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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Comunicar em Matemática

Junho 18, 2011

Paulo Afonso

Acredito que há cerca de trinta ou quarenta anos atrás não fosse muito importante desenvolver nos alunos a capacidade de comunicar em Matemática, pois o que era exigido era saber resolver, sobretudo por escrito, os múltiplos exercícios rotineiros com que se confrontavam. Hoje ainda bem que não é assim! Comunicar em Matemática e comunicar Matemática é uma capacidade que a Escola visa desenvolver nos estudantes.

 

Quando me refiro ao termo comunicar entendo-o sempre na dupla perspectiva da oralidade e da escrita. Explicar por palavras suas, ditas, ou escritas, aquilo que se pensou, aquilo que se executou ou os procedimentos que foram levados a cabo para se ultrapassarem eventuais obstáculos com que se depararam durante a resolução de uma tarefa matemática, é algo que a Escola e os professores de Matemática não podem jamais descurar. 

 

Desenvolvendo nos estudantes essa capacidade é contribuir para que eles se tornem pessoas reflexivas, com sentido crítico, capazes de esgrimir argumentos que fundamentem as suas tomadas de decisão. E não é de pessoas assim, que a Sociedade espera que a Escola forme?

 

Pois bem, no âmbito da Recreação Matemática deparei-me com mais um delicioso livro, do autor Miquel Capó Dolz, intitulado "Juega con los Números"*, que na página 33 apresenta uma tarefa que pode servir precisamente para o desenvolvimento da comunicação matemática dos respectivos resolvedores.

 

* - Capó Dolz, M. (2010). Juega con los Números. Barcelona: Ediciones CEAC.

 

Eis o enunciado (resumido) da tarefa:

 

Colocar nas quadrículas vazias os números de 1 a 7, todos e apenas uma vez, de modo que as somas em linha e em coluna coincidam com os valores aí presentes na última coluna e na última linha:

 

 

 

A solução apresentada pelo autor é a seguinte:

 

 

Esta interessante tarefa suscita, de imediato, o questionamento acerca da solução encontrada como sendo única ou não. De facto, depois de alguma reflexão sobre a disposição das somas propostas, conclui-se facilmente que não há outra solução possível para esta tarefa. Mas, mais interessante do que isso seria solicitar aos alunos, em contexto de sala de aula que explicassem oralmente ou por escrito a estratégia seguida até se chegar à solução.

 

O desejável seria haver uma explicação semelhante à que apresento a seguir:

 

1 - Face à disposição das somas 1 em linha e em coluna, no cruzamento desta linha com esta coluna só pode ficar o 1:

 

 

Logo, nessa linha e nessa coluna já não poderá haver mais nenhum número, pelo que a vou trancar com "x":

 

 

2 - Face à existência da soma 13 numa linha, o valor 7 terá de obrigatoriamente fazer parte desta linha. Ora, tendo em conta as somas das colunas, o 7 só poderá assumir duas posíções possíveis:

 

 

Contudo, devido à soma 3 em linha e à soma 10 em coluna, se o 7 ficasse posicionado na coluna da soma 10 obrigava o valor 3 a ficar nessa coluna:

 

 

Note-se que se assim fosse, com os valores que faltam colocar (2, 4, 5 e 6) já não seria possível satisfazer simultaneamente as duas somas de valor 5 em coluna e a soma de valor 7 em linha. Logo, opta-se pela outra possibilidade de colocar o número 7 na linha relativa à soma 13, trancando-se logo a coluna da esquerda:

 

 

3 - Olhando-se, agora, para a linha da soma 13, falta colocar o valor 6. Ora, tendo em conta as somas das colunas (5, 10 e 5), este só poderá ficar associado à coluna de soma 10:

 

 

4 - Pensando-se, agora, simultaneamente nas duas somas de valor 5 em coluna e na soma de valor 7 em linha, podem-se dispor os valores 2, 3 e 5 da seguinte forma:

 

 

Esta disposição já permite trancar as duas colunas de soma 5, a linha de soma 7 e a linha de soma 3: 

 

 

5 - Note-se que apenas há uma célula por preencher e um valor para colocar na tabela, que é o 4. Colocando-o nessa célula vazia, a tabela fica completa:

 

 

6 - A tarefa não pode ser dada por terminada sem se proceder à verificação. Assim, constata-se que os valores, do 1 ao 7, todos foram introduzidos na tabela e apenas uma vez. Além disso, todas as somas em linha e todas as somas em coluna estão certas.

 

Seria, pois, um raciocínio deste género que os alunos deveriam tentar produzir perante este tipo de tarefa. Claro está que os alunos poderão não ter o hábito de escrever ou justificar oralmente todo o seu processo de raciocínio. Contudo, a investigação tem provado que quanto mais tarde se iniciarem os alunos nessa tarefa, mais tarde e mais difícil será incutir este tipo de atitude de forma quase que natural.

 

Esta foi, pois, a extrapolação didáctica que esta magnífica tarefa de Capó Dolz me suscitou!

 

Explicite a resolução da tarefa seguinte, usando agora apenas os números de 1 a 6, todos e apenas uma vez, tendo em conta as seguintes novas somas em linha e em coluna:

 

Conexões matemáticas entre os quadrados mágicos e as potências de expoente inteiro

Outubro 14, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas. No presente artigo pretendo conectar um desse tipo de figuras (os quadrados de ordem 3) ao tema das potências de expoente inteiro.

 

Comecemos por analisar as seguintes figuras:

  

 

Analisando-se cada uma delas constata-se que são formadas por nove números inteiros consecutivos, iniciando a da esquerda no 1, a do meio no 2 e a da direita no 3. Adicionando-se os três valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal, a soma é sempre a mesma em cada figura: na da esquerda há uma soma mágica de 15, na do meio a soma mágica é 18 e na da direita a soma mágica é 21.

 

Existe, pois, um padrão numérico que relaciona as várias somas mágicas que se vão obtendo, a partir do menor número de cada sequência numérica utilizada. De facto, para o início em 1, a soma é 15; para o início em 2, a soma é 15 + 1 x 3; para o início em 3, a soma mágica é 15 + 2 x 3 e assim sucessivamente. 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula de matemática, que os alunos fossem incentivados a investigar esta e outras regularidades existentes nestas mágicas figuras, chegando mesmo à lei geral que permite identificar ou prever uma qualquer soma mágica (s) a partir de um qualquer número inteiro (n) que inicie uma sequência de nove números inteiros consecutivos. Essa lei seria a seguinte s = 15 + (n - 1) x 3.

 

Observando com atenção as três figuras acima, facilmente se constata que a disposição do valor ordinal de cada um dos nove números obedece a uma mesma distribuição geométrica que é a seguinte:

 

 

Ora, tendo em conta esta mesma disposição geométrica, analisemos agora a seguinte figura. será um quadrado mágico?:

 

 

Obviamente que salta à vista não tratar-se de uma quadrado de soma mágica, pois os valores são muito díspares; não são consecutivos. Contudo se em vez de os adicionarmos em linha, em coluna ou em diagonal, os multiplicarmos, teremos uma bela surpresa.

 

De facto:

 

2 x 256 x 8 = 4096

64 x 16 x 4 = 4096

32 + 1 x 128 = 4096

  

2 x 64 x 32 = 4096

256 x 16 x 1 = 4096

8 x 4 x 128 = 4096

 

2 x 16 x 128 = 4096

8 x 16 x 32 = 4096

 

O produto mágico é, pois, 4096. Analisando os nove números em causa verifica-se serem as primeiras nove potências de base 2. Vejamos:

 

 

Em sala de aula, e dependendo do tipo de alunos, poder-se-ia introduzir a regra da multiplicação de potências com a mesma base e expoentes diferentes (mantém-se a base e adicionam-se os expoentes). De facto:

 

21 x 28 x 23 = 212

26 x 24 x 22 = 212

25 x 20 x 27 = 212

  

21 x 26 x 25 = 212

28 x 24 x 20 = 212

23 x 22 x 27 = 212

  

21 x 24 x 27 = 212

23 x 24 x 25 = 212

 

Passemos agora às potências de base 3. Eis a figura com as nove primeiras potências de base 3:

  

 

Note-se que esta figura obedece ao mesmo padrão multiplicativo anterior:

 

31 x38 x 33 = 312

36 x 34 x 32 = 312

35 x 30 x 37 = 312

   

31 x 36 x 35 = 312

38 x 34 x 30 = 312

33 x 32 x 37 = 312

 

31 x 34 x 37 = 312

33 x 34 x 35 = 312

  

Com os respectivos valores das potências, o aspecto da figura será o seguinte:

 

 

Calculemos, pois, o respectivo produto mágico:

 

3 x 6561 x 27 =531441

729 x 81 x 9 = 531441

243 x 1 x 2187 = 531441

 

3 x 729 x 243 = 531441

6561 x 81 x 1 = 531441

27 x 9 x 2187 = 531441

 

3 x 81 x 2187 = 531441

27 x 81 x 243 = 531441

 

Analisemos, ainda as nove primeiras potências de base 4:

 

 

Neste caso volta a haver um produto mágico, de valor 412, isto é 16777216.

 

Como exploração extra poder-se-ia substituir a base destas potências pelo quadrado de dois, o que daria a seguinte nova figura:

 

 

Tirando partido desta substituição, poder-se-ia introduzir ou rever o conceito de potência de uma potência, destacando a regra operativa de manter a base e multiplicar os expoentes. Eis como figura a figura mágica:

 

 

Logo, o produto mágico 412 será equivalente ao valor da potência 224.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais são os nove números que originam um quadrado mágico com produto mágico 912? 

Quadrados mágicos e a operação divisão

Junho 01, 2009

Paulo Afonso

Tal como no artigo anterior, vou dedicar esta nova reflexão ao tema dos quadrados mágicos devido ao excelente livro que me tem ocupado ultimamente o meu tempo dedicado à Matemática Recreativa. Refiro-me à tradução para Castelhano do livro de Henry Dudeney, intitulado - Acertijos, Desafíos e Tableros Matemáticos. Este livro foi publicado em 2007 pela editora RBA e o tema dos quadrados mágicos aparece com alguma frequência. Desta vez associá-lo-ei à operação divisão. Vejamos o seguinte exemplo:

Qual a razão pela qual o quadrado anterior pode ser rotulado de quadrado mágico?

Repare-se que:

a) 6 x 4 : 2 = 12

b) 18 x 8 : 12 = 12

c) 36 x 24 : 72 = 12

d) 6 x 36 : 18 = 12

e) 2 x 72 : 12 = 12

f) 4 x 24 : 8 = 12

g) 6 x 24 : 12 = 12

h) 36 x 4 : 12 = 12

A magia existe ao multiplicarem-se os dois valores extremos de uma qualquer linha horizontal, vertical ou oblíqua e dividir o produto obtido pelo respectivo valor central dessa linha. Neste caso, o valor mágico é 12.

O que acontecerá se se duplicar cada valor das nove células desta figura? Será que o quadrado resultante também será mágico? A sê-lo, qual será o valor mágico?

Vejamos a figura resultante:

Eis a operações a fazer e os respectivos resultados:

a) 12 x 8 : 4 = 24

b) 36 x 26 : 24

c) 72 x 48 : 144 = 24

d) 12 x 72 : 36 = 24

e) 4 x 144 : 24 = 24

f) 8 x 48 : 16 = 24

g) 12 x 48 : 24 = 24

h) 72 x 8 : 24 = 24

O valor mágico ao ser 24 permite que se conclua que a duplicação de cada valor da figura inicial implica obter um valor mágico que é o dobro do valor mágico inicial.

Sendo assim, quais serão os nove valores do quadrado mágico destas características quando o valor mágico for 120? 

Quadrados mágicos e progressões geométricas

Maio 25, 2009

Paulo Afonso

O tema dos quadrados mágicos já várias vezes foi objecto de reflexão neste Blog. Nesta nova ocasião pretendo associar o tema a um outro assunto matemático - as progressões geométricas.

Para iniciar a minha análise solicito que comprovemos que os seguintes 9 números, dispostos de acordo com a imagem que se segue, originam um quadrado mágico especial:

Digo quadrado mágico especial, porque em vez de se obter uma soma mágica pela adição dos valores de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, obtém-se um produto mágico: 1728. De facto:

A - 24 x 2 x 36 = 1728

B - 18 x 12 x 8 = 1728

C - 4 x 72 x 6 = 1728

D - 24 x 18 x 4 = 1728

D - 2 x 12 x 72 = 1728

E - 36 x 8 x 6 = 1728

F - 24 x 12 x 6 = 1728

G - 36 x 12 x 4 = 1728

Reflictamos, agora, acerca destes 9 números. Qual o motivo que leva a que esta magia matemática ocorra?

Estes Números podem ser associados a progressões geométricas (Dudeney, 2007)*. No caso da sua disposição em linha a razão das progressões é 2 e no caso da disposição em coluna a razão das progressões é 3:

2 4 8
6 12 24
18 36 72

 

* - Dudeney, H. (2007). Acertijos, Desafíos y Tableros Mágicos. Barcelona: RBA.

 

Note-se que na tabela anterior a multiplicação envolvendo os valores da linha central (6, 12, 24), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (4, 12, 36) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (2, 12, 72 e 18, 12, 8) já originam o produto 1728: 

A - 6 x 12 x 24 = 1728 

B - 4 x 12 x 36 = 1728 

F - 2 x 12 x 72 = 1728 

G - 18 x 12 x 8 = 1728

O que acontecerá se em vez de se iniciar o estudo pelo número 2, se iniciar pelo número 1? Será que a utilização das progressões geométricas de razão 2 (na horizontal) e razão 3 (na vertical) também possibilitam que os 9 números resultantes origem um novo quadrado mágico envolvendo apenas a operação multiplicacão?

Façamos o estudo:

1 2 4
3 6 12
9 18 36

Tal como no caso anterior, a multiplicação envolvendo os valores da linha central (3, 6, 12), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (2, 6, 18) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (1, 6, 36 e 9, 6, 4) originam um mesmo produto que, neste caso, é 216: 

A - 3 x 6 x 12 = 216 

B - 2 x 6 x 18 = 216

F - 1 x 6 x 36 = 216 

G - 19 x 6 x 4 = 216

Tendo em conta esta análise e respeitando a ordem de grandeza dos números envolvidos na primeira experiência, em termos da posição que ocupam no respectivo quadrado mágico, eis a nova figura mágica obtida:

Obtém-se, pois, um quadrado mágico cujo produto mágico é 216.

Comparando estes dois casos verificamos que este produto mágico 216 está associado à origem 1 dos nove números envolvidos na respectiva figura. Já o produto mágico 1728 está associado à origem 2. Ora, verifica-se que o valor 1728 é oito vezes maior que o valor 216.

Esta observação permite que tecemos a seguinte conjectura: será que o próximo produto mágico, associado ao valor icial 3, será o resultado de 1728 x 8?

Por outro lado, comparando os valores de ambos os quadrados mágicos, verificamos que o valor de cada posição, da figura com maior produto mágico, é sempre o dobro do respectivo valor do quadrado cujo produto mágico é oito vezes que menor que ele.

Esta observação permite uma nova conjectura: será que o próximo quadrado mágico apresentará valores que são o dobro dos que aparecem no quadrado mágico de valor mágico 1728? Esta conjectura cai logo por terra, pois o valor inicial é 3 e 3 não é o dobro de 2.

Contudo, como 3 é o triplo de 1, será que os valores envolvidos no novo quadrado mágico são, respectivamente, o triplo de cada valor do quadrado mágico iniciado pelo valor 1?

Mantendo as progressões geométricas envolvidas nestes exemplos, qual será o produto mágico do quadrado iniciado pelo valor 8?

Quadrados cercados por números - regularidades mágicas

Fevereiro 16, 2009

Paulo Afonso

Os quadrados mágicos de ordem três (com três linhas e três colunas) ou de ordem quatro (com quatro linhas e quatro colunas) costumam ser muito utilizados em actividades de matemática recreativa.

Em artigos anteriores já tive oportunidade de reflectir sobre algumas estratégias de resolução ao nível deste tipo de figuras.

Com base nisso pretendo tecer, agora, uma nova reflexão acerca de uma adaptação ao tema.

Assim, imagine que num diálogo entre dois irmãos, o mais velho tenha desafiado o outro com a seguinte tarefa: "para que um coelho consiga sair da sua gaiola, de forma quadrada, terás que distribuir os seguintes dezasseis números naturais de modo a que a soma de cada quatro deles existentes em cada uma das paredes da gaiola seja sempre 34. Ao conseguires fazer isso, o coelho estará em condições de poder sair pela porta nº 3 ou pela porta nº 4 para vir comer cenouras no espaço exterior à gaiola. Qual a tua sugestão?"

Esta actividade pode ter várias soluções, de entre as quais apresento as seguintes:

Note que relativamente à figura inicial, as resoluções apresentadas permitem que se conclua que (a) mantendo, no caso da esquerda, os valores extremos das linhas e os valores centrais das colunas, permutando os restantes, ou (b) mantendo, no caso da direita, os valores centrais das linhas e os extremos das colunas, permutando os restantes, o resultado é sempre 34.

Além destas resoluções, a seguinte também é válida:

Uma observação atenta permite visualizar a existência de uma certa distribuição geométrica dos números: (a) 1, 2, 3 e 4 situam-se ao nível das linhas, envolvendo os extremos da de cima e os meios da de baixo, (b) 5, 6, 7 e 8 situam-se ao nível das colunas, envolvendo sempre os valores centrais (c) 9, 10, 11 e 12 também se situam ao nível das colunas, mas envolvendo apenas os valores extremos, (d) 13, 14 15 e 16 voltam a situar-se nas linhas, mas ocupando os lugares que ainda estavam vazios (valores extremos na fila de baixo e valores centrais na fila de cima).

E se os dezasseis números naturais iniciarem no 2 e terminarem no 17, qual será a soma mágica que permite a saída do coelho para o exterior?:

Usando, por exemplo, o critério utilizado na primeira resolução anterior, verifica-se a obtenção de uma nova soma mágica de valor 38:

 

Neste caso, o coelho poderia sair pelas portas contendo o valor 3 e o valor 8.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos, para além de descobrirem a existência de uma regularidade entre a soma mágica obtida e os dezasseis números envolvidos na tarefa, descobrissem, também, que a soma mágica coincide com o dobro da soma dos dois valores extremos de cada conjunto dos dezasseis números que estão em jogo.

De facto, no primeiro caso, os valores extremos são o 1 e o 16, cuja soma é 17 e a soma mágica é o dobro deste valor - 34. Por sua vez, neste último caso, os valores extremos são o 2 e o 17, cuja soma é 19 e a soma mágica volta a ser o seu dobro - 38.

Tendo em conta este conjunto de observações e de conclusões, será fácil descobrir os dezasseis números envolvidos numa soma mágica 60, bem como a sua disposição?

 

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