Adições consecutivas
Outubro 01, 2009
Paulo Afonso
Folheando um interessantíssimo livro produzido em 1984 por um grupo de professores/investigadores do Shell Centre for Mathematical Education da Universidade Nottingham, traduzido em 1993 para a lingua castelhana pela Universidade do País Vasco, sob o título Problemas con pautas y números*, deparei-me com uma situação envolvendo a operação adição, que tomo a liberdade de partilhar com os meus leitores.
Faço-o porque entendo tratar-se de uma reflexão muito interessante, feita a propósito de se obterem os números inteiros a partir da adição de vários números inteiros consecutivos. Aproveito para sugerir a leitura deste livro, pois tanto pode ser levado à sala de aula, como ser utilizado para criar situações de recreação matemática.
* - Shell Centre for Mathematical Education (1993). Problemas con pautas y números. Bilbao: Universidade del Pais Vasco.
O exemplo que decidi apresentar poderia passar por pedir para investigarem se todos os números, de 1 a 30, inclusive, se podem decompor em adições envolvendo números inteiros consecutivos.
A título de exemplo, vejam-se os seguintes casos:
| 6 = 1 + 2 + 3 | 9 = 2 + 3 + 4 | 12 = 3 + 4 + 5 |
| 15 = 4 + 5 + 6 | 18 = 5 + 6 + 7 | 21 = 6 + 7 + 8 |
| 24 = 7 + 8 + 9 | 27 = 8 + 9 + 10 | 30 = 9 + 10 + 11 |
Observando os casos expressos na tabela, facilmente se pode concluir que todos aqueles números que se podem obter pela adição de três números inteiros consecutivos têm a particularidade de ser múltiplos de 3.
Analise-se, também, o que se passa com dois desses números, o 15 e o 30:
| 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 | 30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 |
O 15 e o 30, para além de serem múltiplos de três, também são múltiplos de cinco. Curiosamente ambos podem ser obtidos pela adição de cinco números consecutivos!
Note-se que o número de parcelas que tenho estado a considerar são em número ímpar: 3 ou 5, pelo que se poderá conjecturar se todos os números inteiros que resultam da decompisção de um número ímpar de parcelas, isto é, 2n + 1 parcelas, serão sempre múltiplos de 2n + 1?
Vejamos agora os números 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Têm de comum o facto de se poderem obter pela adição de apenas dois números inteiros consecutivos. Logo será legítimo conjecturar-se que qualquer número primo obedece a esta regularidade, a de se obterem pela adição de dois números inteiros consecutivos.
Como será o caso das potências de base dois? Haverá algo de comum relacionado com o tema deste artigo?
O que haverá de comum com os números que se obtêm pela adição de quatro números inteiros consecutivos?
