Relação algébrica envolvendo o tema das idades
Outubro 01, 2008
Paulo Afonso
Um dos temas comuns em actividades de recreação matemática é a idade das pessoas. Em muitos casos os resolvedores são solicitados a identificar a idade de alguém, tendo que saber tirar partido dos dados ou das pistas fornecidas pelo enunciado. O exemplo que escolhi para abordar este tema é o seguinte:
"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem quatro vezes a idade da pessoa B?"
Por tentativas, este desafio de recreação matemática pode ser resolvido de forma afirmativa, pois, se a pessoa B tiver agora 10 anos e a pessoa A tiver 40, quando a pessoa B tiver 30 anos, a pessoa A terá 60. Ora, 40 = 4 x 10 e 60 = 2 x 30.
Outro caso de sucesso é, por exemplo, o seguinte: se a pessoa B tiver agora 12 anos e a pessoa A tiver 48, quando a pessoa B tiver 36 anos, a pessoa A terá 72. Uma vez mais, 48 = 4 x 12 e 72 = 2 x 36.
Se se transportar esta situação para contexto de sala de aula, será desejável que os alunos analisem algebricamente este tipo de relações matemáticas. Inicialmente, se a pessoa B tiver b anos, a pessoa A terá 4b anos. No final, se a pessoa B passar a ter b + 2b anos, isto é, 3b anos, a pessoa A terá 4b + 2b anos, isto é, 6b anos. Logo, terá o dobro da idade da pessoa B. Esta constatação pode ser obtida através da resolução de um simples sistema de duas equações lineares, a duas incógnitas, que me dispenso de apresentar aqui.
O quadro seguinte evidencia esta constatação algébrica, com a respectiva generalização:
Pessoa B | Pessoa A | Conclusão | |
Agora Depois |
1 1 + 2 x 1 = 3 |
4 4 + 2 = 6 |
4 = 4 x 1 6 = 2 x 3 |
Agora Depois |
2 2 + 2 x 2 = 6 |
8 8 + 4 = 12 |
8 = 4 x 2 12 = 2 x 6 |
Agora Depois |
b b + 2b = 3b |
4b 4b + 2b = 6b |
4b = 4 x b 6b = 3 x 2b |
Face à relação algébrica evidenciada no quadro anterior, poder-se-ão desafiar os alunos a resolver a seguinte situação:
Se uma pessoa B tiver agora 9 anos, com que idade é que uma pessoa A, que tem agora o quadruplo da idade da pessoa B, poderá dizer que passou a ter o dobro da idade dessa pessoa B?
Esta situação permite, necessariamente, múltiplas extensões, como a que apresento a seguir:
"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem o triplo da idade da pessoa B?"
Faça a investigação respectiva e verá que vai ficar, porventura, surpreendido!