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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Teia numérica

Janeiro 02, 2013

Paulo Afonso

Este blog tem privilegiado tarefas que, de alguma forma, permitem mais do que uma possibilidade de solução. Tratam-se de tarefas abertas, suscetíveis de potenciarem o debate de ideias e o confronto de estratégias empregues por diversos resolvedores. As tarefas que selecionei para este novo artigo são um bom exemplo do que acabo de referenciar, pois desafiam o leitor na procura de mais do que uma solução. Observemos a figura seguinte:



Se pretendermos chegar ao círculo que tem o valor 10 inserido, partindo do círculo que tem o valor 2, quantas são as possibilidades de isso ocorrer tendo em conta a seguinte regra: só se pode avançar um círculo adjacente de cada vez, sempre na lógica de que o círculo selecionado em cada passo tem que ter um valor superior ao valor do cícrculo anterior.


A título de exemplo, um caminho possível será o seguinte 2 - 4 - 10.


Quantos caminhos mais poderá encontrar? Que somas diferentes se obtêm se se adicionarem os valores existentes nos círculos envolvidos em cada caminho?


Certamente que a resolução coincidirá com a que apresento a seguir, desde que se esgotem todas as possibilidades de associar estes números. Vejamos:


Valores envolvidosSoma obtida
a) 2 - 4 - 10 16
b) 2 - 6 - 10 18
c) 2 - 8 - 10 20
d) 2 - 4 - 6 - 10 22
e) 2 - 6 - 8 - 10 26
f) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 30


Existem, pois, seis possíveis caminhos para se chegar ao círculo de valor 10, começando no círculo de valor 2, de acordo com a regra imposta. 


Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem concluir, ainda, que no caso dos três caminhos envolvendo apenas três círculos, as somas obtidas são três valores pares consecutivos (16 18 e 20). Por outro lado, no caso dos dois caminhos envolvendo quatro círculos, as somas obtidas continuam a ser valores pares, mas a diferença entre elas passa para quatro pontos (22 e 26). Já a soma maior (30), proveniente do único caminho envolvendo cinco círculos, continua a ser um valor par e também é maior em quatro pontos, relativamente à maior soma anterior.


O esquema seguinte sintetiza as seis possibilidades de unir os círculos de valores extremos:



 

E se complexificarmos um pouco a figura inicial, acrescentando-lhe três novos valores? Vejamos...



Quais serão as possibilidades de chegar ao círculo de valor 16, iniciando pelo círculo de valor 2 e respeitando a regra anterior, isto é, podendo haver apenas movimentação para um círculo adjacente de valor superior? Qual a estimativa de somas diferentes que se vão obter, bem como o total de somas?


Neste caso, por ser mais complexo, sugiro a sua resolução por etapas. Inicialmente, o círculo com o valor 2 poderá dar o salto para o de valor 4, para o de valor 6 ou para o de valor 8. Sendo assim, iniciemos pelo primeiro destes três casos. A figura seguinte visa sistematizar o conjunto das 12 possibilidades de resposta para esse primeiro caso:




Analisando-se a figura anterior, eis as doze possibilidades de resposta, bem como as respetivas somas:


Valores envolvidosSoma obtida
a) 2 - 4 - 10 - 16 32
b) 2 - 4 - 6 - 10 - 16 38
c) 2 - 4 - 10 - 12 - 16 44
d) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 16  46
e) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 16 48
f) 2 - 4 - 12 - 14 - 16 48
g) 2 - 4 - 6 - 8 - 14 - 16 50
h) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 16 50
i) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 1658
j) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 14 - 16 62
k) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 14 - 16  64
l) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 1672

 

Como se pode constatar, a menor soma tem o valor 32 e a maior soma tem o valor 72. Além disso, existem dez somas diferentes.

Como serão as investigações em que se inicia (a) pelos círculos de valor 2 e 6 e, (b) pelos círculos de valor 2 e 8? Quais as respetivas somas mínimas e as respetivas somas de maior valor? Quantas somas diferentes existem para cada um desses dois casos?

Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

Fevereiro 15, 2010

Paulo Afonso

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

 

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

 

 

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

 

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

 

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
1 46

9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23

7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23

 

9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23

8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23

8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23

8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

 

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

 

 

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

 

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24

8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24

8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24

8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

 

 

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

 

 

 

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

 

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
5 50

9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25

7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25

 

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25

 

9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25

8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

 

 

Eis os três casos possíveis:

 

 

 

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

 

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

 

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

 

Valor a repetir Soma final
1 46
2 47
3 48
4 49
5 50
6 51
7 52
8 53
9 54

 

 

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

 

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

 

Vejamos a tabela respectiva:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32

6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

 

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

 

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