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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Hexágonos mágicos

Setembro 24, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog por variadíssimas ocasiões. Desta feita vou socorrer-me de uma figura geométrica muito apreciada no seio da Matemática, que é o hexágono regular. Muito se poderia dizer acerca deste tipo de figura, desde logo a sua associação ao importante labor das abelhas é algo que surpreende cada um de nós.

  

Do ponto de vista geométrico, a sua capacidade de gerar planificações perfeitas é um dos aspectos de maior relevo no seu estudo. Contudo, não será sobre estes aspectos que irei incidir a minha reflexão. Vou, antes, utilizar os hexágonos regulares para se fazer uma exploração ao nível das figuras e das somas mágicas.

  

O objectivo é colocar alguns dos números de 1 a 9 nos seis triângulos equiláteros que formam a figura seguinte, não se podendo repetir qualquer destes números, por forma a obter-se a soma mágica 25:

  

 Duas soluções possíveis são as seguintes:

  

     

Numa tentativa de decomposição do 25 em seis parcelas todas diferentes, seria desejável que em contexto de sala de aula de Matemática surgissem mais dois casos de sucesso:

 

   

Com estes quatro exemplares poder-se-iam explorar diversas situações de recreação matemática. Contudo, o desafio é o de se usarem estes quatro módulos para se proceder à pavimentação ilustrada na figura seguinte (um novo hexágono regular), tendo, para tal, que redistribuir os valores em cada um destes quatro módulos para que a soma em cada hexágono se mantenha no valor 25:
 

 

Eis uma solução possível:

 

 

 

 

Como se pode verificar cada hexágono mantém a soma 25.

 

Proceder de igual modo para o preenchimento de um novo hexágono mágico (desta vez é um irregular), de soma 25 em cada módulo hexagonal:

 

 

 

 

 

 

Sequências numéricas em figuras triangulares

Maio 18, 2009

Paulo Afonso

Associar números a figuras geométricas permite a exploração de múltiplas situações de recreação matemática. Observemos o seguinte triângulo numérico, formado por 9 triângulos mais pequenos:

Numa primeira análise, podemos dividir a figura num triângulo e num trapézio isósceles. Além disto, podemos obter esses dois tipos de figuras através de três processos diferentes:

 PROCESSO A:

 

  

PROCESSO B: 


  

PROCESSO C: 

Analisando-se os três processos em simultâneo verificam-se algumas curiosidades matemáticas muito interessantes. Assim: (a) as somas dos números das figuras triangulares são as seguintes:

Processo A - 19

Processo B - 20

processo C - 21

(b) por sua vez, as somas dos números das figuras trapezoidais são as seguintes:

Processo A - 26

Processo B - 25

Processo C - 24

Existem, pois, estas duas regularidades numéricas.

Contudo, a figura inicial, em vez de ser decomposta num triângulo e num trapézio, pode ser dividida em três triângulos geometricamente iguais: 

CASO A CASO B CASO C

Uma vez mais, também agora estamos perante uma regularidade numérica, pois a soma dos números envolvidos no caso A é 19, no caso B é 20 e no caso C é 21. Tinha que ser assim, pois os triângulos da tabela anterior são os mesmos que antes foram separados dos respectivos trapézios isósceles.

Imagine-se, contudo, que o triângulo inicial não era o que deu origem a todas estas análises, mas, sim, este:

Fazendo, agora, a análise apenas através da decomposição em três triângulos, será que continua a haver regularidade numérica?

Vejamos a tabela seguinte: 

CASO A CASO B CASO C

 A soma do caso A é 21, a do caso B é 19 e a do caso C é 20. Estamos, pois, perante os mesmos valores obtidos na situação anterior.

Vejamos uma terceira possibilidade de se distribuírem os números pelos 9 triângulos da figura, bem como a respectiva divisão em três triângulos:

 

CASO A CASO B CASO C

Eis as somas:

Caso A - 20

Caso B - 21

Caso C - 19

Uma vez mais, os valores repetem-se!

Note-se que todos os casos analisados contemplam o 1, o 2 e 3 nos vértices do triângulo maior.

Será que se fizer o estudo para o caso de os números dos vértices serem o 9, o 8 e o 7, também se obtêm regularidades semelhantes?

Conectar a álgebra a triângulos numéricos

Abril 20, 2009

Paulo Afonso

Associar os números a figuras geométricas costuma ser uma opção interessante para se proporem actividades de recreação matemática. Um exemplo paradigmático é o das figuras mágicas (triângulos, quadrados, polígonos estrelados, etc), pois costumam cativar os resolvedores para a descoberta de um único valor (mágico), que se obtém pela adição de vários outros números, dependendo da posição que ocupam na respectiva figura geométrica.

O exemplo que eu escolhi para ilustrar esta ideia é ligeiramente diferente do que acabei de descrever. Trata-se de uma figura de aspecto triangular, cujos valores, exceptuando os da linha da base, resultam sempre da adição dos dois números que estão por baixo deles.

Tendo em conta que a figura seguinte só apresenta alguns dos valores, procure descobrir os restantes, de modo a que esta regra se mantenha:

 

A resolução da tarefa é a seguinte:

Repare-se que o início mais fácil para se resolver a tarefa é o que passa pela procura do valor que adicionado ao 30 origina o 67. Fica identificado o valor 37. De seguida, obtém-se o valor 75 por ser a soma de 37 com 38. Com estes valores já identificados, facilmente se descobre o valor do topo da figura, pois trata-se da soma de 67 com 75, isto é, 142.

Resta, agora, a identificação dos valores da linha da base e da 2ª linha. Sabe-se que ter-se-ão de identificar dois valores cuja soma é 30. Contudo, estes dois valores estão dependentes do valor a colocar entre o 5 e o 9, na linha da base.

Uma possível estratégia de resolução poderá passar pela elaboração de uma lista organizada. Assim, se associarmos ao valor 5 a letra A, ao valor 9 a letra C e ao valor a colocar entre eles a letra B, o que tem que se investigar é o valor de B de modo que (A + B) + (B + C) = 30.

Comecemos por aproximar o valor de A + B a 15, logo, B = 10. Como ficamos longe do 30, podemos passar ao estudo para o caso do B = 9. Uma vez mais, ainda não se obtém o valor 30, mas aproximamo-nos desse valor, o que indicia ser favorável associar, a seguir, o valor 8 ao B. Testando-o, confirma-se que é esse o valor que o B terá de assumir:

A B C A + B B + C (A + B) + (B + C)
5 10 9 15 19 15 + 19 = 34
5 9 9 14 18 14 + 18 = 32
5 8 9 13 17 13 + 17 = 30

Fica, pois, descoberto o valor 8 para ser colocado entre o 5 e o 9, na fila de baixo e os valores 13 e 17 a colocar por baixo do 30.

Por último, já fica fácil descobrir os três valores que restam. São eles o 20, o 18 e o 11.

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como por exemplo a de se descobrir todos os valores que faltam numa figura parecida com a anterior, conhecidos apenas os quatro valores da base - quatro primeiros números naturais, colocados de forma consecutiva:

Eis como fica a figura:

Analisemos, agora, o que se passa quando substituimos os valores da base, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 3, 4, 5, 6:

Note-se que quando se iniciou pelo valor 1 na base, o valor final, do topo, foi o 20; iniciando pelo 2, o valor final passou a ser o 28; iniciando no 3, o valor final foi o 36.

Seria interessante que os alunos pudessem identificar esta relação, procurando, inclusive, descobrir se existe um padrão ou uma regularidade entre o valor inicial e o final. De facto, ela existe e é a seguinte: f = 20 + (i - 1) x 8, sedo "f" o valor de topo e "i" o valor inicial, isto é, o menor dos quatro números da base, pois:

quando i = 1     =>   f = 20

quando i = 2     =>   f = 28        (20 + 1 x 8)

quando i = 3     =>   f = 36        (20 + 2 x 8)

...

 

quando i = n     =>   f = [20 + (n - 1) x 8]

Esta lei geral permite que nos questionemos acerca de qual será o valor de topo quando o menor valor da base é, por exemplo, o 17.

Aplicando a lei: f = 20 + (17 - 1) x 8 = 148.

Eis a confirmação:

Note-se, por outro lado, que a soma dos dois valores extremos da base (17 + 20 = 37) coincide com a quarta parte do valor do topo, pois, 148 = 4 x 37. Esta constatação também é válida para todos os casos anteriores (que envolveram 4 números consecutivos na base), pois:

20 = 4 x (1 + 4)

28 = 4 x (2 + 5)

36 = 4 x (3 + 6)

A figura seguinte explica a relação algébrica que está em causa:

De facto, 4 x (2a + 3) = 8a + 12 

Assim, qual será o valor de topo, se os dois valores extremos da base forem o 9 e o 12?

Facilmente se conclui que será o valor 84, pois (9 + 12) x 4 = 84.

Por outro lado, quais serão os dois números extremos da base de uma figura semelhante a estas se o valor de topo for 172?

Esta tarefa passa por se obter um valor que é a quarta parte de 172. Esse valor é o 43. De seguida tem que se encontrar o valor de "x" na seguinte igualdade: x + (x + 3) = 43. Desta igualdade resulta para o "x" o valor 20 e para o "x + 3" o valor 23.

Desafio os meus leitores a fazerem o estudo semelhante para o caso de na base estrem 5 números consecutivos. Será que se obterá uma nova regularidade? Será que o valor do topo é o quádruplo da soma dos dois valores extremos da base? Qual a lei geral para se obter o valor do topo a partir do valor inicial da base?

E se em vez de cinco, forem seis os valores inteiros consecutivos na base? Que conclusões podem ser encontradas?

Regularidades geométricas e numéricas envolvendo a utilização de fósforos

Março 02, 2009

Paulo Afonso

Como material não estruturado, os fósforos adaptam-se bastante à exploração de múltiplos conceitos matemáticos. Desde a iniciação ao conceito de dezena, com o recurso a um vulgar elástico para a criação de um grupo de dez unidades, até ao estudo de propriedades de várias figuras geométricas, muitas explorações matemáticas podem ser feitas.

De entre alguns autores que têm dedicado alguma atenção a este recurso, destaco Baifang (1995)* e Berloquin (1991)**, por proporem actividades muito interessantes, que apelam ao prazer de se fazer matemática pela via do raciocínio e da ludicidade.

 

* - Baifang, L. (1995). Puzzles com fósforos. LIsboa: Gradiva.

** - Berloquin, P. (1991). 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva.

 

Para reflexão desta semana decidi associar os fósforos ao tema das regularidades geométricas, com o estabelecimento de conexões às respectivas regularidades de natureza numérica. 

Como actividade de recreação matemática analise a seguinte sequência geométrica e tente estimar o número de fósforos necessários para se obterem 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às seguintes figuras rectangulares: 

Este desafio não representará, certamente, uma grande dificuldade, pois poder-se-á estabelecer facilmente o seguinte raciocínio:

1 quadrado - 4 fósforos

2 quadrados - 7 fósforos

3 quadrados - 10 fósforos

4 quadrados - 13 fósforos, isto é, mais três fósforos do que na construção geométrica anterior. Seguindo este padrão ou regularidade, descobrir-se-á a quantidade de fósforos necessária para a obtenção de 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às figuras rectangulares propostas inicialmente. Esse valor será de 91 fósforos.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem descobrir  a lei geral que suporta esta regularidade numérica de fósforos, associada ao respectivo número de quadrados que formam.

Observe-se, novamente, a quantidade de fósforos envolvida em cada uma das três construções iniciais, e estabeleçamos a respectiva interpretação numérica:

1 quadrado - 4 fósforos (4)

2 quadrados - 7 fósforos (4 + 3)

3 quadrados - 10 fósforos (4 + 3 + 3)

...

n quadrados - [4 + (n - 1 x 3)] = 4 + 3n - 3 = 3n +1

Conclui-se, pois, que para a construção de um determinado número de quadrados (n), e nas mesmas condições enunciadas nesta tarefa, o número de fósforos (f) será igual ao triplo desse número de quadrados mais uma unidade.

Logo, confirma-se que para o caso de 30 quadrados, o número de fósforos envolvidos seria 3 x 30 + 1 = 91.

Uma extensão deste desafio poderia passar pela construção de figuras quadradas, como ilustram os exemplos seguintes:

As três figuras quadradas da tabela permitem a seguinte contagem:

1 quadrado - 4 fósforos

4 quadrados - 12 fósforos

9 quadrados - 24 fósforos

Note-se a seguinte regularidade:

1 quadrado - 1 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura);

4 quadrados - 2 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 1 x 2 fósforos (linha vertical do interior) + 1 x 2 fósforos (linha horizontal do interior);

9 quadrados - 3 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 2 x 3 fósforos (linhas verticais do interior) + 2 x 3 fósforos (linhas horizontais do interior).

Em síntese, temos:

1 quadrado - 1 x 4

4 quadrados - 2 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados - 3 x 4 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n quadrados (sempre figura quadrada):

 

Logo, a próxima figura quadrada, formada por 16 quadrados, seria formada por 2 x (4 + 16) = 40 fósforos. Eis a respectiva figura:

 

Outra análise que pode ser feita para estas figuras quadradas pode passar por nos concentrarmos no número de fósforos empregues no lado de cada uma delas. Assim:

1 quadrado (1ª figura) - 4 x 1

4 quadrados (2ª figura) - 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados (3ª figura) - 4 x 3 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n-ésima figura - 4 x n + (n -1) x n + (n - 1) x n = 4n + 2(n2 - n) = 4n + 2n2 - 2n = 2n2 + 2n = 2n (n + 1).

A título de exemplo, a próxima figura quadrada, com quatro fósforos de lado, necessitará de 2 x 4 (4 + 1) = 40 fósforos. 

Tendo em conta a seguinte nova sequência de figuras triangulares, descubra a lei geral de formação e teste-a para o caso de querer saber o número de fósforos necessários para se construir uma nova figura semelhante a elas, contendo 36 triângulos:

 

Resolver problemas decompondo-os nas suas partes constituintes

Fevereiro 23, 2009

Paulo Afonso

Muitas são as estratégias que se poderão usar na resolução de problemas. Contudo, a escolha mais adequada das estratégias depende sempre do tipo de problema que se pretende resolver. Para a reflexão desta semana apresento um determinado tipo de problemas - problemas de processo - que para a sua resolução sistematizada convém que se decomponham os problemas nas suas partes constituintes.

Imagine-se desafiado a identificar todos os triângulos que é possível encontrar neste pentagrama:

Ao tentar dar resposta a este desafio encontrará, certamente, dificuldades na identificação de todos os triângulos, pois trata-se de uma figura que contempla muitas figuras desse tipo.

Um bom registo ajudará a estruturar o raciocínio. Além disto, como há vários tipos de triângulos, se a nossa atenção incidir num tipo de triângulo de cada vez, isso poderá ajudar na resolução da globalidade do problema.

De facto, problemas desta natureza exigem que a sua resolução contemple uma abordagem parcelar a cada uma das suas partes constituintes. Sendo assim, podemos começar por numerar todas as zonas triangulares de menor dimensão, o que origina, de imediato, a identificação de 10 triângulos unitários:

Temos, pois, já identificados 10 triângulos:

De seguida constata-se que o triângulo formado pelos triângulos 1 e 2 é um novo triângulo, diferente daqueles dez já identificados. Ora, centrando a nossa atenção na procura exclusiva de triângulos deste novo tipo, identificamos 10. São eles: [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10] e [1,10]. Estão, pois, identificados 20 triângulos.

Veja-se, agora, que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2 e 3 formam um novo triângulo. Como este há mais quatro, o que implica haver 5 triângulos deste novo tipo: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9] e [1,9,10]. Já vamos em 25 triângulos.

Repare que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2, 6, 10, envolvendo o pentágono central, ainda não está identificado. Estamos perante um novo tipo de triângulos. Como este há mais quatro, pelo que deste tipo há 5 triângulos: [1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8] e [4,8,9,10]. Já contabilizámos 30 triângulos.

Por fim, ainda se pode identificar um novo tipo de triângulo, cujo exemplo pode ser o formado pelos triângulos 2, 6 e envolvendo o pentágono central. Como este há mais quatro, pelo que podem ser identificados 5 deste tipo: [2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10] e [6,10].

Uma vez que esta estratégia nos permitiu identificar os triângulos de cada tipo, é-nos fácil concluir, agora, que este figura permite a identificação de 35 triângulos. Além disto, esta estratégia de resolução permite identificar cada um desses 35 triângulos a qualquer momento, pelo que evita a repetição de ideias ou um certo tipo de "resolução em círculo vicioso".

Com base nesta estratégia de resolução tente identificar todos os triângulos existentes nesta nova figura:

 

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