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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Das regularidades numéricas ao conceito de Triângulo de Pascal

Março 05, 2011

Paulo Afonso

O tema das regularidades numéricas tem vindo a ser objecto de reflexão neste espaço virtual. Muito associado ao tema do pensamento algébrico, as regularidades de natureza numérica e/ou geométrica contribuem decisivamente para a estruturação deste tipo de pensamento.

 

O exemplo que trago agora para partilhar passa por solicitar uma análise ao seguinte conjunto de números no sentido de se encontrar alguma regularidade entre eles:

 

 

De entre várias possibilidades de resposta, destacamos a análise a cada linha horizontal. Para cada uma das três linhas verifica-se a existência do conceito matemático "o dobro de ou 2x". Vejamos:

 

 

Existe, pois, uma regularidade segundo este nível de análise. Centremos agora a nossa atenção ao nível das colunas. Outras regularidades passam a ser evidenciadas:

 

 

Note-se que o operador aditivo em cada caso é sempre igual e de caso para caso vai dobrando o seu valor sucessivamente.

 

Se a análise incidir em alguns valores colocados não em linha nem em coluna mas, sim, em linha oblíqua, eis outras regularidades interessantes a destacar:

 

 

Analisando-se as várias igualdades numéricas, constata-se que as somas obtidas são dobros sucessivos a partir do valor 4, isto é: 4, 8 e 16. Por sua vez, os produtos obtidos também são dobros sucessivos a partir do valor 12, ou seja: 12, 24 e 48. Além disto, cada parcela envolvida em cada adição também obedece a esta regularidade do "dobro de": (1, 2 e 4; 3, 6 e 12). Já ao nível dos factores, há sempre um que se mantém, que é o valor 3 e o outro factor continua na lógica do "dobro de": (4, 8 e 16).

 

Voltando ao conjunto inicial:

 

Seria desejável que em situação de sala de aula se tentasse perceber qual a lei geral que permitia descrever o comportamento dos valores existentes em cada linha horizontal. Qual será essa lei?

 

Obviamente que se percebe facilmente que os valores da primeira linha são as cinco primeiras potências de base dois, de expoente inteiro, cuja lei geral é 2n. Uma análise mais detalhada aos restantes valores permite que se identifique uma extensão desta lei geral para 2 x 2n e 3 x 2n, respectivamente:

 

 

Ora, como ja tive oportunidade de referenciar em outros artigos, as potências de base dois podem ser associadas ao triângulo de Pascal. Recordemos esta conexão matemática:

 

 

De facto, adicionando os valores em cada linha horizontal neste tipo de triângulo, obtém-se o conjunto destas potências. Esta é, pois, uma figura triangular que pode ser associda à lei geral 2n que gera estas potências de base dois. Como será a figura triangular que poderá ser associada a lei geral seguinte: 2 x 2n?

 

Certamente que será fácil conjecturar uma figura tipo a do triângulo de Pascal em que os valores dos lados passam de 1 para 2. vejamos a figura:

 

 

Confirmam-se, pois, os valores 2, 4, 8, 16 e 32 como sendo as somas dos valores colocados em linha horizontal nesta figura. Pela mesma ordem de ideias, a lei geral 3 x 2n materializa-se na seguinte figura:

 

 

Note-se que os valores do início e do final de cada linha passaram a ser o número 3.

 

Tendo em conta este tipo de análise qual será a figura que está associada à seguinte lei geral: 10 x 2n?

Números tetraédricos e conexão ao triângulo de Pascal e ao tema das combinações

Junho 22, 2009

Paulo Afonso

Os números figurados já foram várias vezes objecto de reflexão neste blog. Hoje não vou escrever exclusivamente ao nível da geometria do plano mas, também, ao nível do espaço.

Assim, como actividade de recreação matemática tente dar continuidade à seguinte sequência numérica:

1     4     10     20     ____

Provavelmente descobrirá a relação numérica evidenciada na tabela seguinte:

Números da sequência Sua obtenção
1 1
4 1 + 3
10 1 + 3 + 6
20            1 + 3 + 6 + 10         

Os valores existentes na coluna da direita da tabela permitem concluir que os números da sequência inicial podem ser obtidos através de adições de um determinado tipo de números figurados, os números triangulares (1, 3, 6, 10, etc.).

Tendo em conta que o próximo número triangular é o 15, isso significa que o número que dá continuidade à sequência inicial será o resultado de 1 + 3 + 6 + 10 + 15, isto é, o 35.

Tal como no caso dos números triangulares, o triângulo de Pascal também contempla a sequência numérica aqui proposta:

Esta figura permite confirmar que é o 35 o número que dá continuidade à sequência inicial. Além disto, como a seguir ao 35 surge o 56, isto quererá dizer que o 56 é a soma dos seis primeiros números triangulares (1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21), aliás como confirma o padrão stick do triângulo de Pascal.

Note que com uma forma parecida ao stick de hóquei em patins, qualquer adição envolvendo números triangulares consecutivos origina uma soma que é um número que faz parte da nossa sequência inicial:

Em contexto de sala de aula, além das conexões agora estabelecidas envolvendo esta sequência numérica, será desejável que os alunos descubram o nome deste fascinante conjunto numérico.

As imagens seguintes pretendem ajudar nessa designação:

1 4 10

As imagens anteriores evidenciam a configuração de figuras tetraédricas, pelo que esta sequência numérica deve ser designada como sendo a sequência de números tetraédricos.

Tendo em conta a explanação agora feita, a próxima figura tetraédrica corresponde ao valor 20:

Para além do estabelecimento desta conexão numérica e geométrica, também seria desejável que os alunos pudessem associar estes números ao tema das combinações. Aliás, num artigo anterior associei o triângulo de Pascal às combinações, pelo que é fácil perceber como se obtém cada um destes números por essa via:

 

 

De facto, a lei geral que origina os números tetraédricos assenta nas combinações de "n", três a três, com "n" maior ou igual a 3.

Tendo em conta as reflexões que suportam este texto, como proceder para encontrar o valor do décimo número tetraédrico? Quais os números triangulares sucessivos que lhe darão origem?

 

Informação aos meus leitores: Como entramos em período de férias lectivas, apenas retomarei a escrita neste blog na primeira semana de Setembro de 2009. Até lá limitar-me-ei a publicar alguns comentários que entendam enviar-me, ou responder a algumas dúvidas ou sugestões de temas para o blog.

Agradeço a todos a paciência de lerem os meus escritos, produzidos ao longo deste último ano, que representou mais de 61 mil entradas no blog.

Gostaria de agradecer individualmente a todos que o visitam, desde todo o Portugal e passando por Japão, Angola, Moçambique, Polónia, Brasil, México, Espanha, Perú, Bélgica, República Dominicana, Canadá, EUA, entre outros, e, sobretudo, àqueles que me deixam comentários, sugestões, opiniões, etc.

Um grande abraço para todos e até Setembro!

O mundo mágico das conexões matemáticas

Dezembro 28, 2008

Paulo Afonso

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

 

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

 

B: - Sabendo que existem cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

 

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

 

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

 

Qual a resolução de cada um?

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