Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos
Dezembro 11, 2011
Paulo Afonso
Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.
Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.
Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:
n = 1 | 21 - 1 = 2 - 1 = 1 |
n= 2 | 22 - 1 = 4 - 1 = 3 |
n = 3 | 23 - 1 = 8 - 1 = 7 |
n = 4 | 24 - 1 = 16 - 1 = 15 |
n = 5 | 25 - 1 = 32 - 1 = 31 |
n = 6 | 26 - 1 = 64 - 1 = 63 |
n = 7 | 27 - 1 = 128 - 1 = 127 |
n = 8 | 28 - 1 = 256 - 1 = 255 |
n = 9 | 29 - 1 = 512 - 1 = 511 |
n= 10 | 210 - 1 = 1024 - 1 = 1023 |
Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.
Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?
Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:
n = 2 | 3 x 2n-1 = 3 x 2 = 6 |
n = 3 | 7 x 2n-1 = 7 x 4 = 28 |
n = 5 | 31 x 2n-1 = 31 x 16 = 496 |
n = 7 | 127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128 |
n = 9 | 511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816 |
Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?
Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:
Fatorização do 6 | Fatorização do 28 | Fatorização do 496 |
![]() | ![]() | ![]() |
6 = 2 x 3 | 28 = 22 x 7 | 496 = 24 x 31 |
Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:
Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:
Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:
Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?
Vejamos:
a) 1 + 2 + 3 = 6
b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.
A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.
Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?