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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Explorando hexágonos regulares

Janeiro 26, 2009

Paulo Afonso

À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: www.maismat.blogspot.com. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:

Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?

Por tentativas a resposta poderá ser a seguinte:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem associar este desafio ao conceito de média aritmética, que neste caso é o valor 4, pois o total (28) a dividir pelo número de elementos da sequência numérica (7) origina esse valor.

Contudo, caso os alunos ainda não estejam na posse desse conceito, podem ser levados a concluir que a sequência numérica é susceptível de ter a seguinte interpretação:

- O valor central é o 4.

- 1 + 7 = 8.

- 2 + 6 = 8.

- 3 + 5 = 8.

Logo, a soma da linha vertical e de cada linha oblíqua, de três parcelas, seria sempre 12, pois 4 + 8 = 12.

Tendo em conta o raciocínio anterior, os alunos também poderiam ser desafiados a realizar tarefas semelhantes para os dois casos seguintes: (a) sequência numérica composta pelos sete primeiros números ímpares e (b) sequência numérica composta pelos sete primeiros números pares.

Eis as possíveis soluções:

NÚMEROS ÍMPARES NÚMEROS PARES
SOMA MÁGICA --- 21 SOMA MÁGICA --- 24

De facto, uma possível explicação passa pelos esquemas seguintes: 

Pense, agora, em como distribuir os sete primeiros números naturais de modo a que a soma dos três valores centrais, indicados pela seta, seja a terça parte da soma dos quatro valores envolvidos nas linhas oblíquas acima e abaixo dessa linha central:

Fazendo-se o estudo, equivale a encontrar-se uma soma para a linha central que é a terça parte da soma envolvendo os restantes quatro números dos quatro restantes hexágonos. Por outras palavras, a soma desses quatro valores tem de ser um valor que é triplo do valor da soma da linha central. Por outro lado sabemos que o total dos sete números implica uma soma de 28. Logo, basta resolver-se a seguinte igualdade: 3x + x = 28 para se saber o valor da soma da linha central, que é 7. Consequentemente, a soma dos outros quatro valores terá de ser 3 x 7 = 21. 

Ora, o valor 7 só pode ser obtido através das seguintes parcelas: 1, 2 e 4, pois 1 + 2 + 4 = 7.

Já o valor 21 pode ser decomposto em 10 + 11, que é, respectivamente, (7 + 3) e (6 + 5). Por outro lado também pode ser decomposto em 9 + 12, que é, respectivamente, (6 + 3) e (7 + 5). Logo, os dois casos de resolução correcta são os seguintes:

Um estudo semelhante a este pode ser feito para o seguinte desafio: As duas figuras seguintes são uma mesma e usando apenas os sete primeiros números naturais procure distribuí-los nos sete hexágonos de modo a que a soma das duas linhas centrais seja sempre a mesma e igual à soma dos valores dos restantes quatro hexágonos:

Eis duas possíveis resoluções: 

Haverá mais alguma solução? Encontre-a, justificando o seu raciocínio.

A terminar esta reflexão distribua os dezanove primeiros números naturais nos seguintes dezanove hexágonos, de modo a que a soma de quaisquer hexágonos adjacentes (3, 4 ou 5), perfazendo uma linha completa, seja sempre 38. Repare que alguns desses números já se encontram na posição correcta:

Conexões matemáticas envolvendo polígonos regulares e as suas diagonais

Outubro 10, 2008

Paulo Afonso

A Geometria e a Medida são duas áreas afins da Matemática, de onde têm sido produzidas muitas actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para abordar o tema das conexões matemáticas, envolvendo a Geometria e a Medida, tem a ver com o conceito de polígono regular e com o conceito de diagonal de um polígono regular, cujas definições são do domínio comum.

Imagine que era desafiado a identificar o número de segmentos de recta que unem dois vértices não consecutivos em cada uma das seguintes figuras geométricas 

Facilmente se apercebia que no caso do triângulo não existe nenhum segmento de recta deste tipo, no caso do quadrado existem 2, no caso do pentágono existem 5, no caso do hexágono existem 9 e no caso do heptágono existem 14: 

Sem desenhar a respectiva figura seria interessante que se conseguisse descobrir o número de segmentos de recta deste tipo para o caso de se tratar de um polígono regular de doze lados, isto é, um dodecágono.

Seria desejável que os resolvedores tentassem olhar para o número de segmentos de recta deste tipo em cada figura, no sentido de perceberem se existe ou não algum tipo de regularidade.

Ora, constata-se que o número se segmentos de recta para cada caso é, respectivamente, o seguinte: 0, 2, 5, 9, 14. Se se reparar, de 0 para 2 há um incremento de duas unidades; de 2 para 5 o incremento é de três unidades; de 5 para 9 é de quatro e de 9 para 14 é de cinco. Seguindo-se este critério, facilmente se conclui que para o caso do dodecágono existem 54 segmentos de recta deste tipo.

Se esta situação for transportada para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos pudessem pensar numa lei geral que relacionasse o número deste tipo de segmentos de recta  - diagonais dos polígonos - com o número de lados de cada polígono.

A tabela seguinte sistematiza os dados: 

  Polígono    

Nº de Lados (l)

Nº de Diagonais (d)

Triângulo

3

0

Quadrado

4

2

Pentágono

5

5

Hexágono

6

9

Heptágono

7

14

Octógono

8

20

Eneágono

9

 27

Decágono

10

 35

Undeágono

11

 44

Dodecágono

12

 54

Analisando-se ambas as colunas que contêm valores numéricos, deduz-se a lei geral de obtenção do número de diagonais de um polígono regular a partir do número de lados desse polígono: d = l x (l - 3) : 2, sendo "d" o número de diagonais de um polígono regular e "l" o número de lados desse polígono.

Neste caso qualquer pergunta que vise a obtenção do número de diagonais de um determinado polígono regular, facilmente será resolvida pela aplicação directa da fórmula anterior.

Sendo assim, qual o número de diagonais do icoságono, isto é, do polígono regular formado por 20 lados?

Tal como temos vindo a fazer em artigos anteriores, este tema também pode suscitar algumas extensões e conexões a outros assuntos matemáticos, como seja o dos números triangulares.

Repare na soma do número de lados de cada polígono, supra analisado, e o respectivo número de diagonais:

Polígono    

Nº de Lados (l)

Nº de Diagonais (d)

l + d

Triângulo

3

0

3

Quadrado

4

2

6

Pentágono

5

5

10

Hexágono

6

9

15

Heptágono

7

14

21

Octógono

8

20

28

Eneágono

9

 27

36

Decágono

10

 35

45

Undeágono

11

 44

55

Dodecágono

12

 54

66

Os números 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., por permitirem a obtenção de figuras triangulares, designam-se de números triangulares:

           3              

6

10

A fórmula que gera este tipo de números pode ser deduzida a partir da lei geral que gera o número de diagonais de um polígono regular em função do seu número de lados e é a seguinte tn =  n x (n + 1) : 2, sendo "t" um número triangular e "n" a ordem desse número triangular na respectiva sequência de números triangulares. Como primeiro número triangular há que se considerar o 1, pois t1 = 1 x 2 : 2 = 1.

Esta conexão matemática permite que se desafiem os alunos com várias tarefas interessantes, às quais dedicarei um próximo artigo.

Para já desafio-os a responder à seguinte tarefa: Qual o polígono regular cuja soma do número de lados com o número das suas diagonais origina o 15º número triangular?

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