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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Xavier e o pensamento algébrico

Outubro 07, 2012

Paulo Afonso

Em mais um gesto de pouca modéstia, venho aproveitar este espaço para divulgar a publicação do meu mais recente livro. Intitulado Xavier e o Pensamento Algébrico, este livro foi publicado pela Associação de Professores de Matemática (APM) e teve o seu lançamento no dia de ontem na bonita cidade de Coimbra, no Encontro Nacional de Professores de Matemática (ProfMat 2012).

 

 

Como o título sugere, trata-se de um livro que se dedica ao tema do Pensamento Algébrico. Trata-se de um tema atual no novo programa de matemática para o Ensino Básico em Portugal, pois, como refere a sua prefaciadora, Profª. Doutora Isabel Cabrita, da Universidade de Aveiro, "O desenvolvimento do pensamento algébrico constitui-se o principal objetivo que um dos quatros temas matemáticos que estrutura aquele programa - Álgebra - persegue".

 

O livro relata a relação de enorme cumplicidade cognitiva entre um aluno apaixonado pela Matemática - Xavier - e o seu professor de Matemática - Professor Artur. Durante 23 dias úteis de um determinado mês, o professor Artur, via e-mail, desafia o Xavier com situações matemáticas associadas a este tema, situações essas que o Xavier resolve com grande mestria!

 

Este livro visa comunicar com os seus leitores, pelo que contempla, para cada situação analisada, um desafio ao leitor.

 

Eis o índice do livro:

1 - Padrões de repetição e padrões de crescimento

2 - Quadrados cercados por números

3 - Dependência numérica - um caso de regularidades

4 - Conexões matemáticas e pensamento algébrico

5 - Pirâmides envolvendo números

6 - Regularidades envolvendo hexágonos numéricos

7 - Regularidades envolvendo medidas de capacidade

8 - Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos

9 - Sequências numéricas lacunadas

10 - Regularidades numéricas

11 - Relações aritméticas

12 - Das regularidades numéricas ao conceito do triângulo de Pascal

13 - Regularidades envolvendo quadrados coloridos

14 - À procura de generalizações

15 - Conexões matemáticas envolvendo polígonos regulares e as suas diagonais

16 - Explorando números ímpares

17 - Padrões numéricos confugurados geiometricamente

18 - Análise numérica de padões de natureza geométrica

19 - Regularidades envolvendo números quadrados

20 - Pentágonos em relação algébrica

21 - Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

22 - Somas cruzadas

23 - Cubos mágicos

 

Desejo votos de boas leituras e agurado pelo feedback dos meus eventuais leitores desse livro.

 

Dos pares ordenados ao pensamento algébrico

Setembro 01, 2012

Paulo Afonso

No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.

 

Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.

 

Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?

 

- O 1º termo de cada par ordenado é um múltiplo de dois, resultante da fórmula "2n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 0 e terminando no 5.

 

- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.

 

-  A soma de cada par ordenado obedece a uma regularidade: 15, 14, 13, 12, 11, 10.

 

- A diferença de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 15, 10, 5, 0, -5, -10.

 

- O produto de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 0, 24, 36, 36, 24, 0.

 

- A sua disposição num referencial cartesiano coloca-os segundo uma regularidade posicional:

 

 

- E essa regularidade pode ser definida por uma reta:

 

 

Qual será a função que descreve essa reta?

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula de Matemática os alunos pudessem investigar e propor uma explicação matemática para justificar que estes cinco pares ordenados de números se relacionam entre si, como atesta a reta que os une. De entre várias tentativas seria desejável que alguém propusesse adicionar o triplo do 1º termo do par ordenado ao dobro do respetivo 2º termo.

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 3 x 0 + 2 x 15 = 30

(2, 12) ----- 3 x 2 + 2 x 12 = 30

(4, 9) ----- 3 x 4 + 2 x 9 = 30

(6, 6) ----- 3 x 6 + 2 x 6 = 30

(8, 3) ----- 3 x 8 + 2 x 3 = 30

(10, 0) ----- 3 x 10 + 2 x 0 = 30

 

Logo, poder-se-ia concluir que os pares ordenados analisados obedecem à seguinte função matemática 3x + 2y = 30.

 

E se algum aluno sugerisse, por exemplo, adicionar o dobro do 1º termo de cada par ordenado com o triplo do respetivo 2º membro do par? Descobriria algo de matematicamente interessante?

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 2 x 0 + 3 x 15 = 45

(2, 12) ----- 2 X 2 + 3 X 12 = 40

(4, 9) ----- 2 X 4 + 3 X 9 = 35

(6, 6) ---- 2 X 6 + 3 X 6 = 30

(8, 3) ----- 2 X 8 + 3 X 3 = 25

(10, 0) ----- 2 x 10 + 3 x 0 = 20

 

Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.

 

Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?

Dízimas infinitas periódicas enigmáticas

Abril 21, 2012

Paulo Afonso

O tema das dízimas infinitas periódicas já foi objeto de análise neste blog por ser um tema que pode servir de base a interessantes investigações matemáticas. Desta vez vou conectá-lo ao tema das regularidades numéricas e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

Para tal, começo por desafiar os meus leitores a investigarem se há algo de comum no conjunto das seguintes dízimas infinitas periódicas seguintes:

 

0,(142857)

0,(285714)

0,(428571)

0,(571428)

0,(714285)

0,(857142)

 

 

Provavelmente será fácil perceber-se que existe uma regularidade nos seis dígitos que compõem o período de cada uma das dízimas, pois são sempre os mesmos, mas dispostos em posições diferentes.

 

O desafio seguinte será o de se investigar para cada caso a fração que lhes dá origem.

 

Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem recorrer ao artifício matemático explorado neste blog sobre este assunto. A referência eletrónica do respetivo artigo é a seguinte: http://recreamat.blogs.sapo.pt/32824.html

 

Recorrendo a esse artifício vamos, passo a passo, descobrir a fração simplificada que dá origem à primeira dessas dízimas infinitas periódicas. Vejamos:

 

x = 0,(142857) <=>

<=> 1000000x = 142857,(142857) <=>

<=> 1000000x - x = 142857,(142857) - 0,(142857) <=>

<=> 999999x = 142857 <=>

<=> x = 142857 : 999999 <=>

<=> x = 15873 : 111111 <=>

<=> x = 5291 : 37037 <=>

<=> x = 1 : 7

 

Logo, a fração que dá origem à dízima infinita periódica 0,(142857) é 1/7.

Vamos fazer um procedimento idêntico para o caso da segunda dízima. Vejamos:

 

x = 0,(285714) <=>

<=> 1000000x = 285714,(285714) <=>

<=> 1000000x - x = 285714,(285714) - 0,(285714) <=>

<=> 999999x = 285714 <=>

<=> x = 285714 : 999999 <=>

<=> x = 31746 : 111111 <=>

<=> x = 10582 : 37037 <=>

<=> x = 2 : 7

 

Fica, pois, encontrada a fração 2/7 como origem da dízima infinita periódica 0,(285714). Ora, em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos descobrissem os restantes números racionais que originam as restantes dízimas infinitas periódicas:

 

0,(142857) = 1/7

0,(285714) = 2/7

0,(428571) = 3/7

0,(571428) = 4/7

0,(714285) = 5/7

0,(857142) = 6/7

 

Centremos agora a nossa atenção no período da primeira dízima: 142857. Multiplicando este valor por 7 origina-se o valor 999999. Contudo se o multiplicarmos por 14, o produto obtido já será 199998 e se o multiplicarmos por 21, o produto obtido será 2999997.

 

Tendo em conta estas três multiplicações, infira, sem recurso à operação inversa da multiplicação, qual o fator que se deve multiplicar pelo valor 142857 para se obter o produto 499995. Qual o raciocínio por si empregue?

 

E para o produto 6999993, qual o fator a multiplicar por 142857? Que regularidades podem ser detetadas neste conjunto de multiplicações?

 

Nota: Sobre este assunto aconselho uma leitura complementar no blog do meu colega e amigo José Filipe: http://maismat.blogspot.pt/2011/02/um-setimo.html

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Números oblongos e investigações matemáticas

Janeiro 01, 2012

Paulo Afonso

Utilizar várias sequências numéricas para que se lhes dê continuidade tem sido apanágio deste blog. Desta vez, apesar de ter escolhido um conjunto de números cuja relação matemática é facilmente identificável, permite um leque alargado de investigações matemáticas que ajudam a ilustrar a dimensão apaixonante desta Ciência.

 

Eis os números a que se deve dar continuidade:    

2     6     12     20     ____     ____

 

Como disse, facilmente nos poderemos aperceber das seguintes relações:

 

2 + 4 = 6

6 + 6 = 12

12 + 8 = 20

 

Dando-se continuidade a este tipo de relação numérica, facilmente se poderá prever o 30 como sendo o próximo número da sequência, por resultar de 20 + 10. De facto, 10 é o próximo número par a seguir ao 8.

 

Logo, o próximo elemento seria o 42, pois 42 = 30 + 12, sendo o 12 o valor par a acrescentar ao elemento da sequência anterior.

 

Ora, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem ser solicitados a investigar se haveria alguma lei matemática que explicasse este tipo de incrementos entre os elementos da sequência numérica.

 

Este desafio poderá suscitar várias investigações por parte dos resolvedores.

 

Uma primeira aproximação poderia passar pela identificação da relação existente entre o primeiro elemento da sequência e cada um dos restantes. Vejamos:

 

Ordem do termo na sequência Valor do termo Relação com o 1º termo
2  
6 2 + 1 x 4
12 2 + 2 x 5
20 2 + 3 x 6
30 2 + 4 x 7
42 2 + 5 x 8

  

Analisando-se os valores da coluna da direita, também se pode referir para o 1º caso que 2 = 2 + 0 x 3, pois ajuda a complementar esta forma recursiva de analisar os valores aí presentes.

 

Assim sendo, facilmente se percebe que a lei geral de obtenção de qualquer número (t) desta sequência pode ser a seguinte: t = 2 + (n - 1) x (n + 2), sendo "n" a ordem do termo na sequência. Logo, o 7º termo seria o seguinte: t7 = 2 + (7 - 1) x (7 + 2) = 2 + 6 x 9 = 56.

 

Por outro lado, confirma-se que utilizando o próximo valor, par, a seguir ao 12, isto é, o 14, obtém-se o valor 56. De facto, 42 + 14 = 56.

 

Esta é apenas uma das investigações que esta tarefa permite. Outra passa por se associar cada um dos elementos da sequência numérica a um produto de fatores consecutivos:

 

2 = 1 x 2

6 = 2 x 3

12 = 3 x 4

20 = 4 x 5

 

Logo, poderá haver uma outra lei capaz de gerar este conjunto de números. De facto, cada termo da sequência (t) resulta do produto do valor desse termo com o seu sucessor, isto é t = n x (n + 1). Trata-se da fórmula geradora de um tipo de números figurados, que são os números oblongos, pois cada valor pode estar associado a uma figira geométrica retangular cujas medidas são "x" e "x + 1".

 

Logo, confirma-se o valor 56, como sendo o 7º termo desta sequência, pois t7 = 7 x (7 + 1) = 7 x 8 = 56. 

 

Um outro desafio interessante que se pode lançar a propósito desta sequência de números é o seguinte: Obter o valor 2 usando apenas três 2, obter o valor 6 usando apenas três 3, obter o valor 12 usando apenas três 4 e obter o valor 20 usando apenas três 5.

 

Uma possível hipótese de resposta poderá ser a seguinte:

 

2 = 2 x 2 - 2

6 = 3 x 3 - 3

12 = 4 x 4 - 4

20 = 5 x 5 - 5

 

Logo, uma outra lei geral que pode originar qualquer um destes números (t) é a seguinte: t = (n + 1) x (n + 1) - (n + 1). Uma vez mais, confirmemos o 7º termo usando, agora, esta nova lei geral. t7 = (7 + 1) x (7 + 1) - (7 + 1) = 8 x 8 - 8 = 56.

 

Eis uma outra extensão deste desafio inicial: Obter o valor 2 usando apenas três 1, obter o valor 6 usando apenas três 2, obter o valor 12 usando apenas três 3 e obter o valor 20 usando apenas três 4. Qual a nova lei geral que surge a partir deste novo desafio? 

Utilização da Matemática para se descobrir informação relativa à idade das pessoas

Abril 04, 2011

Paulo Afonso

Muitos são os casos de recreação matemática em que um qualquer interlocutor nosso, mais entusiasmado com questões de magia matemática, nos tenta colocar em situação de ele próprio descobrir um eventual número que estejamos a pensar. Conduzindo-nos por caminhos matematicamente bem experimentados, por norma costuma acertar na sua previsão, o que nos deixa com a curiosidade aguçada para percebermos como foi capaz de tão enigmática descoberta.

 

Os exemplos que trago para partilhar com os leitores prendem-se com a tentativa de descoberta de dados relativos à idade das pessoas.

 

1 - O primeiro exemplo pode ser o de alguém que tenha nascido a 12 de Agosto. Vamos, então, ver como poderemos facilmente descobrir esta data, munindo-nos, para tal, de uma simples máquina de calcular. Façamos as seguintes solicitações ao nosso interlocutor:

 

- escreva o dia do seu nascimento;

- duplique este número, isto é, multiplique-o por dois;

- multiplique o valor agora obtido por dez;

- adicione setenta e três unidades ao novo produto obtido;   

- multiplique este novo valor por cinco;

- adicione, por fim, o número relativo ao mês de nascimento. Que valor obteve?

 

Perante estas solicitações, o nosso interlocutor, se tivesse nascido no dia 12 de Agosto responderia no final o valor 1573.

 

Vejamos, agora, como é que a Matemática nos pode auxiliar a descobrir esta data de aniversário. A tabela seguinte evidencia o procedimento algébrico associado a cada passo da resolução da tarefa:

  

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- escrever o dia de nascimento

d

- duplicar este número

2d

- multiplicar o valor agora obtido por dez

10 x 2d

- adicionar setenta e três unidades ao novo produto obtido

10 x 2d + 73

- multiplicar este novo valor por cinco

5 x (10 x 2d + 73)

- adicionar, por fim, o número relativo ao mês de nascimento

5 x (10 x 2d + 73) + m

  

Façamos, agora a respectiva interpretação algorítmica:

 

5 x (10 x 2d + 73) + m =

= 5 x (20d + 73) + m =

= 100d + 365 + m

 

Sabendo nós que o procedimento aritmético do nosso interlocutor resulta sempre nesta expressão algébrica, a única coisa que teremos de fazer é subtrair a quantidade 365 ao valor revelado por ele. Repare-se que a fórmula fica com o seguinte aspecto: 100d + 365 + m – 365 = 100d + m

 

Esta fórmula permite concluir que, subtraindo o valor 365 ao valor revelado pelo nosso interlocutor, obtém-se nas ordens das unidades de milhar e das centenas o valor do dia de nascimento, restando nas ordens das dezenas e das unidades o valor do mês respectivo.

  

No caso de o valor ser 1573, então o resultado final será: 1573 – 365 = 1208. Logo, terá nascido no dia doze de Agosto.

  

2 - Vejamos, agora, como é fácil descobrir a idade de uma pessoa. O exemplo pode ser de alguém que tenha 51 anos. Eis o que teremos de solicitar ao nosso interlocutor:

  

- multiplicar a idade por dois;

 - adicionar cinco unidades ao produto obtido;

 - multiplicar o resultado obtido por cinquenta;

 - subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido;

 - adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final.

 

 Analisemos o procedimento algébrico:

 

 

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- multiplicar a idade por dois

2i

- adicionar cinco unidades ao produto obtido

2i + 5

- multiplicar o resultado obtido por cinquenta

50 x (2i + 5)

- subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido

50 x (2i + 5) - 365

- adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final

50 x (2i + 5) – 365 + 115

 

Eis a respectiva Interpretação algorítmica:

 

50 x (2i + 5) – 365 + 115 =

= 100i + 250 – 250 =

= 100i

 

Ora, no exemplo considerado de alguém com 51 anos, dar-nos-ia como resposta o valor 5100. Tal como no caso anterior, esta fórmula permite concluir que, conhecendo-se o valor final obtido pelo nosso interlocutor, nas ordens das unidades de milhar e das centenas, encontra-se logo a sua idade.

 

3 - Um terceiro exemplo permite não só descobrir o dia e o mês de aniversário, como também o ano de nascimento. Eis o que pedir ao nosso interlocutor:

 

- escrever o número relativo ao mês de nascimento;

- multiplicar este valor por quatro;

- adicionar treze unidades ao valor agora obtido;

- multiplicar por vinte e cinco a soma obtida;

- subtrair o valor duzentos;

- adicionar o dia de nascimento;

- multiplicar a soma agora obtida por dois;

- subtrair o valor quarenta;

- multiplicar este último valor obtido por cinquenta;

- adicionar os últimos dois dígitos do ano de nascimento e revelar o valor  obtido.

 

Qual será a exlicação matemática e o que é que teremos de fazer no final para descobrirmos a data de nascimento do nosso interlocutor?

Pensamento algébrico - à procura de generalizações

Janeiro 03, 2011

Paulo Afonso

O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas actividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenómeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.

  

O exemplo que trago para reflexão assenta em figuras de natureza geométrica que obedecem a um determinado tipo de regularidade ou padrão de crescimento. Qual será a figura que dará continuidade a esta sequência de figuras?

 

 

Como a pergunta é de natureza geométrica, será muito fácil perceber-se que a próxima figura terá de ter uma nova fronteira de quadrados que respeita a colocação das "fronteiras" anteriores, isto é:

 

 

Contudo, outro tipo de estratégia de resolução poderia passar pela contagem dos quadrados unitários existentes em cada figura anterior. O objectivo seria o de se verificar se existia algum tipo de regularidade, de modo a que fosse mais fácil continuar essa eventual regularidade.

 

Façamos a contagem: 1, 5, 13, 25,...

 

Esta sequência numérica permite que relacionemos os vários números da seguinte forma:

 

1 = 1 + 0 x 4

5 = 1 + 1 x 4

13 = 1 + 3 x 4

25 = 1 + 6 x 4

 

Verifiquemos o tipo de números que estão a multiplicar o factor 4. Exceptuando o 1º caso, os números 1, 3  e 6 fazem parte da sequência de números triangulares, tema ao qual já dediquei alguns artigos neste blog. Como sabemos, a lei geral que gera este tipo de números figurados (f) é a seguinte: f = (n2 + n) : 2. Logo, substituindo o "n" por 4, por ser a 5ª figura, o valor de "f" será o seguinte: (42 + 4) : 2 = 10. Sendo assim, a próxima figura teria 1 + 10 x 4 quadradinhos unitários, isto é, 41 quadradinhos:

 

 

Como confirmação, e atendendo às cores, temos, pois, 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 45 quadradinhos unitários. Sendo assim, qual será a lei geral que nos permite obter o número de quadradinhos de qualquer figura que dê continuidade a estas?

 

Pela exposição acima, o total de quadradinhos (t) de uma figura deste tipo resulta da seguinte lei geral: t = 1 + [(n2 + n) : 2] x 4, sendo "n" o número de ordem da figura que se pretende investigar menos uma unidade. Isto é, se a figura a estudar for a 20ª, o valor der "n" será 19, o que dará o valor do 19º número triangular.

 

Sendo assim, qual o total de quadradinhos que compõem a 9ª figura deste tipo? Aplique a generalização acabada de inferir e confirme com a construção da figura.

Pirâmides numéricas

Outubro 24, 2010

Paulo Afonso

Conectar a Álgebra à Geometria, e vice-versa, costuma ser usual no âmbito de actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para reflexão também apela a este tipo de conexão matemática e visa contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

De facto, irei utilizar o objecto matemático - Pirâmide quadrangular - e desafiarei os meus leitores a descobrir o número a colocar na base deste tipo de sólido tendo em conta que esse valor será a soma de quatro outros números, cada um deles a colocar em cada uma das faces laterais do sólido. Contudo, há uma regra para a colocação destes quatro números. Conhecendo-se o primeiro deles, o segundo será sempre o dobro dele acrescido de uma unidade; já o terceiro será o dobro do segundo, também acrescido de uma unidade e o quarto será o dobro do terceiro, acrescido de uma unidade também. Os números poderão ser colocados de acordo com o sentido dos ponteiros do relógio e a planificação do sólido em causa é a seguinte:

 

Se o menor dos números for o 1, quais os restantes?

 

Trata-se de uma tarefa de simples resolução e eis a figura plana que lhe dá resposta:

 

Temos, pois, que o dobro de 1, mais 1 é 3; o dobro de 3, mais 1 é 7; o dobro de 7, mais 1 é 15 e o dobro de 15, mais 1 é 31. Logo, o valor a colocar na base desta pirâmide seria o número 26, pois 26 = 1 + 3 + 7 + 15.

 

Como tarefa simples que é, alarguemos o estudo a três novas pirâmides, iniciadas, respectivamente pelo valor 2, pelo valor 3 e pelo valor 4. Eis as soluções:

 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula, levar os alunos a investigarem possíveis relações existentes entre estas quatro planificações, em termos dos valores numéricos das faces laterais e das respectivas bases. 

 

Uma conclusão possível seria a de que o valor que inicia a figura seguinte é sempre o número que sucede ao menor número que iniciou a figura anterior (1 - 2 - 3 - 4). Já a segunda posição, aquela que é o resultado de se dobrar o primeiro valor em cada figura acrescido de uma unidade, é sempre maior em duas unidades do que o respectivo valor da figura anterior (3 - 5 - 7 - 9). Este tipo de raciocínio também poderia ser feito para o terceiro valor de cada figura, como sendo sempre maior em quatro unidades relativamente ao valor da figura imediatamente anterior (7 - 11 - 15 - 19). Por sua vez, os maiores números de cada planificação também obedecem a uma regularidade numérica. De facto o valor da figura seguinte nessa posição é sempre maior em oito unidades relativamente ao respectivo valor da figura anterior (15 - 23 - 31 - 39).

 

Ora, nestas condições de evidência de várias relações numéricas entre as diferentes planificações das pirâmides, também seria desejável que os alunos tentassem averiguar se os valores das bases se podem relacionar entre si. Será que sim?

 

Uma possível análise, de natureza mais algébrica, poderia ser a que a figura seguinte evidencia:

 

Note-se que se o 1º valor for "x", o segundo será o seu dobro mais uma unidade "2x + 1". Por sua vez, o 3º número será o dobro do 2º, acrescido de uma unidade, isto é: 2 (2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3. Já o 4º número será o dobro do 3º, acrescido de uma unidade, ou seja: 2 (4x + 3) + 1 = 8x + 6 + 1 = 8x + 7. Logo, o valor da base resulta da soma de todos os valores das faces laterais: x + (2x + 1) + (4x + 3) + (8x + 7), onde os parêntesis só servem para evidenciar cada uma das quatro somas. Logo, o seu valor será 15x + 11, que mais não do que o produto do valor inicial por 15, acrescido de 11 unidades.

 

Testemos esta lei geral ou algoritmo para o caso de "x", isto é, o valor inicial ser 5:

 

O valor da base será 15 x 5 + 11 = 86.

 

No sentido de se confirmar este valor através da construção da planificação e seguindo as regras acima enunciadas para a escrita dos quatro números laterais, sabe-se que:

 

1º valor ----- 5

2º valor ----- 2 x5 + 1 = 11

3º valor ----- 2 x 11 + 1 = 23

4º valor ----- 2 x 23 + 1 = 47

 

Logo, a soma será 5 + 11 + 23 + 47 = 86:

 

Outra possibilidade de se poder chegar à soma da base passa por se investigar um outro tipo de relação numérica existente entre cada valor inicial e cada soma respectiva das figuras analisadas:

 

Valor inicialSoma da base
126
241
356
471
n

?

 

Note-se que a tabela anterior evidencia que cada soma é igul à soma anterior mais 15 unidades. Logo a mesma pode ser reescrita da seguinte forma:

 

Valor inicialSoma da base
126 = 26 + 0 x 15
241 = 26 + 1 x 15
356 = 26 + 2 x 15
471 = 26 + 3 x 15
n

26 + (n - 1) x 15

 

Logo, testando este algoritmo para o valor "n" inicial 5, confirma também a soma 86, pois: 26 + (5 - 1) x 15 = 26 + 4 x 15 = 26 + 60 = 86.

 

Tirando partido desta reflexão, será capaz de averiguar se o valor 161 pode ser um valor válido a colocar na base de uma pirâmide deste tipo, em que os quatro valores laterais obedecem às regras acabadas de analisar. No caso de ser um valor válido, quais serão os quatro valores a colocar nas faces laterais da pirâmide?

Problemas que desenvolvem o pensamento algébrico

Maio 18, 2010

Paulo Afonso

Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, como um contexto de aprendizagem propício ao desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Neste artigo pretendo evidenciar como a escolha de alguns problemas pode contribuir para que se desenvolva a temática do pensamento algébrico.

 

Vou partir de um enunciado, adaptado de um excelente livro de Vivien Lucas, intitulado "Um Problema por Dia"*, cujo texto é o seguinte: "A Letícia Triângulo estava a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante 5 minutos no 1º dia, 15 minutos no 2º dia, 25 minutos no 3º dia e assim sucessivamente." (p. 93).

 

Qual o dia que ela começou a praticar mais de metade do dia?

 

* - Lucas, V. (2003). Um Problema por Dia. Lisboa. Replicação.

 

Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e o tempo gasto a treinar piano:

 

1º dia - 5 minutos

2º dia - 15 minutos

3º dia - 25 minutos

 

Além disto, teremos de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto é, em 12 horas. Ora 12 x 60 = 720 minutos. É este o tempo de treino correspondente a metade de um dia.

  

Uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

  

Dia                       Tempo Gasto (minutos)
1º                      5
2º                      5 + 1 x (2 x 5) = 15
3º                      5 + 2 x (2 x 5) = 25

 

 

 

  

Tendo em conta a tabela anterior seria desejável que me contexto de sala de aula os alunos concluíssem que o 4º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

 

Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de dias menos um (d - 1) por dez, isto é: d = 5 + (d - 1) x (2 x 5).

 

Ora, uma estimativa interessante para se chegar ao valor de 720 minutos, corerspondente a 12 horas de treino diário seria o valor 72º dia, pois se d = 72 implica que 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 71 x 10 = 715 minutos. Ora, este valor fica ligeiramente abaixo do valor esperado, pelo que se justifica testar para o 73º dia. Assim sendo, 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 72 x 10 = 725 minutos. Será, pois, a partir do 73º dia que a Letícia treinará mais do que metade do dia.

 

Imagine-se que a sua amiga, Joana Quadrado, também estava a iniciar o seu treino de piano e decidiu treinar por dia o dobro do tempo que a Letícia treinava, começando em 10 minutos no 1º dia. Será que precisaria de metade dos dias da Letícia para passar a treinar pelo menos metade do dia?

 

Sabendo isto, a irmã gémea da Joana, de nome Rita Quadrado, decidiu fazer um plano de treino, cujos tempos diários eram sempre o dobro da sua irmã. De quantos dias precisará para começar a treinar mais do que metade do dia? 

Da magia matemática ao desenvolvimento do pensamento algébrico

Janeiro 11, 2010

Paulo Afonso

Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado número que nós idealizámos, tudo a partir de um número por ele guardado em segredo. Recordemos o enunciado de então:

 

"1 - Pense num número e não o divulgue.

2 - Adicione-lhe 5 unidades.

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem.

6 - Subtraía o valor inicial. Vou descobrir o valor final".

 

Esta tarefa de magia matemática possibilitava que qualquer resolvedor, bem dotado ao nível do cálculo mental, constatasse que no final tinha obtido o valor 3. Teste isto consigo para ver confirmado este valor final!

 

Na altura em que redigi este texto apresentei uma resolução pictórica mas, em termos matemáticos, a sua resolução por etapas é a seguinte:

 

1 - n

2 - n + 5

3 - 2 x (n + 5)

4 - 2 x (n + 5) - 4

5 - [2 x (n + 5) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n

Logo: [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n = (2n + 10 - 4) : 2 - n = (2n + 6) : 2 - n = n + 3 - n = 3.

 

Como se pode constatar, o valor final 3 é independente do valor inicial (n) mantido em segredo, porque o mesmo acaba por ser anulado ao longo do procedimento algébrico.

 

O que aconteceria se, por exemplo, em vez de se adicionarem 5 unidades se adicionassem 10? Qual a sua estimativa?

 

Certamente que uma das possíveis sugestões seria obter-se no final o valor 6, pois se em vez de 5 se adicionasse 10, que é o dobro deste valor, então no final, em vez de se obter 3, obter-se-ia o seu dobro, que é 6.

 

Vamos testar:                                          

"1 - Pense num número e não o divulgue. 

2 - Adicione-lhe 10 unidades. 

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem. 

6 - Subtraía o valor inicial. Quanto obteve?"   

     

Matematicamente, eis a resolução:

1 - n

2 - n + 10

3 - 2 x (n + 10)

4 - 2 x (n + 10) - 4

5 - [2 x (n + 10) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n

 Logo: [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n = (2n + 20 - 4) : 2 - n = (2n + 16) : 2 - n = n + 8 - n = 8.  

 

Não se confirma, pois, a estimativa do valor 6. Contudo, certamente que já observou que o valor obtido tem uma relação com o valor que se adiciona ao valor inicial, de facto. Qual é essa relação? No fundo, a questão é: podemos saber de imediato o valor final a partir do valor que mandamos adicionar ao valor inicial desconhecido?

 

Claro que sim, pois o valor final é igual ao valor que mandamos adicionar menos duas unidades. De facto, quando da adição de 5 unidades, obteve-se o valor final 3; já quando da adição de 10 unidades, obteve-se o valor 8.  

 

Esta importante conclusão permitirá que consigamos impressionar os nossos amigos em situações de recreação matemática ou de convivialidade. Por exemplo, se perante cinco amigos (A, B, C. D e E) lançarmos este desafio, mandando adicionar, no passo 2, ao amigo A o valor 10, ao amigo B o valor 12, ao amigo C o valor 14, ao amigo D o valor 16 e ao amigo E o valor 18, adivinharemos que no final o A obteve o valor 8, o B o valor 10, o C o valor 12, o D o valor 14 e o E o valor 16. Estes valores serão obtidos, independentemente dos valores inicialmente pensados por cada um deles!

 

Veja-se, agora, o seguinte enunciado:

1 - Pense num número.

2 - Duplique esse número.

3 - Adicione 8 unidades.

4 - Encontre metade do valor agora obtido.

5 - Subtraía o valor inicial.

 

Efectuando os respectivos cálculos, obter-se-á o valor 4.

Que passo do enunciado deve ser alterado para que o resultado seja 5? E 6?

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