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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Dos pares ordenados ao pensamento algébrico

Setembro 01, 2012

Paulo Afonso

No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.

 

Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.

 

Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?

 

- O 1º termo de cada par ordenado é um múltiplo de dois, resultante da fórmula "2n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 0 e terminando no 5.

 

- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.

 

-  A soma de cada par ordenado obedece a uma regularidade: 15, 14, 13, 12, 11, 10.

 

- A diferença de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 15, 10, 5, 0, -5, -10.

 

- O produto de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 0, 24, 36, 36, 24, 0.

 

- A sua disposição num referencial cartesiano coloca-os segundo uma regularidade posicional:

 

 

- E essa regularidade pode ser definida por uma reta:

 

 

Qual será a função que descreve essa reta?

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula de Matemática os alunos pudessem investigar e propor uma explicação matemática para justificar que estes cinco pares ordenados de números se relacionam entre si, como atesta a reta que os une. De entre várias tentativas seria desejável que alguém propusesse adicionar o triplo do 1º termo do par ordenado ao dobro do respetivo 2º termo.

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 3 x 0 + 2 x 15 = 30

(2, 12) ----- 3 x 2 + 2 x 12 = 30

(4, 9) ----- 3 x 4 + 2 x 9 = 30

(6, 6) ----- 3 x 6 + 2 x 6 = 30

(8, 3) ----- 3 x 8 + 2 x 3 = 30

(10, 0) ----- 3 x 10 + 2 x 0 = 30

 

Logo, poder-se-ia concluir que os pares ordenados analisados obedecem à seguinte função matemática 3x + 2y = 30.

 

E se algum aluno sugerisse, por exemplo, adicionar o dobro do 1º termo de cada par ordenado com o triplo do respetivo 2º membro do par? Descobriria algo de matematicamente interessante?

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 2 x 0 + 3 x 15 = 45

(2, 12) ----- 2 X 2 + 3 X 12 = 40

(4, 9) ----- 2 X 4 + 3 X 9 = 35

(6, 6) ---- 2 X 6 + 3 X 6 = 30

(8, 3) ----- 2 X 8 + 3 X 3 = 25

(10, 0) ----- 2 x 10 + 3 x 0 = 20

 

Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.

 

Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?

À procura de regularidades

Junho 23, 2012

Paulo Afonso

Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.

 

O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:

 

 

O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:

 

  
   
  

  

 Vejamos cada caso: 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

4 + 5 + 6 + 7 = 22

 

7 + 8 + 1 + 2 = 18

 

 

2 + 3 + 4 + 5 = 14

 

 

5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

 

8 + 1 + 2 + 3 = 14

 

  3 + 4 + 5 + 6 = 18

 

  6 + 7 + 8 + 1 = 22

 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

  

 

Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:

 

10     22     18     14     26     14     18     22     10

 

Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?

 

Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:

 

 

As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes: 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

8 + 10 + 12 + 14 = 44

 

 

14 + 16 + 2 + 4 = 36

 

 

 

4 + 6 + 8 + 10 = 28

 

 

10 + 12 + 14 + 16 = 52

 

 

16 + 2 + 4 + 6 = 28

 

 

6 + 8 + 10 + 12 = 36

 

 

12 + 14 + 16 + 2 = 44

 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

 

Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:

 

20     44     36     28     52     28     36     44     20  

 

Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.

 

Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?

 

A figura inicial será a seguinte:

 

 

Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?

Dar sentido aos números

Maio 27, 2012

Paulo Afonso

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

Dízimas infinitas periódicas enigmáticas

Abril 21, 2012

Paulo Afonso

O tema das dízimas infinitas periódicas já foi objeto de análise neste blog por ser um tema que pode servir de base a interessantes investigações matemáticas. Desta vez vou conectá-lo ao tema das regularidades numéricas e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

Para tal, começo por desafiar os meus leitores a investigarem se há algo de comum no conjunto das seguintes dízimas infinitas periódicas seguintes:

 

0,(142857)

0,(285714)

0,(428571)

0,(571428)

0,(714285)

0,(857142)

 

 

Provavelmente será fácil perceber-se que existe uma regularidade nos seis dígitos que compõem o período de cada uma das dízimas, pois são sempre os mesmos, mas dispostos em posições diferentes.

 

O desafio seguinte será o de se investigar para cada caso a fração que lhes dá origem.

 

Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem recorrer ao artifício matemático explorado neste blog sobre este assunto. A referência eletrónica do respetivo artigo é a seguinte: http://recreamat.blogs.sapo.pt/32824.html

 

Recorrendo a esse artifício vamos, passo a passo, descobrir a fração simplificada que dá origem à primeira dessas dízimas infinitas periódicas. Vejamos:

 

x = 0,(142857) <=>

<=> 1000000x = 142857,(142857) <=>

<=> 1000000x - x = 142857,(142857) - 0,(142857) <=>

<=> 999999x = 142857 <=>

<=> x = 142857 : 999999 <=>

<=> x = 15873 : 111111 <=>

<=> x = 5291 : 37037 <=>

<=> x = 1 : 7

 

Logo, a fração que dá origem à dízima infinita periódica 0,(142857) é 1/7.

Vamos fazer um procedimento idêntico para o caso da segunda dízima. Vejamos:

 

x = 0,(285714) <=>

<=> 1000000x = 285714,(285714) <=>

<=> 1000000x - x = 285714,(285714) - 0,(285714) <=>

<=> 999999x = 285714 <=>

<=> x = 285714 : 999999 <=>

<=> x = 31746 : 111111 <=>

<=> x = 10582 : 37037 <=>

<=> x = 2 : 7

 

Fica, pois, encontrada a fração 2/7 como origem da dízima infinita periódica 0,(285714). Ora, em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos descobrissem os restantes números racionais que originam as restantes dízimas infinitas periódicas:

 

0,(142857) = 1/7

0,(285714) = 2/7

0,(428571) = 3/7

0,(571428) = 4/7

0,(714285) = 5/7

0,(857142) = 6/7

 

Centremos agora a nossa atenção no período da primeira dízima: 142857. Multiplicando este valor por 7 origina-se o valor 999999. Contudo se o multiplicarmos por 14, o produto obtido já será 199998 e se o multiplicarmos por 21, o produto obtido será 2999997.

 

Tendo em conta estas três multiplicações, infira, sem recurso à operação inversa da multiplicação, qual o fator que se deve multiplicar pelo valor 142857 para se obter o produto 499995. Qual o raciocínio por si empregue?

 

E para o produto 6999993, qual o fator a multiplicar por 142857? Que regularidades podem ser detetadas neste conjunto de multiplicações?

 

Nota: Sobre este assunto aconselho uma leitura complementar no blog do meu colega e amigo José Filipe: http://maismat.blogspot.pt/2011/02/um-setimo.html

Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Números oblongos e investigações matemáticas

Janeiro 01, 2012

Paulo Afonso

Utilizar várias sequências numéricas para que se lhes dê continuidade tem sido apanágio deste blog. Desta vez, apesar de ter escolhido um conjunto de números cuja relação matemática é facilmente identificável, permite um leque alargado de investigações matemáticas que ajudam a ilustrar a dimensão apaixonante desta Ciência.

 

Eis os números a que se deve dar continuidade:    

2     6     12     20     ____     ____

 

Como disse, facilmente nos poderemos aperceber das seguintes relações:

 

2 + 4 = 6

6 + 6 = 12

12 + 8 = 20

 

Dando-se continuidade a este tipo de relação numérica, facilmente se poderá prever o 30 como sendo o próximo número da sequência, por resultar de 20 + 10. De facto, 10 é o próximo número par a seguir ao 8.

 

Logo, o próximo elemento seria o 42, pois 42 = 30 + 12, sendo o 12 o valor par a acrescentar ao elemento da sequência anterior.

 

Ora, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem ser solicitados a investigar se haveria alguma lei matemática que explicasse este tipo de incrementos entre os elementos da sequência numérica.

 

Este desafio poderá suscitar várias investigações por parte dos resolvedores.

 

Uma primeira aproximação poderia passar pela identificação da relação existente entre o primeiro elemento da sequência e cada um dos restantes. Vejamos:

 

Ordem do termo na sequência Valor do termo Relação com o 1º termo
2  
6 2 + 1 x 4
12 2 + 2 x 5
20 2 + 3 x 6
30 2 + 4 x 7
42 2 + 5 x 8

  

Analisando-se os valores da coluna da direita, também se pode referir para o 1º caso que 2 = 2 + 0 x 3, pois ajuda a complementar esta forma recursiva de analisar os valores aí presentes.

 

Assim sendo, facilmente se percebe que a lei geral de obtenção de qualquer número (t) desta sequência pode ser a seguinte: t = 2 + (n - 1) x (n + 2), sendo "n" a ordem do termo na sequência. Logo, o 7º termo seria o seguinte: t7 = 2 + (7 - 1) x (7 + 2) = 2 + 6 x 9 = 56.

 

Por outro lado, confirma-se que utilizando o próximo valor, par, a seguir ao 12, isto é, o 14, obtém-se o valor 56. De facto, 42 + 14 = 56.

 

Esta é apenas uma das investigações que esta tarefa permite. Outra passa por se associar cada um dos elementos da sequência numérica a um produto de fatores consecutivos:

 

2 = 1 x 2

6 = 2 x 3

12 = 3 x 4

20 = 4 x 5

 

Logo, poderá haver uma outra lei capaz de gerar este conjunto de números. De facto, cada termo da sequência (t) resulta do produto do valor desse termo com o seu sucessor, isto é t = n x (n + 1). Trata-se da fórmula geradora de um tipo de números figurados, que são os números oblongos, pois cada valor pode estar associado a uma figira geométrica retangular cujas medidas são "x" e "x + 1".

 

Logo, confirma-se o valor 56, como sendo o 7º termo desta sequência, pois t7 = 7 x (7 + 1) = 7 x 8 = 56. 

 

Um outro desafio interessante que se pode lançar a propósito desta sequência de números é o seguinte: Obter o valor 2 usando apenas três 2, obter o valor 6 usando apenas três 3, obter o valor 12 usando apenas três 4 e obter o valor 20 usando apenas três 5.

 

Uma possível hipótese de resposta poderá ser a seguinte:

 

2 = 2 x 2 - 2

6 = 3 x 3 - 3

12 = 4 x 4 - 4

20 = 5 x 5 - 5

 

Logo, uma outra lei geral que pode originar qualquer um destes números (t) é a seguinte: t = (n + 1) x (n + 1) - (n + 1). Uma vez mais, confirmemos o 7º termo usando, agora, esta nova lei geral. t7 = (7 + 1) x (7 + 1) - (7 + 1) = 8 x 8 - 8 = 56.

 

Eis uma outra extensão deste desafio inicial: Obter o valor 2 usando apenas três 1, obter o valor 6 usando apenas três 2, obter o valor 12 usando apenas três 3 e obter o valor 20 usando apenas três 4. Qual a nova lei geral que surge a partir deste novo desafio? 

Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas

Outubro 15, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.

 

Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:

 

5;     6,(6);     10;     16;     26,(6);     ______;

 

Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.

 

Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:

 

x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)

 

10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=>

<=> 9x = 60 <=>

<=> x = 60/9 <=>

<=> x = 20/3

 x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)

 

10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=>

<=> 9x = 240 <=>

<=> x = 240/9 <=>

<=> x = 80/3

 

Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:

 

5;     20/3;     10;     16;     80/3;     ______;

 

Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.

 

No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:

   

5;     20/3;     10;     16;     160/6;     ______;

 

Ajuda?

 

Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     ______;

 

Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).

 

Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     320/7;

 

Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).

 

Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:

 

 

Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?

 

Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural,  a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:

 

 

Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.

 

Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.

 

Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?

 

Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!

 

Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?

Das regularidades numéricas ao conceito de Triângulo de Pascal

Março 05, 2011

Paulo Afonso

O tema das regularidades numéricas tem vindo a ser objecto de reflexão neste espaço virtual. Muito associado ao tema do pensamento algébrico, as regularidades de natureza numérica e/ou geométrica contribuem decisivamente para a estruturação deste tipo de pensamento.

 

O exemplo que trago agora para partilhar passa por solicitar uma análise ao seguinte conjunto de números no sentido de se encontrar alguma regularidade entre eles:

 

 

De entre várias possibilidades de resposta, destacamos a análise a cada linha horizontal. Para cada uma das três linhas verifica-se a existência do conceito matemático "o dobro de ou 2x". Vejamos:

 

 

Existe, pois, uma regularidade segundo este nível de análise. Centremos agora a nossa atenção ao nível das colunas. Outras regularidades passam a ser evidenciadas:

 

 

Note-se que o operador aditivo em cada caso é sempre igual e de caso para caso vai dobrando o seu valor sucessivamente.

 

Se a análise incidir em alguns valores colocados não em linha nem em coluna mas, sim, em linha oblíqua, eis outras regularidades interessantes a destacar:

 

 

Analisando-se as várias igualdades numéricas, constata-se que as somas obtidas são dobros sucessivos a partir do valor 4, isto é: 4, 8 e 16. Por sua vez, os produtos obtidos também são dobros sucessivos a partir do valor 12, ou seja: 12, 24 e 48. Além disto, cada parcela envolvida em cada adição também obedece a esta regularidade do "dobro de": (1, 2 e 4; 3, 6 e 12). Já ao nível dos factores, há sempre um que se mantém, que é o valor 3 e o outro factor continua na lógica do "dobro de": (4, 8 e 16).

 

Voltando ao conjunto inicial:

 

Seria desejável que em situação de sala de aula se tentasse perceber qual a lei geral que permitia descrever o comportamento dos valores existentes em cada linha horizontal. Qual será essa lei?

 

Obviamente que se percebe facilmente que os valores da primeira linha são as cinco primeiras potências de base dois, de expoente inteiro, cuja lei geral é 2n. Uma análise mais detalhada aos restantes valores permite que se identifique uma extensão desta lei geral para 2 x 2n e 3 x 2n, respectivamente:

 

 

Ora, como ja tive oportunidade de referenciar em outros artigos, as potências de base dois podem ser associadas ao triângulo de Pascal. Recordemos esta conexão matemática:

 

 

De facto, adicionando os valores em cada linha horizontal neste tipo de triângulo, obtém-se o conjunto destas potências. Esta é, pois, uma figura triangular que pode ser associda à lei geral 2n que gera estas potências de base dois. Como será a figura triangular que poderá ser associada a lei geral seguinte: 2 x 2n?

 

Certamente que será fácil conjecturar uma figura tipo a do triângulo de Pascal em que os valores dos lados passam de 1 para 2. vejamos a figura:

 

 

Confirmam-se, pois, os valores 2, 4, 8, 16 e 32 como sendo as somas dos valores colocados em linha horizontal nesta figura. Pela mesma ordem de ideias, a lei geral 3 x 2n materializa-se na seguinte figura:

 

 

Note-se que os valores do início e do final de cada linha passaram a ser o número 3.

 

Tendo em conta este tipo de análise qual será a figura que está associada à seguinte lei geral: 10 x 2n?

Pensamento algébrico - à procura de generalizações

Janeiro 03, 2011

Paulo Afonso

O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas actividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenómeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.

  

O exemplo que trago para reflexão assenta em figuras de natureza geométrica que obedecem a um determinado tipo de regularidade ou padrão de crescimento. Qual será a figura que dará continuidade a esta sequência de figuras?

 

 

Como a pergunta é de natureza geométrica, será muito fácil perceber-se que a próxima figura terá de ter uma nova fronteira de quadrados que respeita a colocação das "fronteiras" anteriores, isto é:

 

 

Contudo, outro tipo de estratégia de resolução poderia passar pela contagem dos quadrados unitários existentes em cada figura anterior. O objectivo seria o de se verificar se existia algum tipo de regularidade, de modo a que fosse mais fácil continuar essa eventual regularidade.

 

Façamos a contagem: 1, 5, 13, 25,...

 

Esta sequência numérica permite que relacionemos os vários números da seguinte forma:

 

1 = 1 + 0 x 4

5 = 1 + 1 x 4

13 = 1 + 3 x 4

25 = 1 + 6 x 4

 

Verifiquemos o tipo de números que estão a multiplicar o factor 4. Exceptuando o 1º caso, os números 1, 3  e 6 fazem parte da sequência de números triangulares, tema ao qual já dediquei alguns artigos neste blog. Como sabemos, a lei geral que gera este tipo de números figurados (f) é a seguinte: f = (n2 + n) : 2. Logo, substituindo o "n" por 4, por ser a 5ª figura, o valor de "f" será o seguinte: (42 + 4) : 2 = 10. Sendo assim, a próxima figura teria 1 + 10 x 4 quadradinhos unitários, isto é, 41 quadradinhos:

 

 

Como confirmação, e atendendo às cores, temos, pois, 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 45 quadradinhos unitários. Sendo assim, qual será a lei geral que nos permite obter o número de quadradinhos de qualquer figura que dê continuidade a estas?

 

Pela exposição acima, o total de quadradinhos (t) de uma figura deste tipo resulta da seguinte lei geral: t = 1 + [(n2 + n) : 2] x 4, sendo "n" o número de ordem da figura que se pretende investigar menos uma unidade. Isto é, se a figura a estudar for a 20ª, o valor der "n" será 19, o que dará o valor do 19º número triangular.

 

Sendo assim, qual o total de quadradinhos que compõem a 9ª figura deste tipo? Aplique a generalização acabada de inferir e confirme com a construção da figura.

De volta ao número nove

Dezembro 19, 2010

Paulo Afonso

O número nove tem sido por diversas vezes alvo de múltiplas explorações matemáticas, por ocupar um papel muito especial no nosso sistema de numeração decimal. Quem não se lembra de, em tempos idos, utilizar a prova dos noves nos primeiros anos da escolarização básica? Era um método interessante de verificar se as "contas" aritméticas elementares estavam ou não erradas.

  

Sobre este fantástico ente matemático destaco uma excelente publicação* de Cecil Balmond, intitulada "O Número 9 - Em Busca do Código Sigma", publicado pela Editora Replicação.

  

Trazer pela segunda vez a este Blog de Matemática Recreativa o tema do número nove, significa que o mesmo pode continuar a suscitar tarefas lúdicas que merecem a nossa reflexão.

  

* - Balmond, C. (2000). O Número 9 - Em Busca do Código Sigma. LIsboa: Replicação.

  

Comecemos por encontrar a diferença entre o número 980 e  o mesmo número escrito ao contrário, isto é: 089. Eis a respectiva subtracção e tomemos atenção ao resultado da mesma:

  

  980

- 089

   891

 

Curiosamente o 9 aparece no resultado e os restantes dois dígitos desse resultado, quando adicionados, também originam a soma 9, pois 8 + 1 = 9.

 

Vejamos o que se passa se o valor inicial for o 981. Ora, a sua escrita ao contrário é 189. Façamos a respectiva subtracção:

 

  981

-189

  792

 

Note-se que o 9 voltou a aparecer no resultado e note-se, também, que a soma dos restantes dois dígitos desse resultado continua a ser 9, pois: 7 + 2 = 9.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais serão os respectivos aditivos e os respectivos subtractivos para que se obtenham os seguintes restos, excessos ou diferenças:

 

a) 693

b) 594

c) 495

d) 396

e) 297

f) 198

 

Perante este desafio seria desejável que os resolvedores estimassem que o valor do aditivo deverá continuar a crescer uma unidade de cada vez, pois ao passar de 980 para 981, o resto, excesso ou diferença passou de 891 para 792, isto é o algarismo das centenas decresceu uma unidade, passando de 8 para 7, e o das unidades cresceu uma, passando de 1 para 2. Logo, é legítimo supor-se que se o aditivo crescer para 982, o resultado respectivo da subtracção terá o algarismo das centenas a continuar a decrescer uma unidade (7 para 6) e o das unidades a crescer uma (2 para 3), mantendo-se o 9 como valor central. Testemos esta conjectura:

 

 982

-289

 693

 

Confirmada que está a conjectura, basta dar continuidade a esta regularidade e eis as respectivas soluções:

 

  983

- 389

  594

  984

- 489

  495

  985

- 589

  396

  986

- 689

   297

   987

- 789

   198

         

Note-se, pois, que os resultados continuam a ter o 9 como valor central e os restantes dois dígitos continuam a originar a soma 9. Esta curiosidade matemática permite que desafiemos um qualquer nosso amigo ou familiar com uma tarefa deste género, pedindo que no final nos indique um dos números do resultado, que não seja o valor central, isto é, deverá ser indicado o das centenas ou o das unidades, explicitando esta ordem ou valor posicional, para que consigamos adivinhar, de forma mágica, os restantes dois valores desse resultado.

 

O que acontecerá se se fizer um estudo semelhante com os seguintes aditivos:

 

a) 9870

b) 9871

c) 9872

d) 9873

e) 9874

f) 9875

g) 9876

 

Analise os resultados das respectivas subtracções com os mesmos valores escritos aos contrário e tire conclusões. O que poderá concluir-se?

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