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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Sequência numérica enigmática

Março 17, 2012

Paulo Afonso

Este blog tem dedicado alguma atenção às regularidades numéricas, pois são um ente matemático muito interessante para o desenvolvimento de relações matemáticas associadas ao pensamento algébrico.

 

Para esta minha nova reflexão escolhi a seguinte sequência:

 

1     9     36     100     225

 

O desafio será o de se perceber se existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números. A existir alguma regularidade, sugere-se, de seguida, que se proponha o próximo elemento da sequência.

 

Uma análise cuidada a cada elemento da sequência leva-nos a concluir que todos são números quadrados:

 

12     32     62     102     152

 

Tendo em conta que esses números quadrados podem ser vistos como sendo potências de expoente 2, centremo-nos apenas nos valores das bases dessas potências. Assim sendo, facilmente nos poderemos aperceber de que os valores dessas bases fazem parte de uma outra sequência numérica muito interessante - sequência dos números triangulares.

 

Como poderá ser confirmado em outros artigos deste blog, a sequência de números triangulares é gerada pela seguinte lei geral (n2 + n) : 2, sendo "n" pertencente ao conjunto dos números naturais.

 

Tendo em consideração esta observação, será fácil dar continuação à sequência numérica, pois o número da base da próxima potência será o 6º número triangular: (62 + 6) : 2 = 21.

 

Logo, 212 dará continuidade à sequência numérica, ficando esta assim:

 

 

1     9     36     100     225    441

 

Contudo, em sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem constatar que cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, poderia ser obtido da seguinte forma:

 

1 = 12

9 = (1 + 2)2

36 = (1 + 2 + 3)2

100 = (1 + 2 + 3 + 4)2

225 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

 

Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

 

Por sua vez, também seria interessante que algum aluno pudesse associar cada um destes números quadrados à soma de vários números cúbicos, pois:

 

1 = 13

9 = 13 + 23

36 = 13 + 23 + 33

100 = 13 + 23 + 33 + 43

225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53

 

Sendo assim, o próximo número da sequência continuará a ser uma soma de vários números cúbicos: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441.

 

Se atendermos agora a dois quaisquer números consecutivos desta sequência e os subtrairmos, isto é ao maior subtraímos o menor, que tipo de números se obtêm? Serão eles também números enigmáticos, isto é, que despertam a nossa curiosidade em estudá-los? Poderão ser associados a algum tipo de figura geométrica? Poderão ser conectados a outros conceitos matemáticos, como sejam os números ímpares? 

Explorando o factorial do número

Janeiro 24, 2010

Paulo Afonso

Em Matemática existem alguns tipos de números que, quando colocados em sequência, crescem de uma forma muito rápida, pois o seu padrão de crescimento aponta nesse sentido. Veja-se, por exemplo, a sequência dos números cúbicos: 1, 8, 27, 64, 125, ... ou a sequência das potências de base dois: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Contudo, outras há cujo padrão de crescimento é mais lento, como seja o caso dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ou dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

 

O conjunto de números que apresento a seguir também evidencia crescer muito rapidamente, pois a lei geral que os gera leva a que isso aconteça: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... Qual o próximo termo da sequência?

 

Talvez influenciados pelo título deste artigo, facilmente poderemos verificar que:

1 = 1

2 = 2 x 1

6 = 3 x 2 x 1

24 = 4 x 3 x 2 x 1

120 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5040 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Continuando este padrão de crescimento, o próximo termo resultará do seguinte produto 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, isto é, será o número 40320.

 

Sendo assim, facilmente se percebe que estamos perante uma sequência numérica muito especial, que é a que resulta dos factoriais dos números naturais (n!). De facto, 1 = 1!, 2 = 2!, 6 = 3!, 24 = 4!, 120 = 5!, 720 = 6!, 5040 = 7! e, logicamente, 40320 = 8!

 

Tendo em conta esta regularidade, qual o factorial do número 10?

 

Esta questão é facilmente resolvida pelos seguintes cálculos: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800.  

 

Este tipo de números revela ser muito importante em vários temas matemáticos, como seja o caso das permutações, das combinações ou dos arranjos.

 

Imaginemos que quatro atletas de salto em altura estão a disputar a final de uma prova muito importante. Sabendo-se que os seus nomes são Artur, Bento, Carlos e Daniel, como pode ser pensada a recepção das medalhas dos três elementos pertencentes ao pódio, isto é, 1º, 2º e 3º lugares? No fundo, pergunta-se como poderá ser formado o pódio?

 

Note-se que um destes quatro atletas não terá acesso ao pódio, pelo que poderemos tentar prever quantas são as combinações possíveis de três dos quatro atletas poderem ser os premiados.

 

Sendo assim, há quatro combinações. Uma delas deixará o Artur de fora do pódio, outra deixará o Bento, uma terceira possibilidade é a que deixa o Carlos excluído e a quarta combinação envolve apenas os atletas Artur, Bento e Carlos, ficando, pois, o Daniel de fora do pódio. Vejamos as quatro combinações possíveis:

 

a - Bento, Carlos e Daniel,

b - Artur, Carlos e Daniel,

c - Artur, Bento e Daniel,

d - Artur, Bento e Carlos.

 

Estas 4 combinações de três atletas resultam da aplicação do respectivo algoritmo aos quatro atletas:

 

4C3 = 4! / (4 - 3)! x 3! = 4 x 3 x 2 x 1 / 1 x 3 x 2 x 1 = 24 / 6 = 4.

 

Realmente, o tema das combinações está associado ao factorial do número. Contudo somente a sua associação ao tema das permutações nos permite encontrar a resposta para o desafio colocado.

 

De facto, note que para o caso em que é o Artur a ficar excluído do pódio há seis possibilidades de o mesmo ser formado:

 

A B C D E F

1º Bento

2º Carlos

3º Daniel

1º Bento

2º Daniel

3º Carlos

1º Carlos

2º Daniel

3º Bento

1º Carlos

2º Bento

3º Daniel

1º Daniel

2º Bento

3º Carlos

1º Daniel

2º Carlos

3º Bento

 

Note-se, pois, que este valor 6 resulta de se permutarem de posição estes 3 atletas. Logo, trata-se de mais um caso de aplicação do factorial do número, pois 6 = 3!

 

Se isto é verdade para o caso de ter sido o Artur (A) a ficar excluído do pódio, também o é para o caso de ter sido o Bento (B), ou o Carlos (C) ou o Daniel (D).

 

Logo, a tabela seguinte evidencia as 24 possibilidades de constituição do pódio, pois 4 x 3! = 4 x 6 = 24:

 

B - C - D B - D - C C - D - B C - B - D D - B - C D - C - B
A - C - D A - D - C C - D - A C - A - D D - A - C D - C - A
A - B - D A - D - B B - D - A  B - A - D D - A - B D - B - A
A - B - C A - C - B B - C - A B - A - C C - A - B C - B - A

 

Em síntese, a resposta para o desafio colocado é esta das 24 possibilidades, que mais não são do que 24 arranjos de quatro atletas, três a três. Logo, conclui-se que os arranjos de quatro atletas, três a três, é o produto das combinações desses quatro atletas, três a três, pelo factorial de três:

 

4A3 = 4C3 x 3! = 4 x 6 = 24

 

Vejamos um novo caso envolvendo o factorial de um número:

 

Tendo em conta os seguintes números: 10, 20, 30, 0, 50, 60, 70, 80, 90, como se poderá obter a soma 100, usando apenas três parcelas não repetidas?

 

Esta tarefa permite que se encontrem os seguintes quatro casos:

a) 70 + 20 + 10

b) 60 + 30 + 10

c) 50 + 40 + 10

d) 50 + 30 + 20

 

Tendo em conta estas quatro decomposições do número 100, será possível converter a figura seguinte num triângulo mágico de soma 100, isto é, poder-se-ão preencher os círculos com os valores envolvidos nestas adições para que a soma em cada lado do triângulo seja sempre 100?:

 

 

 

Este desafio leva a que tentemos testar as quatro somas, três de cada vez, pelo que o tema das combinações volta a estar presente. Uma vez mais, combinando as 4 somas, três a três, obtém-se o valor 4:

 

4C3 = 4! / (4-3)! x 3! = 4 x 3! / 3! = 4

 

Eis as quatro combinações:

1 - a) - b) - c)

2 - a) - b) - d)

3 - a) - c) - d)

4 - b) - c) - d)

 

Testemos caso a caso:

1º caso com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10               b) 60 + 30 + 10                  c) 50 + 40 + 10

 

Como facilmente se pode constatar, este é um caso de impossibilidade, porque existe uma parcela comum a todas as adições, que é o valor 10. Logo, o mesmo nunca poderia pertencer à figura devido ao facto de, no máximo, um valor apenas poder pertencer a duas adições.

 

Testemos o 2º caso, com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10         b) 60 + 30 + 10          d) 50 + 30 + 20

 

Note-se que entre a) e b) há apenas um valor comum, que é o 10. Por sua vez, entre a) e d) também só existe um valor comum, que é o 20. Por último, entre b) e d) existe outro valor comum, que é o 30. Logo, serão estes os valores a fazerem parte dos vértices do triângulo, por pertencerem, em simultâneo a duas adições. Os restantes são colocados nos espaços sobrantes, pelo que se consegue obter uma figura mágica de soma 100:

 

 

Testemos, agora, o 3º caso, que contempla as seguintes somas:

a) 70 + 20 + 10             c) 50 + 40 + 10             d) 50 + 30 + 20

 

Entre a) e c) existe o valor 10 como sendo o único comum; entre a) e d) existe o valor 20 e entre c) e d) existe o valor 50. Usando-os nos vértices e os restantes nos espaços sobrantes, voltamos a obter um novo caso de sucesso:

 

 

Resta testar o 4º caso, formado pelas seguintes adições:

b) 60 + 30 + 10             c) 50 + 40 + 10             d) 50 + 30 + 20

 

Ora, entre b) e c) existe o valor 10 comum; já entre b) e d) é o valor 30 e entre c) e d) é o valor 50. Testando estes valores, obtém-se um terceiro caso de sucesso, diferente dos dois anteriores:

 

 

Existem, pois, três respostas possíveis para a tarefa enunciada. Uma vez mais, o recuso o factorial do número teve aplicação na resolução da mesma.

 

Se cinco pessoas costumarem viajar todos os dias no mesmo carro, ao fim de quantos dias estará a repetir-se a forma como as mesmas vão sentadas nos cinco lugares desse carro? (nota: todos podem conduzir o carro, mas só mudam de posição ao iniciar um novo dia).

 

Relações aritméticas e pensamento algébrico

Novembro 09, 2009

Paulo Afonso

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:

 

 

* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.

 

 

Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:

 

 

De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:

 

 

A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.

Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5  por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.

Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?

Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:

 

Nº da Coluna Respectivo Valor Central
1 1
2 3
3 7
4 13
5 21
... ...
n ?

 

Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!

Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:

12 - 0 = 1

22 - 1 = 3

32 - 2 = 7

42 - 3 = 13

52 - 4 = 21

Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n2 - (n - 1).

Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n2 - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.

A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!

Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).

A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:

 

Número da Coluna Respectivo Valor Inicial
1 1
2 2
3 5
4 10
5 17
... ...
n ?

 

Note-se que:

1 = 12 - 2 x 1 + 2

2 = 22 - 2 x 2 + 2

5 = 32 - 2 x 3 + 2

10 = 42 - 2 x 4 + 2

17 = 52 - 2 x 5 + 2

Assim n2 - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).

Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?

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