Saltar para: Posts [1], Pesquisa [2]

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Pirâmides numéricas

Outubro 24, 2010

Paulo Afonso

Conectar a Álgebra à Geometria, e vice-versa, costuma ser usual no âmbito de actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para reflexão também apela a este tipo de conexão matemática e visa contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

De facto, irei utilizar o objecto matemático - Pirâmide quadrangular - e desafiarei os meus leitores a descobrir o número a colocar na base deste tipo de sólido tendo em conta que esse valor será a soma de quatro outros números, cada um deles a colocar em cada uma das faces laterais do sólido. Contudo, há uma regra para a colocação destes quatro números. Conhecendo-se o primeiro deles, o segundo será sempre o dobro dele acrescido de uma unidade; já o terceiro será o dobro do segundo, também acrescido de uma unidade e o quarto será o dobro do terceiro, acrescido de uma unidade também. Os números poderão ser colocados de acordo com o sentido dos ponteiros do relógio e a planificação do sólido em causa é a seguinte:

 

Se o menor dos números for o 1, quais os restantes?

 

Trata-se de uma tarefa de simples resolução e eis a figura plana que lhe dá resposta:

 

Temos, pois, que o dobro de 1, mais 1 é 3; o dobro de 3, mais 1 é 7; o dobro de 7, mais 1 é 15 e o dobro de 15, mais 1 é 31. Logo, o valor a colocar na base desta pirâmide seria o número 26, pois 26 = 1 + 3 + 7 + 15.

 

Como tarefa simples que é, alarguemos o estudo a três novas pirâmides, iniciadas, respectivamente pelo valor 2, pelo valor 3 e pelo valor 4. Eis as soluções:

 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula, levar os alunos a investigarem possíveis relações existentes entre estas quatro planificações, em termos dos valores numéricos das faces laterais e das respectivas bases. 

 

Uma conclusão possível seria a de que o valor que inicia a figura seguinte é sempre o número que sucede ao menor número que iniciou a figura anterior (1 - 2 - 3 - 4). Já a segunda posição, aquela que é o resultado de se dobrar o primeiro valor em cada figura acrescido de uma unidade, é sempre maior em duas unidades do que o respectivo valor da figura anterior (3 - 5 - 7 - 9). Este tipo de raciocínio também poderia ser feito para o terceiro valor de cada figura, como sendo sempre maior em quatro unidades relativamente ao valor da figura imediatamente anterior (7 - 11 - 15 - 19). Por sua vez, os maiores números de cada planificação também obedecem a uma regularidade numérica. De facto o valor da figura seguinte nessa posição é sempre maior em oito unidades relativamente ao respectivo valor da figura anterior (15 - 23 - 31 - 39).

 

Ora, nestas condições de evidência de várias relações numéricas entre as diferentes planificações das pirâmides, também seria desejável que os alunos tentassem averiguar se os valores das bases se podem relacionar entre si. Será que sim?

 

Uma possível análise, de natureza mais algébrica, poderia ser a que a figura seguinte evidencia:

 

Note-se que se o 1º valor for "x", o segundo será o seu dobro mais uma unidade "2x + 1". Por sua vez, o 3º número será o dobro do 2º, acrescido de uma unidade, isto é: 2 (2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3. Já o 4º número será o dobro do 3º, acrescido de uma unidade, ou seja: 2 (4x + 3) + 1 = 8x + 6 + 1 = 8x + 7. Logo, o valor da base resulta da soma de todos os valores das faces laterais: x + (2x + 1) + (4x + 3) + (8x + 7), onde os parêntesis só servem para evidenciar cada uma das quatro somas. Logo, o seu valor será 15x + 11, que mais não do que o produto do valor inicial por 15, acrescido de 11 unidades.

 

Testemos esta lei geral ou algoritmo para o caso de "x", isto é, o valor inicial ser 5:

 

O valor da base será 15 x 5 + 11 = 86.

 

No sentido de se confirmar este valor através da construção da planificação e seguindo as regras acima enunciadas para a escrita dos quatro números laterais, sabe-se que:

 

1º valor ----- 5

2º valor ----- 2 x5 + 1 = 11

3º valor ----- 2 x 11 + 1 = 23

4º valor ----- 2 x 23 + 1 = 47

 

Logo, a soma será 5 + 11 + 23 + 47 = 86:

 

Outra possibilidade de se poder chegar à soma da base passa por se investigar um outro tipo de relação numérica existente entre cada valor inicial e cada soma respectiva das figuras analisadas:

 

Valor inicialSoma da base
126
241
356
471
n

?

 

Note-se que a tabela anterior evidencia que cada soma é igul à soma anterior mais 15 unidades. Logo a mesma pode ser reescrita da seguinte forma:

 

Valor inicialSoma da base
126 = 26 + 0 x 15
241 = 26 + 1 x 15
356 = 26 + 2 x 15
471 = 26 + 3 x 15
n

26 + (n - 1) x 15

 

Logo, testando este algoritmo para o valor "n" inicial 5, confirma também a soma 86, pois: 26 + (5 - 1) x 15 = 26 + 4 x 15 = 26 + 60 = 86.

 

Tirando partido desta reflexão, será capaz de averiguar se o valor 161 pode ser um valor válido a colocar na base de uma pirâmide deste tipo, em que os quatro valores laterais obedecem às regras acabadas de analisar. No caso de ser um valor válido, quais serão os quatro valores a colocar nas faces laterais da pirâmide?

Um caso prático de números tetraédricos - empilhando esferas

Fevereiro 08, 2010

Paulo Afonso

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

 

 

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

 

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

 

 

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

 

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

 

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

  

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

 

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

 

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n2 + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (62 + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

 

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

 

Eis a respectiva figura:

 

 

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

 

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

 

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

 

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

 

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações, tal como já tive oportunidade de analisar num dos artigos deste blog: (3C3, 4C3, 5C3, 6C3, 7C3, 8C3, 9C3, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

 

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

 

 

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido. 

Mais sobre mim

foto do autor

Subscrever por e-mail

A subscrição é anónima e gera, no máximo, um e-mail por dia.

Arquivo

  1. 2013
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2012
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2011
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2010
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2009
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2008
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"