha 210 quadrados amarelos, isto é, quantos serão os quadrados azuis e qual o total de quadrados envolvidos?

Imagine-se um outro tipo de pavimentação que também recorre aos quadrados amarelos e azuis, cujo modelo é o seguinte:

Uma pavimentação ligeiramente maior pode ser a seguinte:

Tendo em conta o número de quadrados amarelos (A), quadrados azuis (Z) e o total de quadrados (Q) em cada caso, refira estes valores para uma nova pavimentação, semelhante a estas, cuja linha central é formada por 11 quadrados amarelos e 10 azuis.

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