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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Conexões matemáticas entre os quadrados mágicos e as potências de expoente inteiro

Outubro 14, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas. No presente artigo pretendo conectar um desse tipo de figuras (os quadrados de ordem 3) ao tema das potências de expoente inteiro.

 

Comecemos por analisar as seguintes figuras:

  

 

Analisando-se cada uma delas constata-se que são formadas por nove números inteiros consecutivos, iniciando a da esquerda no 1, a do meio no 2 e a da direita no 3. Adicionando-se os três valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal, a soma é sempre a mesma em cada figura: na da esquerda há uma soma mágica de 15, na do meio a soma mágica é 18 e na da direita a soma mágica é 21.

 

Existe, pois, um padrão numérico que relaciona as várias somas mágicas que se vão obtendo, a partir do menor número de cada sequência numérica utilizada. De facto, para o início em 1, a soma é 15; para o início em 2, a soma é 15 + 1 x 3; para o início em 3, a soma mágica é 15 + 2 x 3 e assim sucessivamente. 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula de matemática, que os alunos fossem incentivados a investigar esta e outras regularidades existentes nestas mágicas figuras, chegando mesmo à lei geral que permite identificar ou prever uma qualquer soma mágica (s) a partir de um qualquer número inteiro (n) que inicie uma sequência de nove números inteiros consecutivos. Essa lei seria a seguinte s = 15 + (n - 1) x 3.

 

Observando com atenção as três figuras acima, facilmente se constata que a disposição do valor ordinal de cada um dos nove números obedece a uma mesma distribuição geométrica que é a seguinte:

 

 

Ora, tendo em conta esta mesma disposição geométrica, analisemos agora a seguinte figura. será um quadrado mágico?:

 

 

Obviamente que salta à vista não tratar-se de uma quadrado de soma mágica, pois os valores são muito díspares; não são consecutivos. Contudo se em vez de os adicionarmos em linha, em coluna ou em diagonal, os multiplicarmos, teremos uma bela surpresa.

 

De facto:

 

2 x 256 x 8 = 4096

64 x 16 x 4 = 4096

32 + 1 x 128 = 4096

  

2 x 64 x 32 = 4096

256 x 16 x 1 = 4096

8 x 4 x 128 = 4096

 

2 x 16 x 128 = 4096

8 x 16 x 32 = 4096

 

O produto mágico é, pois, 4096. Analisando os nove números em causa verifica-se serem as primeiras nove potências de base 2. Vejamos:

 

 

Em sala de aula, e dependendo do tipo de alunos, poder-se-ia introduzir a regra da multiplicação de potências com a mesma base e expoentes diferentes (mantém-se a base e adicionam-se os expoentes). De facto:

 

21 x 28 x 23 = 212

26 x 24 x 22 = 212

25 x 20 x 27 = 212

  

21 x 26 x 25 = 212

28 x 24 x 20 = 212

23 x 22 x 27 = 212

  

21 x 24 x 27 = 212

23 x 24 x 25 = 212

 

Passemos agora às potências de base 3. Eis a figura com as nove primeiras potências de base 3:

  

 

Note-se que esta figura obedece ao mesmo padrão multiplicativo anterior:

 

31 x38 x 33 = 312

36 x 34 x 32 = 312

35 x 30 x 37 = 312

   

31 x 36 x 35 = 312

38 x 34 x 30 = 312

33 x 32 x 37 = 312

 

31 x 34 x 37 = 312

33 x 34 x 35 = 312

  

Com os respectivos valores das potências, o aspecto da figura será o seguinte:

 

 

Calculemos, pois, o respectivo produto mágico:

 

3 x 6561 x 27 =531441

729 x 81 x 9 = 531441

243 x 1 x 2187 = 531441

 

3 x 729 x 243 = 531441

6561 x 81 x 1 = 531441

27 x 9 x 2187 = 531441

 

3 x 81 x 2187 = 531441

27 x 81 x 243 = 531441

 

Analisemos, ainda as nove primeiras potências de base 4:

 

 

Neste caso volta a haver um produto mágico, de valor 412, isto é 16777216.

 

Como exploração extra poder-se-ia substituir a base destas potências pelo quadrado de dois, o que daria a seguinte nova figura:

 

 

Tirando partido desta substituição, poder-se-ia introduzir ou rever o conceito de potência de uma potência, destacando a regra operativa de manter a base e multiplicar os expoentes. Eis como figura a figura mágica:

 

 

Logo, o produto mágico 412 será equivalente ao valor da potência 224.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais são os nove números que originam um quadrado mágico com produto mágico 912? 

Registar os números inteiros com o minicomputador Papy

Novembro 23, 2009

Paulo Afonso

Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:

Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.

Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:

Quantidade 1 Quantidade 2 Quantidade 4 Quantidade 8

Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:

3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 9 = 1 + 8

Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:

Quantidade 10 (10 + 0) Quantidade 12 (10 + 2)

Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?

A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:

Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?

Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:

1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:

Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:

Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:

 

 Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:

 

Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:

Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:

Eis o resultado final de 203 ovelhas:

Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte:

Faça uma resolução do mesmo tipo para a seguinte disposição incorrecta de marcas:

Caminhos numéricos

Março 30, 2009

Paulo Afonso

Aparentemente desligada de qualquer conceito matemático, a figura seguinte visa obter um resultado final a partir de um número dado e de dois critérios operativos numéricos, um na horizontal e outro na vertical:

Este desafio, pela sua simplicidade, permite que rapidamente seja encontrado o valor 11 para a célula final:

Em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que cada valor colocado numa linha oblíqua resulta da combinação das duas operações a realizar, respectivamente, em linha e em coluna. Neste caso, trata-se da adição de 5 unidades. Como isto ocorre duas vezes na linha diagonal máxima desta figura, significa que o resultado final (F) será a soma do valor de partida (P) com duas vezes a adição de 5 unidades: F = P + 5 + 5. Simplificando, F = P + 2 x 5:

Esta tarefa permite que os alunos sejam desafiados a identificar todos os percursos desde o valor 1 inicial até ao valor 11 final. Com esta questão estar-se-á a trabalhar o conceito matemático da decomposição do número, pois identificar-se-ão algumas decomposições do valor 11:

1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11 1 + 2 + 5 + 3 = 11 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 11
1 + 2 + 3 + 5 = 11 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 11 1 + 5 + 2 + 3 = 11
1 + 5 + 5 = 11 1 + 5 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 2 + 2 + 3 = 11
1 + 3 + 2 + 5 = 11 1 + 3 + 2 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 5 + 2 = 11
1 + 3 + 3 + 2 + 2 = 11    

Estas são, pois, 13 possibilidades de decompor o valor 11.

Voltando à situação inicial, constata-se que a fórmula identificada (F = P + 2 x 5) funciona para outros casos, como os seguintes:

No 1º caso: 2 + 2 x 5 = 12. No 2º caso: 10 + 2 x 5 = 20.

Se se mudarem os critérios aditivos, quer em linha, quer em coluna, será que a regularidade, agora identificada, também se mantém?

Vejamos os seguintes casos: 

No 1º caso: 1 + 2 x 7 = 15. No 2º caso: 10 + 2 x 11 = 32. Confirma-se, pois, que o valor final resulta sempre da adição do valor inicial com o dobro da soma dos operadores aditivos envolvidos em em linha e em coluna.

Será que a operação multiplicação também permite uma analise semelhante a este caso da adição?

Iniciemos o estudo através da figura seguinte:

Note-se que, neste caso, também poderemos avançar com um algoritmo que servirá para vários casos envolvendo estes valores operativos: F = P + 6 x 6, isto é, F = P x 62:

Concluimos, pois, que esta operação envolve o conceito de potenciação, pois o valor final resulta do produto do valor inicial com o quadrado do valor envolvido no produto dos operadores em linha e em coluna.

Esta nova lei geral também se aplica no caso se se substituir o valor inicial 1 pelo valor 2:

 

Confirma-se que 2 x 62 = 72.

Tendo em conta estas análises, recorra ao esquema seguinte para confirmar a sua identificação do valor final para um novo caso como estes, em que os critérios multiplicativos  passam a ser "x 5" na horizontal e "x 6" na vertical e cujo valor inicial é 100:

Se este mesmo quadro de 3 por 3 passasse à forma 5 x 5, qual seria o valor final? Como se deve obter esse valor sem se recorrer à elaboração do esquema?

O mundo mágico das conexões matemáticas

Dezembro 28, 2008

Paulo Afonso

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

 

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

 

B: - Sabendo que existem cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

 

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

 

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

 

Qual a resolução de cada um?

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

Potências e padrões numéricos

Setembro 04, 2008

Paulo Afonso

O tema das potências de expoente natural é um dos temas propícios a adoptar em actividades de Matemática Recreativa. Por um lado permitem várias conexões a temas do quotidiano e permitem, por outro lado, a realização de investigações interessantes ao nível dos padrões de natureza numérica. Veja-se o seguinte caso:

De uma forma rápida, encontre a soma seguinte, que dê continuidade ao padrão numérico das somas apresentadas, resultantes da adição de várias potências de base 2:

1 + 2 =                                                                       3

1 + 2 + 4 =                                                                 7

1 + 2 + 4 + 8 =                                                         15

..... =                                                                           ?

Uma resposta possível ao desafio colocado podia passar pela escrita da próxima sequência, efectuando-se a respectiva soma:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 =                                                  31

Contudo, ao nível da sala de aula de matemática, este desafio poderia ser utilizado para que os alunos pudessem propor uma estratégia de resolução matematicamente mais elegante, passando pela descoberta da regra que atravessa todos estes casos. Seria interessante que os alunos pudessem descobrir que a soma para cada sequência apresentada passa pela descoberta do próximo termo, subtraindo-se uma unidade.

Note que se a sequência envolver as potências de base 3, o critério é ligeiramente diferente:

1 + 3 =                                                                        4

1 + 3 + 9 =                                                                13

1 + 3 + 9 + 27 =                                                        40

... =                                                                              ?

No caso vertente, a estratégia de resolução passa pela identificação do termo seguinte, subtraindo-se uma unidade a esse valor e calculando-se a metade deste valor final.

E no caso das potências de base 4 ou no caso das potências de base 5? Qual a estratégia adequada para a descoberta rápida de uma qualquer soma envolvendo potências consecutivas?

Potência de base 4 Potências de base 5
1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 
1 + 4 + 16 = 21 1 + 5 + 25 = 31 
1 + 4 + 16 + 64 = 85 1 + 5 + 25 + 125 = 165
... =  ? ... = ?

 

Reconhecer padrões

Agosto 15, 2008

Paulo Afonso

Como referi num outro artigo deste Blog, em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores. Veja-se o seguinte exemplo e tente dar continuidade ao padrão:

 

225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025

 

A resolução desta situação pode passar pela seguinte estratégia: isolar o número 25 em cada caso e centrar a atenção apenas no que resta:

 

2     25

6     25

12     25

20     25

30     25

42     25

56     25

72     25

90    25

 

Ora, os valores da coluna da esquerda podem ser vistos como sendo o produto de dois números consecutivos, isto é:

 

2  (1 x 2) 25
6  (2 x 3) 25
12  (3 x 4) 25
20  (4 x 5) 25
30  (5 x 6) 25
42  (6 x 7) 25
56  (7 x 8) 25
72  (8 x 9) 25
90  (9 x 10) 25

 

Sendo assim, a solução desta tarefa envolve o produto de 10 por 11, acrescido do valor 25, isto é, o valor 11025.

 

 

110 (10 x 11) 25

 

 

Transportando esta tarefa para a sala de aula, seria interessante levar os alunos a concluir que cada valor da sequência numérica inicial não é mais do que o quadrado de um número terminado em 5:

 

152 = 225

252 = 625

352 = 1225

452 = 2025

552 = 3025

652 = 4225

752 = 5625

852 = 7225

952 = 9025

 

Recorrendo à teoria dos números, pode-se pensar num número formado por dois dígitos (w5), em que o das unidades é 5. Se se elevar este número ao quadrado, isto é, (10w + 5)2, implica o seguinte desenvolvimento: 100w2 + 100w + 25. Isolando o 25 e colocando o 100 em evidência, obtém-se o seguinte: 100 (w2 + w) + 25, ou seja: 100 x [w x (w + 1)] + 25. Logo, multiplicando-se o valor situado à esquerda do 5 pelo seu sucessor, obtém-se o valor da ordem das centenas do resultado final, seguido do 25.

Face a esta explicação, seria interessante desafiar os alunos a fazer um estudo semelhante para o caso dos quadrados dos números formados por dois dígitos, cujo algarismo das unidades seja diferente do 5, como seja o caso, por exemplo, do 3.

 

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