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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Somas cruzadas

Abril 20, 2011

Paulo Afonso

Efectuar actividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

 

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

 

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

 

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

 

Testemos cada caso na respectiva figura:

 

1º caso:

 

 

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

 

 

2º caso:

 

 

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

 

 

3º caso:

 

 

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1= 11.

 

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

 

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

 

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

 

Múltiplos do 5:  Múltiplos do 10:
 

 

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

 

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

 

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

 

 

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

 

Relações aritméticas e pensamento algébrico

Novembro 09, 2009

Paulo Afonso

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:

 

 

* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.

 

 

Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:

 

 

De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:

 

 

A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.

Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5  por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.

Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?

Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:

 

Nº da Coluna Respectivo Valor Central
1 1
2 3
3 7
4 13
5 21
... ...
n ?

 

Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!

Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:

12 - 0 = 1

22 - 1 = 3

32 - 2 = 7

42 - 3 = 13

52 - 4 = 21

Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n2 - (n - 1).

Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n2 - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.

A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!

Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).

A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:

 

Número da Coluna Respectivo Valor Inicial
1 1
2 2
3 5
4 10
5 17
... ...
n ?

 

Note-se que:

1 = 12 - 2 x 1 + 2

2 = 22 - 2 x 2 + 2

5 = 32 - 2 x 3 + 2

10 = 42 - 2 x 4 + 2

17 = 52 - 2 x 5 + 2

Assim n2 - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).

Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?

Sequências numéricas lacunadas

Abril 27, 2009

Paulo Afonso

Ao nível da recreação matemática é vulgar assistirmos à apresentação de sequências numéricas em que nos é solicitado que as continuemos ou que descubramos as leis gerais que, matematicamente, as suportam.

Um exemplo ilustrativo do que acabo de referir é a tarefa seguinte, que visa a descoberta dos números que faltam:

 

36     __     52     60     __

 

Esta tarefa pode ser facilmente resolvida, pois, o par de números 52 e 60 dá-nos a pista de que os números estão dispostos segundo um progressão aritmética de razão 8, com início no valor 36.

Esta constatação permite que associemos a primeira lacuna ao valor 44 e a última ao valor 68, pois, 44 = 36 + 8 e 68 = 60 + 8.

Em situação de sala de aula seria interessante que os alunos descobrissem a lei geral desta sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que apresento a seguir:

1º termo             -     36 = 36 + 0 x 8

2º termo             -     44 = 36 + 1 x 8

3º termo             -     52 = 36 + 2 x 8

4º termo             -     60 = 36 + 3 x 8

5º termo             -     68 = 36 + 4 x 8

...

nésimo termo     -     T   = 36 + (n - 1) x 8 

Tendo em conta esta lei geral, facilmente podemos obter um qualquer número desta sequência, pois o valor em causa resulta da adição do número 36 com o produto da posição que esse número ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 8.

A título de exemplo, o 11º termo desta sequência numérica é o 116, pois 116 = 36 + (11 - 1) x 8.

Analisando um pouco mais esta sequência de números, também se constata que cada um é a soma de oito números consecutivos. Veja-se o caso dos três primeiros números da sequência:

Confirma-se que 36 é o resultado da adição dos oito primeiros números naturais; 44 é a soma de oito números naturais, iniciados pelos valor 2, e o 52 também resulta da adição de oito números naturais, iniciados pelor valor 3.

Tendo em conta este novo padrão ou regularidade, poder-se-ia pensar quais seriam os oito números naturais consecutivos, cuja soma fosse 100:

Ora, igualando a lei geral [36 + (n - 1) x 8] a 100, descobre-se para "n" o valor 9. Logo, o início da sequência numérica será o número 9. De facto, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16:

O que acontecerá se os números utilizados forem apenas os números ímpares?

Vejamos os três primeiros exemplos:

Neste caso, a identificação da lei geral dos números envolvidos nas somas passa pelo seguinte raciocínio:

1º termo             -     65 = 64 + 0 x 16

2º termo             -     80 = 64 + 1 x 16

3º termo             -     96 = 64 + 2 x 16  

...

nésimo termo     -     T   = 64 + (n - 1) x 16

Quais serão so oito números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 160?:

Experimente fazer, também, um estudo para o caso dos números pares e tire as respectivas conclusões.

Regularidades numéricas

Outubro 06, 2008

Paulo Afonso

Como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, a Matemática é propícia à descoberta de regularidades que, em última instância, deveriam despertar no resolvedor a vontade de procurar uma lei geral para todo e qualquer caso que se investigue.

Imagine que era desafiado, em contexto de recreação matemática, a encontrar semelhanças nos números existentes nas seguintes figuras rectangulares, compostas por quatro elementos cada: 

1

 

2

 

 

2

 

3

 

 

3

 

4

 

3

 

4

 

 

4

 

5

 

 

5

 

6

 

Eventualmente poderia constatar que se trata dos seis primeiros números naturais, distribuídos em conjuntos de quatro elementos, dispostos em progressão  aritmética, em que a linha de baixo dá continuidade à linha de cima.

Outra possível conclusão será a que analisa que o início de cada novo conjunto de quatro elementos é sempre um número sucessor do número que inicia o conjunto anterior, isto é, o que está colocado à sua esquerda.

Por outro lado também poderá concluir algo em termos da adição dos números existentes em cada linha, em cada coluna ou em diagonal. Vejamos:

(a) de uma linha para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 4 unidades [(3,7); (5, 9); (7,11)];

(b) de uma coluna para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 2 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(4, 6); (6,8); (8,10)];

(c) a soma dos dois dígitos em cada diagonal é sempre a mesma [(5,5); (7,7); (9,9)];

(d) lendo os dois dígitos em cada linha, como sendo um número por eles formado, de uma linha para a outra há um aumento de 22 unidades [(12,34); (23,45); (34,56)];

(e) lendo os dois dígitos em cada coluna, como sendo um número por eles formado, de uma coluna para a outra há um aumento de 11 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(13,24); (24,35); (35,46)].

Que outras conclusões poderia retirar a partir dos valores apresentados?

Ora, transportando em situação para o cenário de uma aula de Matemática, seria interessante explorar-se as conclusões agora indicadas. 

Além disto, seria muito interessante desafiar os alunos a investigarem, para cada um dos três conjuntos de quatro números, o que se passa se considerarmos cada par de dígitos, adjacentes na horizontal e na vertical, como sendo um único número. Quantos números se obtêm? Qual a soma dos seus valores? Haverá uma regularidade que contempla os três casos?

1

 

2

 

 

2

 

3

 

 

3

 

4

 

3

 

4

 

 

4

 

5

 

 

5

 

6

 

Observando-se a tabela, verifica-se que:

(a) os primeiros quatro números permitem as seguintes adições: 12 + 34 + 13 + 24 = 83;

(b) os segundos quatro números permitem as seguintes adições: 23 + 45 + 24 + 35 = 127;

(c) os terceiros quatro números permitem as seguintes adições: 34 + 56 + 35 + 46 = 171.

Analisando-se estas três somas, constata-se que há uma regularidade, pois a diferença entre duas consecutivas é sempre 44. Ora isto poderá levar-nos a conjecturar que o próximo conjunto de quatro dígitos implicará a soma 215, pois 171 + 44 = 215. Ao testarmos esta conjectura, confirmamos a sua veracidade:

4

 

5

 

6

 

7

 

De facto, 45 + 67 + 46 + 57 = 215.

Analisando-se racionalmente o que está matematicamente em causa, podemos tecer a seguinte explicação:

10x

                   

x+1

 

           

10 (x + 2)

 

 

x + 3

 

 

Logo: 10x + (x + 1) + 10 (x + 2) + (x + 3) + 10x + (x + 2) + 10 (x + 1) + (x + 3) = 44x + 39, que é a lei geral para esta interessante situação. Realmente, testando a lei para cada caso, isto é, substituindo o "x" pelo número que inicia uma sequência de quatro números consecutivos, verificamos:

(a) se x = 1, então 44 x 1 + 39 = 83;

(b) se x = 2, então 44 x 2 + 39 = 127;

(c) se x = 3, então 44 x 3 + 39 = 171.

Conhecendo-se esta lei poder-se-á desafiar os alunos a descobrir a soma para o caso de o primeiro de quatro números consecutivos ser o 10.

Aplicando-se a lei geral, obtém-se a soma 479, pois: 44 x 10 + 39 = 479.

Contudo, olhando para a tabela respectiva, como proceder de modo a obter-se este valor?

10

 

11

 

12

 

13

 

Provavelmente descobrirá que teremos que aplicar o conceito de "aí vai um", isto é, a ideia de transporte envolvendo as ordens do nosso sistema de numeração decimal. Sendo assim, a dezena do 11 ao passar para a ordem das dezenas, onde já existe o 10, fará com que a linha de cima esteja a representar o número 111. De igual modo, a dezena do 13 juntar-se-á às 12 dezenas da segunda fila, originando-se o número 133. Fazendo-se um raciocínio semelhante para cada coluna, obtém-se, respectivamente o valor 112 e 123. Logo, adicionando-se estes quatro valores, obtemos o tão esperado 479, pois: 111 + 133 + 112 + 123 = 479.

Esta interessante actividade permite, como sempre, múltiplas extensões. De aí que o convide a fazer um estudo semelhante para o caso de se usarem somente os 6 primeiros números ímpares ou os 6 primeiros números pares. Será que as regularidades se mantêm?

 

Investigações matemáticas envolvendo os números pares e os números ímpares

Setembro 25, 2008

Paulo Afonso

Quem não gostaria de dizer que tem jeito para ser investigador matemático? Provavelmente aqueles que são apaixonados pela Matemática têm investido bastante no sentido de irem desenvolvendo a sua postura de permanente indagação, aspecto indispensável a quem pretende ser investigador matemático.

As situações de recreação matemática são propícias ao desenvolvimento deste tipo de postura para com esta apaixonante ciência. Conjecturar, procurar regularidades, testar hipóteses, reflectir, questionar, são, pois, aspectos inerentes ao acto de investigar.

Por vezes, ao tentar resolver-se uma determinada tarefa ou desafio matemático, perfeitamente delimitado ao nível do que é dado e do que é pedido, surge a possibilidade de se pensar em possíveis extensões dessas tarefas ou desafios, de modo a criarem-se verdadeiros cenários de investigação matemática, onde apenas sabemos de onde vimos mas não temos certezas relativamente aonde vamos chegar.

O exemplo que escolhi para ilustrar este tema tem por base um desafio matemático que encontrei num maravilhoso livro* de Henry Dudeney, recentemente publicado em Portugal pela RBA Editores. Eis o enunciado:

Um comerciante de Bagdade tinha à venda dez barris de um valioso bálsamo. Estavam numerados e dispostos em duas filas, uma sobre a outra […]. Quanto menor era o número do barril, maior era o seu valor. Deste modo, a melhor qualidade estava numerada com um «1» e a pior estava numerada com um «10»; os outros números respeitavam esta escala de qualidade.

Ora bem, a regra de Ahmed Assan, era este o nome do comerciante, consistia em não pôr um barril debaixo ou à direita de um de menor valor […]. O enigma consiste em descobrir de quantas maneiras diferentes pôde o comerciante de Bagdade ter acomodado os seus barris nas duas filas, sem quebrar a regra. Consegue calcular a quantidade de maneiras?” (Dudeney, 2008, pp. 87-88).

* - Dudeney, Henry (2008). O mistério do cais. Divertimentos matemáticos (III). Barcelona: RBA Editores.

 Esta situação tem várias resoluções, de entre as quais destaco as seguintes: 

1     2     4     6     8

 3     5     7     9   10

1     3     5     7     9

 2     4     6     8   10

1     2     3     4     5

6     7     8     9   10

Como o autor explica, é fácil descobrir-se o número de possibildades de resposta correcta, bastando para tal multiplicar-se os valores de cada fila, seguindo-se a divisão do maior valor obtido pelo menor. Este processo permite encontrar as 252 combinações de dez objectos, tomando cinco de cada vez. Este valor deve, ainda, ser dividido por 6 (sucessor do número de barris por fila) e obtém-se a resposta à tarefa, que é 42 maneiras possíveis.

Testando esta regra para o caso de os valores dos barris serem apenas 1, 2, 3 e 4, a mesma confirma-se, pois originam-se duas possibilidades, que são os seguintes: 

1 x 2 = 2; 3 x 4 = 12; 12 : 2 = 6; 6 : (2 + 1) = 2,

1     2

3     4

1     3

2     4

Confirme a regra para o caso de os barris terem os seguintes rótulos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Ora, ao colocar em campo a nossa vontade de se dar resposta a este último desafio, constatamos que se obtiveram, entre outros, estes dois casos de sucesso:

1     2     5

3     4     6

1     3     4

2     5     6

"Olhando com olhos de ver" para estes dois casos em concreto, verificamos a seguinte curiosidade: a soma dos valores da fila de cima é igual nos dois casos. Por sua vez, a soma dos valores da fila de baixo também, ainda que diferente daquela. Refiro-me, respectivamente, aos valores 8 e 13.

Será interessante verificar se ocorrerão mais casos como este...

Apelando ao nosso sentido de indagação, podemos tentar investigar se esta situação também ocorre no caso dos seis primeiros números pares ou no caso dos seis primeiros números ímpares.

Eis o resultado surpreendente:

Números pares:  

Números ímpares:

 

2     4     10

6     8     12

2     6     8

4     10   12

1     3     9

  5     7    11

1     5     7

 3      9    11

Para além de se confirmar a conjectura, consta-se uma nova curiosidade: em todos os casos, a diferença entre as duas somas é sempre 10 unidades!

(a) Será que a posição dos valores nas respectivas sequências influencia os resultados desta investigação?

(b) Será que também resulta para a seguinte progressão aritmética: 20, 24, 28, 32, 36, 40?

(c) Será que a razão da progressão, isto é, a diferença entre dois números consecutivos da sequência numérica, influencia a diferença de valores entre a soma dos valores da fila de cima e a soma dos valores da fila de baixo?

Sequências mágicas

Setembro 05, 2008

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa as sequências numéricas suscitam actividades muito motivadoras quando associadas a determinadas disposições geométricas. Este tipo de conexão matemática podemos encontrá-la em múltiplas publicações da especialidade, como seja o magnífico livro de Brian Bolt (1996)*. Vejamos o seguinte exemplo que adaptamos dessa obra:

Colocar na figura seguinte os algarismos de 1 a 8, de modo a que a soma em cada linha e em cada coluna seja sempre a mesma:

 

Por tentativa e erro, esta tarefa poderia ser resolvida da seguinte forma, não esgotando, contudo, todas as possibilidades que existem:

Como explicação teórica sabemos que cada uma das quatro somas (S) é sempre a mesma, isto é, a + b + c = e + d + h = f + e + b = g + c + d. Logo, também sabemos que:

4S = a + b + c + e + d + h + f + e + b + g + c + d, isto é,

4S = a + 2b + 2c + 2d + 2e + f + g + h, ou

4S = (b + c + d + e) + (a + b + c + d + e + f + g + h)

Por outro lado sabemos que a + b + c + d + e + f + g + h = 36, logo:

4S = b + c + d + e + 36

Sabemos ainda que no mínimo b + c + d + e = 10 e no máximo será 26.

Logo, 4S estará compreendido entre 10 + 36 e 26 + 36, isto é, entre 46 e 62. Daqui podemos concluir que S estará entre 12 e 15.

Admitindo que S possa ser 12, sabe-se que b + c + d + e = 4 x 12 - 36, isto é, b + c + d + e = 12.

Sabemos também que a + b + c + e + d + h = 24. Logo, a + h = 24 - 12 = 12. Por sua vez, g + f = 12. Com base nestas conclusões torna-se fácil apresentar a solução aqui ilustrada.

Consegue fazer os estudos respectivos para as somas 13, 14 e 15?

* - Bolt. Brian (1996). Puzzles de Matemática. Lisboa: Terramar.

Esta interessante tarefa permite várias extensões, de entre as quais destaco o estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos serem os seguintes: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Será que a soma mínima é 24, como mostro na figura seguinte? Haverás mais somas? Quantas?

Outra extensão possível é tentar distribuir os oitos números originais, de modo que as quatro somas sejam quatro números inteiros consecutivos.

Um caso possível é da figura seguinte, contudo o desafio é o de se investigar se existem mais casos como este, isto é, envolvendo quatro somas consecutivas, diferentes destas ou, então, que configurem uma progressão aritmética de razão 2.

Apenas deixo a pista de se analisar os quatro números colocados nas quadrículas a, f, g e h. De que números se tratam?

Brincar com os números

Setembro 02, 2008

Paulo Afonso

Os números são de vários tipos e permitem o estabelecimento de múltiplas relações matemáticas.

Num cenário de recreação matemática imagine-se desafiado a utilizar apenas os seis primeiros números naturais, de modo a colocá-los nas seguintes seis células, segundo determinado tipo de regras, envolvendo cinco tarefas diferentes:

           

1 - A soma dos números colocados nas duas primeiras células tem que ser igual à soma dos números colocados nas duas células seguintes e igual à soma dos números colocados nas duas células da direita.

2 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que ser números consecutivos.

3 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 2.

4 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 3.

5 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 4.

Como possíveis resoluções podíamos ter os seguintes cinco casos:

1:

1 6 3 4 5 2

2:

2 4 1 6 3 5

3:

1 4 2 5 6 3

4:

1 3 5 2 6 4

5:

1 2 3 4 5 6

Em contexto de sala de aula de matemática, estes desafios poderiam ser interessantes para o estudo do conceito de progressão aritmética. Contudo, muitas outras extensões poderiam ser feitas a partir do posicionamento destes seis números naturais:

A título de exemplo, tente colocá-los nestas seis células tendo em conta, em simultâneo, todas as condições seguintes:

a) os dois primeiros números formam um número que é múltiplo de 6;

b) o 2º e o 3º números formam um número que é múltiplo de 5;

c) o 3º e o 4º números formam um número que é múltiplo de 4;

d) o 4º e o 5º números formam um número que é múltiplo de 3;

e) o 5º e o 6º números formam um número que é múltiplo de 2.

Mostre a solução e evidencie o raciocínio utilizado.

 

Descoberta de números

Julho 25, 2008

Paulo Afonso

Numa perspectiva de recreação matemática, o tema da descoberta de um conjunto de números, supostamente secretos, costuma atrair bastantes resolvedores para a tentativa de perceber a razão mágica de tal suceder.

Imagine que era solicitado a descobrir um conjunto de cinco números inteiros, múltiplos de quatro e consecutivos. Além disto sabia que cada um deles havia sido multiplicado por um mesmo valor numérico, que pode ser, por exemplo, o valor três e sabia a soma dos respectivos produtos obtidos. Como procederia para descobrir esse conjunto de cinco números?

 

Esta situação, transposta para a sala de aula, poderia servir para se explorar o conceito de progressão aritmética, de média aritmética ou para reforçar a ideia de que a Matemática pode ser encarada com a ciência dos padrões. Veja-se o exemplo formado pelos seguintes cinco números, múltiplos de quatro, o que implica que a razão da progressão seja o valor quatro: 20, 24, 28, 32 e 36.

Ora, multiplicando cada valor por três, origina os seguintes produtos: 60, 72, 84, 96 e 108. A soma destes produtos é 420. Conhecendo-se apenas os dados fornecidos pelo enunciado da tarefa, o que poderá fazer-se é a divisão da soma dos produtos pelo valor três, para se obter a soma dos cinco valores da sequência numérica, que neste caso é 140. Depois, para se encontrar o valor central, basta dividir-se o número 140 por cinco, obtendo-se o valor 28. Sendo este o valor central da progressão aritmética, terá dois valores a antecedê-lo e outros dois a sucedê-lo, todos múltiplos de quatro e consecutivos . Logo, a sequência é a seguinte: 20, 24, 28, 32, 36. Imagine que usava uma qualquer sequência numérica, formada por cinco valores, dispostos em progressão aritmética e que os multiplicava por um determinado valor constante "x", obtendo-se uma soma de todos os produtos "y". Como procederia para descobrir a sequência de números inicial?

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