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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

O mundo mágico das conexões matemáticas

Dezembro 28, 2008

Paulo Afonso

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

 

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

 

B: - Sabendo que existem cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

 

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

 

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

 

Qual a resolução de cada um?

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

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