Escolher para actividade de recreação matemática tarefas que permitem uma exploração pouco orientada costuma seduzir os resolvedores, pois nunca sabem se o desafio colocado já está totalmente resolvido após algum tempo dedicado à sua exploração.

Actividades deste tipo suscitam, pois, muito envolvimento por parte dos resolvedores.

O exemplo que escolhi para abordar este tema passa por se compararem as duas figuras seguintes e estabelecer o máximo de paralelismos ou semelhanças entre elas:

Uma primeira conclusão poderia ser a que diz respeito ao tipo de números existentes nos círculos. Em ambas as figuras esses números são ímpares e consecutivos. A única diferença a este nível é que a sequência numérica na figura da esquerda começa no 1 e a da figura da direita começa no 3.

Outra semelhança existente entre estas duas figuras é a seguinte: tendo em conta a figura triangular limitada no 1º caso pelos números 1, 7 e 11, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 70 (9 + 17 + 19 + 25). Por sua vez, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 3, 13 e 17, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 126 (19 + 31 + 35 + 41). Por fim, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 5, 15 e 19, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 150 (25 + 37 + 31 + 47). Observando, agora, a outra figura, as três figuras triangulares respectivas à análise anterior originam somas maiores do que elas em 24 unidades. Vejamos:

A - 15 + 23 + 25 + 31 = 94. Repare-se que 94 = 70 + 24.

B - 25 + 37 + 41 + 47 = 150. Repare-se que 150 = 126 + 24.

C - 31 + 43 + 47 + 53 = 174. Repare-se que 174 = 150 + 24.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos conjecturassem que a próxima figura, iniciada pelo número 5, originaria somas maiores que as da 2ª figura, também em 24 unidades.

Eis a figura seguinte:

Vejamos as somas neste caso:

A - 21 + 29 + 31 + 37 = 118.

B - 31 + 43 + 47 + 53 = 174.

C - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

Confirma-se, pois, a conjectura anterior, uma vez que:

A - 118 = 94 + 24.

B - 174 = 150 + 24.

C - 198 = 174 + 24.

As três figuras anteriores permitem a obtenção de algumas conclusões, que apresento na tabela seguinte:

Tendo em conta os dados da tabela anterior é possível estimar as somas respectivas da próxima figura semelhante a estas, isto é, a que se inicia pelo próximo número ímpar - 7:

A figura seguinte confirma a estimativa acabada de fazer:

De facto:

A - 27 + 35 + 37 + 43 = 142.

B - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

C - 43 + 55 + 59 + 65 = 222.

Confirmadas estas estimativas, seria interessante que os alunos conseguissem definir o termo geral desta regularidade numérica. Assim, para um qualquer número ímpar "n", as leis gerais para cada um dos três casos são as seguintes:

Tendo em conta esta generalização, como proceder para saber rapidamente as somas envolvidas numa nova figura iniciada pelo número ímpar 21? Além disto, quais a maior das nove somas dos triângulos unitários?: